离心率的求法总结[精]

圆锥曲线中的离心率问题

离心率两大考点：求值、求范围

求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）

2. 几何法

3. 与其它知识点结合

、不等关系求解.

求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c

、不等关系求解

2. 运用数形结合建立a c

3. 利用曲线的范围，建立不等关系

4. 运用函数思想求解离心率

5. 运用判别式建立不等关系求解离心率

一、求离心率的值

1. 利用a与c的关系式（或齐次式）

题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．

题2：已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为

6

2

题3：设双曲线()222200x y a b a b

－＝1＞，＞的渐近线与抛物线2

1y ＝x ＋

相切，则该双曲线的离心率等于（ ）

（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6

解：由题双曲线()22

2200x y a b a b

－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程

整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即

5522=?=e a c ，故选择C 。

题4：(2009浙江理) 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该

直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若1

2

AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3

（C ）5

（D ）10

2. 几何法

题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是

112

1

1,2,3,31

MF F F MF e

题2：F l，F2为椭圆的左、右两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1PQ，且1

PF PQ，求椭圆的离心率．

题3：

122

12

(05,,

221

A. B. C. 2 2 D. 21

22

F F F P

F PF

全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

－

－－

?

（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）

解：如右图所示，有12

22

2||||

21

22221

c c c

e

a a PF PF

c c

===

+

===-

++

离心率的定义椭圆的定义

故选D

3. 与其它知识点结合

题1：已知M为椭圆上一点，F l，F2是其两个焦点，且∠MF l F2= 2，∠MF2F l=(≠ 0)，则椭圆的离心率为( )

(A)1—2sin (B)l —sin 2 (C)1-cos2 (D)2cos -1

题2：已知P 为双曲线右支上

一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率

为 ．

2

练习：.

222

21(0

),34

x y a

b a b

c 1.设双曲线

半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到

直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）

A

233

2.已知双曲线的渐近线为34y x ，则双曲线的离心率为 55,34

3.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 2

2

b a c

a

22

1212224.(071(0,0)||5

A. 3

B. 5

C.

D. 13x y F F a b A B O OF a b

F AB 安徽卷)

和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径

的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）

＋-=>>?

22

121222125.(07190,

||3||,51015A. B. C. D. 5x y F F A F AF a b

AF AF 全国Ⅱ)

设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）

-=∠==

二、求离心率的取值范围

1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.

题1：（2008福建）双曲线22

221x y a b

==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，

且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )

A.(1,3)

B.(]1,3

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.

题2：（04重庆）已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在

双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )

A 43

B 53

C 2

D 7

3

∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1|

|PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即

23a c a ≥-∴5

3

a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为5

13

e <≤，故选B.

练习：

1. 已知1F ，2F 分别为22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一

点，若

2

12

PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A (1,2]

B (1,3]

C [2,3]

D [3,)+∞

解析

2

2

212222

2

2

(2)442448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +=

=++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.

2. 利用曲线的范围，建立不等关系

题1．设椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，

使

1290

F PF，求离心率e的取值范围。解：设因为，所以

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

题2：椭圆G：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的两焦点为

12

(,0),(,0)

F c F c

-，椭圆上存在点M使

120

FM F M=. 求椭圆离心率e的取值范围；

解析 设2

2

2

1

2(,),0M x y FM F M x y c ?=?+=……① 将22

2

22b y b x a =-代入①得2222

2

a b x a =-

220x a ≤≤求得

2

12

e ≤< . 点评：22

221(0)x y a b a b

+=>>中x a ≤，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数

范围问题中经常使用，应给予重视.

3. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解

题1：（06福建）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为

60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

解析 欲使过点F 且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ b a

≥3，即3b a ≥即2223c a a -≥∴224c a ≥即2e ≥故选C.

题2：直线L 过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，斜率k=2，若L 与双曲线的两个

交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

如图1，若

，则L 与双曲线只有一个交点；若，则L 与双曲线的两交点均在右

支上，

题3：已知F 1、F 2分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A 、B 两点。若△ABF 2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值

范围。

解：如图2，因为△ABF 2是等腰三角形，所以只要∠AF 2B 是锐角

即可，即∠AF 2F 1<45°。则

4. 运用函数思想求解离心率

题1：（08全国卷Ⅱ）设1>a ，则双曲线22

22

1(1)

x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(

解析：由题意可知22111()1(1)a e a a +=+=++∵1>a ∴1

112a

<+< ∴25e <<，故选B.

5. 运用判别式建立不等关系求解离心率

题1：（全国Ⅰ）设双曲线C ：1:)0(12

22=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两个不同的点

A 、B.求双曲线C 的离心率e 的取值范围

解析

由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组

??

???=+=-.1,

12

22y x y a

x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

所以2

42210.48(1)0.

a a a a ?-≠??+->??解得02 1.a a <<≠且

双曲线的离心率

22

111a e a a

+==+021,a a <<≠且∴6

22

e e >

≠且 所以双曲线的离心率取值范围是6

(,2)(2,)2

+∞

练习：

1。设22

221(0,0)x y a b a b

-=>>两条渐近线含实轴的所成角为，离心率2,2e

，，则

的范围

1组

1。分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解. 2，∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即

23a c a ≥-∴5

3

a c ≥

所以双曲线离心率的取值范围为

5

1

3

e

<≤，故选B.

练习：

解析

222

122

2

222

(2)4

42448

PF a PF a

PF a a a a

PF PF PF

+

==++≥+=，欲使最小值为8a，

需右支上存在一点P，使

2

2

PF a

=，而

2

PF c a

≥-即2a c a

≥-所以13

e

<≤.

2组

1。解：设因为，所以

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

2，解析设222

12

(,),0

M x y FM F M x y c

?=?+=……①

将

2

222

2

b

y b x

a

=-代入①得

22

22

2

a b

x a

=-22

0x a

≤≤求得

2

1

e

≤< .

点评：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>中x a

≤，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.

3组

1，解析欲使过点F且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b

a

，∴

b

a

≥3，即3

b a

≥即

2223c a a -≥∴224c a ≥即2e ≥故选C.

2，解：如图1，若，则L 与双曲线只有一个交点；若，则

L 与双曲线的两交

点均在右支上，

3，解：如图2，因为△ABF 2是等腰三角形，所以只要∠AF 2B 是锐角即可，即∠AF 2F 1<45°。则

4组，1解析：由题意可知22111()1(1)a e a a +=+=++1>a ∴1

112a

<+< ∴

25e << B.

5组 1，解析 由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组

??

???=+=-.1,

12

22y x y a

x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

所以2

42210.48(1)0.

a a a a ?-≠??+->??解得02 1.a a <<≠且

双曲线的离心率

22

111a e a

+==+021,a a <<≠且∴6

2e e >

≠所以双曲线的离心率取值范围是6

(2)(2,)+∞ 练习