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第10讲相似三角形2

第10讲相似三角形2（综合运用）

★★ 知识体系梳理

1、利用相似的判定和性质主要证明：（1）角相等；（2）线段对应成比例；

2、利用相似进行位似作图；

3、相似三角形与三角形、四边形、方程、函数结合；

★★ 难点剖析

（1）借助“中间量”解题，也就是通过等式的传递性解题。“中间量”有“中间比”、“中间线段”、“中间等积式”等，有了中间量搭桥，可将难题分解成几个简单的问题来解决。（2）以相似为模型建立方程；以相似为模型建立函数关系. （3）运动型试题中相似时必须进行分类讨论。

★★ 方法归纳

1、在综合题中，要熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用；

2、运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想。

3、动点问题的解决主要手段是运用方程思想解决，并注意分类讨论要考虑全面；

★★ 典例例题解析

◆ 考点一：通过相似证明比例式与等积式

【例1】如图，BD 、CE 分别是ABC ?的两边上的高，过D 作DG BC ⊥于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H 。

求证：（1）2DG BG CG =?；（2）2

DG GF GH =?

【例2】如图，ABC ?中，CD AB ⊥于D ，E 为BC 中点，延长AC 、DE 相交于点F 。

求证：BC AC ＝DF

．

◎ 变式议练一

1、已知：如图，ABC ?中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作//CF AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。

求证：2

BP PE PF =?

◆ 考点二：相似三角形性质的应用

【例3】如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，4AC =，3BC =。

（1）如图1，四边形DEFG 为ABC ?的内接正方形，求正方形的边长；

（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长；（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长；（4）如图4，三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC ?，请写出正方形的边长；

◎ 变式议练二：

1、在Rt ABC ?中，90C ∠=?，4AC =，3BC =，准备裁出一个最大的正方形，你认为怎样裁合理，并求出此时的正方形的边长。

◆ 考点三：“A ”型、“X ”型、斜射影模型的运用

【例4】如图：小明在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他再向前步行m 12到达Q 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知小明的身高是m 6.1，两个路灯的高度是m 6.9，xm QB AP == （1）求两个路灯之间的距离；

（2）当小明走到路灯B 时，他在路灯下的影长是多少？

◎ 变式议练三：

1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，（1）图中共有相似三角形对；

（2）若2=CF ，4=DF ，求AD 的长；

2、如图：□ABCD 中，2:1:=EB AE ；

（1）求AEF ?与CDF ?的周长比；（2）若2

6cm S AEF =?，求CDF S ?；

◆ 考点四：相似三角形与函数、动点问题结合

【例5】如图，在Rt ABC ?中，90A ∠=?,6AB =,8AC =,四边形EFGH 为ABC ?的内接矩形，设

EF x =，EH y =。

（1）试求出y 与x 之间的函数关系；

（2）若AHE ?的面积是ABC ?的面积的一半，求EF 的长。

【例6】如图，矩形ABCD 中，CH BD ⊥于H ,P 为AD 上的一个动点，（点P 不与A 、D 重合），CP

与BD 交于点E ,若60

CH =

,:5:13DH CD =,设AP x =，ABEP S y =四边形。（1）求BD 的长；

（2）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）当A B E P S 四边形是PED ?的面积的5倍时，连接PB ，判断PAB ?与PDC ?是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，说明理由.

B C

◆ 考点五：能力拓展

【例7】如图:在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,顶点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 不与A 重合，点C 不与B

重合），E 是AB 边上的动点（点E 不与A 、B 重合），在运动过程中始终保持DE EC ⊥，且A

D D

E A B a +==。

（1）证明：ADE ?∽BEC ?；

（2）当点E 为AB 边的中点时（如图②）求证：①、AD BC CD +=； ②、DE 、CE 分别平分BCD ADC ∠∠,；

（3）设m AE =，请探究：BEC ?的周长是否与m 的值有关，若有关，请用含m 的代数式表示BEC ?的周长；若无关，请说明理由。

【例8】如图,已知ABC ?中,5AB =,3BC =,4AC =,//PQ AB ,P 点在AC 上（与A 、C 不重合），

Q 在BC 上。

（1）当PQC ?的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长；（2）当PQC ?的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长；

（3）试问：在AB 上是否存在一点M ,使得PQM ?为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ 的长；

B C D E

A B

C D E

◆◆◆ 快乐体验

1、如图，已知ADE ?∽ACB ?，且ADE C ∠=∠，则:AD AC =（）

A 、:AE AC

B 、:DE B

C C 、:AE BC

D 、:D

E AB

2、如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，

DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，

30EAB ∠= ，45CDF ∠= 。求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.1

1.41≈

1.73≈）

3、如图,在等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,3AD cm =，7BC cm =，60B ∠=?，P 为下底BC 上一点（不与B 、C 重合），连结AP ,过P 点作PE 交DC 于E ,使得APE B ∠=∠；（1）求证：ABP ?∽PCE ?；（2）求等腰梯形的腰AB 的长；（3）在底边BC 上是否存在一点P ,使得:5:3DE EC =？如果存在,求出BP 的长,如果不存在,请说明理由；

A N M B

D A

B C

60?A B C

D P

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等；三、经典例题：例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2

例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。求证：PD ⊥PF.

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)

相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.

“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算【例1】如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型比例式的证明方法

《相似三角形的应用》教案

27.2.3 相似三角形的应用（王军）一、教学目标 1．核心素养通过学习相似三角形的应用举例，初步形成基本的推理能力和应用意识．2．学习目标进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形知识解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题． 3．学习重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题． 4．学习难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能到达顶部的物体的高度？任务2 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能直接到达的两点间的距离？任务3 阅读教材P40-41,思考：什么是视点、视线、仰角、俯角？什么是盲区？2．预习自测 1.测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长______或利用相似三角形来解决. 2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造___________,然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离. 3.如图，小明测量某广场旗杆的高度，他从A走1.8m到C 处时，他头顶的影子正好与点A重合.已知小明身高1.58m，并测得BC＝7.2m，则旗杆的高度是( ) A．8m B．7.9m C．7.5m D．7.2m （二）课堂设计 1．知识回顾 1.三角形相似的判定方法：

（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； (3)判定定理1(边边边)：三边对应成比例，两三角形相似； (4)判定定理2(边角边)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（5）判定定理3(角角)：两角对应相等，两三角形相似；（6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例. （2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形对应线段之比等于相似比. （3）相似三角形的周长之比等于相似比. （4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 2．问题探究问题探究一如何测量不能到达顶部的物体的高度？重点、难点知识★▲ ●活动1 探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度. 小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。例：如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？

相似三角形试卷及答案

相似三角形单元测试卷一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 1 3 AD AB =，DE ＝4，则BC =（） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 2.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度 4. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似变换Ｂ．平移变换Ｃ．对称变换Ｄ．旋转变换 6. 如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（） A ．AE AC AD AB = B ．DE BC AD AB = C ． D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠ 7. 如图，已知 ABCD Y 中，45 DBC =o ∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ， DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论： ①2DB BE = ②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△ 其中正确的结论是（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④ 8. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD =12 m ，塔影长DE =18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（） A ．24m B ．22m C ．20 m D ．18 m 二、填空题（每题4分，共40分） 11.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，如果要使ABC DCA △∽△，那么还要补充的一个条件是（只要求写出一个条件即可）． 12. 如图，已知DE BC ∥，5AD =，3DB =，9.9BC =，则ADE ABC S S =△△ ． 14.如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：． 15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=?，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是米2． C B A E 1 2 D M C A N A B C D E F H G A D C B A B C D E A B O O

相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. b)己知两边对应成比 c)己知一个直角 d)有等腰关 a)已知一对等

初中数学相似三角形练习题附参考答案

经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程应用练习： 1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A 型与反X 型 O F E C B A E D C B A O D C B A

2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P . (1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。模型三：射影定理如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，，2 H C H AH B =?，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证：BD AB BC AC =，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影 C A B H A B C D

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例中项。

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：△CDF ∽△BGF ；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．（1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．

【试卷】相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案一、填空题： 1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 2、已知6 53 z y x == ，且623+=z y ，则__________,==y x 。 3、在等腰Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝2 1 AB ，那么BC ：AB ＝。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则△A ′B ′C ′的周长为厘米。 6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则 ()()()AB BC AD _________== 。第6题图第7题图 7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝。若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝，CD ＝。 E A D B C 1 C B D A

8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝，PQ ＝。第8题图第9题图 9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为厘米。二、选择题： 11、下面四组线段中，不能成比例的是（） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a D C M P N Q A B A D B F E C

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图结论 E D C B A 反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图结论 A B C D 类射影：如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图结论相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法

A B C D E 旋转相似：如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角：如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ）反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法比例式的证明方法

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案

三、主要练习：【知识点】：相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。相似多边形对应边的比叫做相似比。【例题】： 1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______． 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ． 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE= 2 1 AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．【课堂练习】： 1．下面图形是相似形的为 ( ) A ．所有矩形 B ．所有正方形 C ．所有菱形 D ．所有平行四边形 2．下列说法正确的是 ( ) A ．对应边成比例的多边形都相似 B ．四个角对应相等的梯形都相似 C ．有一个角相等的两个菱形相似 D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长． F E D C B A

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题 1、如图，当四边形的周长最小时，． 2、如图，已知等腰三角形 ABC 的边AB 长为2 ，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）CDE ?～CAB ?,(3) CDE ?的面积与CAB ?面积之比为1：4，其中正确的有（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 3、如图（3），等腰ABC ?的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = ，则 A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 k 4、已知: ABC ?与DFE ?相似且面积比为4：25，则ABC ?与DFE ?的相似比为。 5、（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC = ；④2 AC AD AB =g 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （5题图）（6题图） 6、2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ． CD BC EF BE = D ． CD AD EF AF = 7、(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 8、（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D 9、（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 10、(2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 11、（2009年江苏省）如图，在55?方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格 D B C A N M O x （1题图）

2017-相似三角形解题技巧及口诀---B

相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型： A 字形，斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；【2】每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。（1）ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD ?BD ⑵ △ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD ?AB （3）CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD ?AB 结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD 结论：面积法得AB ?CD=AC ?BC →比例式【证明等积式(比例式)策略】: 1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形，三点定形法 B C A D E

对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明． ⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换； ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比【口诀】：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；彼相似，我角等，两边成比边代换。或：遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； ?遇等积，改等比，横看竖看找关系 ①△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形，求证：BD?CN=BM?CE．

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

历年各地中考相似三角形试题汇编含答案

E 图 5 图8 相似三角形填空题 1、（2008江苏盐城）如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足条件（写出一个即可）时，ADE ACB △∽△． 2、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是． 3、（2008上海市）如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC F ，如果 2 3BE BC =，那么BF FD = ． 4、（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ． 5、（2008年杭州市）在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点 BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比 . 6、（2008年江苏省南通市）已知∠A ＝40°，则∠A 的余角等于＝________度. 7、（08浙江温州）如图，点1234 A A A A ，，，在射线OA 上，点 123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为． 8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________. 9、（2008年庆阳市）两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为． 10、（2008年庆阳市）如图8，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，则使AED △∽ABC △的条件是． 11、（2008年?南宁市）如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= D B （第16题图） 1 2 3 4

第10讲 相似三角形2