安徽省江南十校2020届高三3月联考数学(理)试题Word版含答案

2018 年安徽省“江南十校”综合素质检测
理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. i 为虚数单位，则 i ? （ ） 1? i
A． ? 1 ? 1 i 22
B． 1 ? 1 i 22
C． 1 ? 1 i 22
2.已知集合 A ? {x | y ? ln(1? 2x)} ， B ? {x | ex ? 1}，则（
D． ? 1 ? 1 i 22
）
A． A B ? {x | x ? 0}
B． A
B
?
? ? ?
x
|
0
?
x
?
1 2
? ? ?
C． A
CR B
?
? ?
x
?
|
x
?
1 2
? ? ?
D． (CR A) B ? R
3. f (x) 是 R 上奇函数，对任意实数 x 都有 f (x) ? ? f (x ? 3) ，当 x ? (1 , 3) 时，
2
22
f (x) ? log2 (2x ?1) ，则 f (2018) ? f (2019) ?（ ）
A． 0
B．1
C． ?1
D． 2
4.在区间[0,1] 上随机取两个数 a ， b ，则函数 f (x) ? x2 ? ax ? 1 b 有零点的概率是（ ） 4
A． 1 12
B． 2 3
C． 1 6
D． 1 3
5.下列说法中正确的是（ ）
①“ ?x ? 0 ，都有 x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? 0 ，使 x02 ? x0 ?1 ? 0 ”.
②已知{an} 是等比数列， Sn 是其前 n 项和，则 Sn ， S2n ? Sn ， S3n ? S2n 也成等比数列. ③“事件 A 与事件 B 对立”是“事件 A 与事件 B 互斥”的充分不必要条件.
④已知变量 x ， y 的回归方程是 y ? 200 ?10x ，则变量 x ， y 具有负线性相关关系.
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④
6.执行如图所示的程序框图，输出的 S 和 n 的值分别是（ ）

A． 20 ， 5
B． 20 ， 4
C．16 ， 5
D．16 ， 4
7.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲
生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为 3 尺；莞生长 第一天，长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与 莞的长度相等？”以下给出了问题的 4 个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数
据： lg 2 ? 0.30 ， lg 3 ? 0.48）（ ）
A．1.3 日
B．1.5 日
C． 2.6 日
D． 3.0 日
8.在 ?ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 b2 ? ac ， a2 ? bc ? c2 ? ac ，
则 c 的值为（ ） b sin B
A． 1 2
B． 3 2
C． 2
D． 2 3 3
9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和
等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）
A． 3? ? 4 2
B． 4(? ? 2 ?1)
C． 4(? ? 2)
D． 4(? ?1)

10. (x ? 1)(2x ? a )5 的展开式中各项系数之和为 2 ，则该展开式中常数项为（ ）
x
x
A． ?40
B． ?20
C． 20
D． 40
11.若函数 f (x) 的导函数 f '(x) ? Acos(?x ??) ( A ? 0,? ? 0, ? ? ? ) ， f '(x) 的部分图象 2
如图所示， g(x)
?
f
(
x
?
? 12
)
，当
x1
,
x2
?
????
? 12
,
? 3
? ??
时，则
g(x1) ? g(x2)
的最大值为（
）
A． 3 ?1 2
B． 3 ?1
C． 3 2
D． 3
12.已知函数
f
(x)
?
1 2
ax2
? (x
?1)ex
(a ?
R)
，若对任意实数
x1,
x2 ,
x3
?[0,1] ，都有
f (x1) ? f (x2 ) ? f (x3) ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1, 2]
B．[e, 4)
C．[1, 2) [e, 4]
D．[1, 4]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 a ? (2, 0) ， b ? (1, 2) ，实数 ? 满足 a ? ?b ? 5 ，则 ? ?
．
?
?x ?1
14.实数
x
、
y
满足
?? x ? ?y
? ?
y? 1x
3 ，则 ?1
y x
?1 ?1
的取值范围是
．
?2
15.正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 底面边长为 2 ，侧棱长为 4 ， E 、 F 分别为棱 BB1 、 D1C1 的
中点，则四面体 FECC1 的外接球的表面积为
．
16.已知双曲线
C1
，C2
的焦点分别在
x
轴，
y
轴上，渐近线方程为
y
?
?
1 a
x
，离心率分别为
e1 ， e2 .则 e1 ? e2 的最小值为
．

三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分
17.等差数列 {an } 的首项
a1
?
N*
，公差 d
?
? ??
?
1,? 3
1 5
? ??
，前 n
项和
Sn
满足
S5
?
S12
.
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若 bn
?
9 4
?
an
，数列
? ? ?
1 bnbn?2
? ? 的前 n ?
项和为 Tn
，求证 Tn
? 12 .
18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.
在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的
代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足 4 千步的人
为“不健康生活方式者”，不少于10 千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方
式者”.某日，学校工会随机抽取了该校 400 名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，
得到频率分布直方图如图所示：
（1）求 400 名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）； （2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数? （千步）服从正态分布 N (?,? 2 ) ，其中 ? 为 样本平均数，标准差? 的近似值为 2.5 ，求该校被抽取的 400 名教职工中日行步数（千步） ? ?(2, 4,5) 的人数（结果四舍五入保留整数）； （3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取 2 人作为“日行万步” 活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人 0 元；“一般 生活方式者”奖励金额每人100 元；“超健康生活方式者”奖励金额每人 200 元.求工会慰问

奖励金额 X 的分布列和数学期望. 附：若随机变量? 服从正态分布 N (?,? 2 ) ， 则 P(? ?? ? ? ? ? ?? ) ? 0.6826 ， P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 . 19.如图，在以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 为顶点的五面体中，平面 CDEF ? 平面 ABCD ， FC ? FB ，四边形 ABCD为平行四边形，且 ?BCD ? 45 .
（1）求证： CD ? BF ；
（2）若 AB ? 2EF ? 2 ， BC ? 2 ，直线 BF 与平面 ABCD 所成角为 45 ，求平面 ADE 与 平面 BCF 所成锐二面角的余弦值. 20.线段 AB 为圆 M ： x2 ? y2 ? 2x ?10 y ? 6 ? 0 的一条直径，其端点 A ， B 在抛物线 C ： x2 ? 2 py( p ? 0) 上，且 A ， B 两点到抛物线 C 焦点的距离之和为 21 .
2 （1）求直径 AB 所在的直线方程； （2）过 M 点的直线 l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，抛物线 C 在 P ， Q 处的切线相交于 N 点，
求 ?PQN 面积的最小值.
21.已知函数 f (x) ? ax2 ? x ? ln(ax) (a ? 0, a ? R) .
（1）求函数 f (x) 的单调递增区间；
（2）讨论函数 f (x) 零点的个数.
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
xoy
中，曲线
C1
的参数方程是
?x
? ?
y
? ?
cos? 2 sin ?
（?
为参数，
0
?
?
?
?
），在

以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 4 ，等
边
?ABC
的顶点都在
C
2
上，且点
A
，
B
，
C
依逆时针次序排列，点
A
的极坐标为
(4,
? 6
)
.
（1）求点 A ， B ， C 的直角坐标；
（2）设 P 为 C1 上任意一点，求点 P 到直线 BC 距离的取值范围.
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 f (x) ? x ? 2 ? 2x ? a ， a ? R .
（1）当 a ?1，解不等式 f (x) ? 2 ； （2）求证： f (x) ? a ? 2 ? 1 a .
2
2018 年安徽省“江南十校”综合素质检测

一、选择题 1-5: CBADD 二、填空题
数学（理科）解析及评分标准 6-10: ACDAD 11、12：CD
13. ? ?1或 ? ? ? 1
5
三、解答题
14.
????
3 4
,
1 2
? ??
15. 17?
16. 2 2
17.解：（1）∵ S5 ? S12 ，∴ 5a1 ?10d ? 12a1 ? 66d ，得 a1 ? ?8d ，
∵
?
1 3
?
d
?
?
1 5
，∴
8 5
?
a1
?
8 3
，
又∵
a1
?
N
*
，∴
a1
?
2
，
d
?
?
1 4
，
∴
an
?
?n ? 4
9
.
（2）∵ bn
?
9 4
?
an
，∴
bn
??n 4
，∴ 1 bnbn?2
?
16 n(n ? 2)
? 8(1 ? 1 ) ， n n?2
Tn
?
1 b1b3
?
1 b2b4
????? 1 bnbn?2
? 8(1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ?1 n n ? 2
? 8(1? 1 ? 1 ? 1 ) ? 12 . 2 n ?1 n ? 2
18.解：（1）
x ? 0.04?1? 0.08?3 ? 0.16?5 ? 0.44? 7 ?0.16?9 ? 0.1?11? 0.02?13 ? 6.96 ? 7 .
（2）∵? N (7, 2,5) ，∴ P(4.5 ? ? ? 9.5) ? 0.6826 ， P(2 ? ? ?12) ? 0.9544 ， ∴ P(2 ? ? ? 4.5) ? 1 (P(2 ? ? ? 12) ?P(4.5 ? ? ? 9.5)) ? 0.1359 .
2 走路步数? ?(2, 4,5) 的总人数为 400?0.1359 ? 54 人.
（3）由题意知 X 的可能取值为 400 ， 300 ， 200 ，100 ， 0 ， P( X ? 400) ? C22 ? 0.122 ? 0.0144 ， P( X ? 300) ? C21 ? 0.12 ? 0.76 ? 0.1824 ， P( X ? 200) ? C21 ? 0.12 ? 0.12 ?C22 ? 0.762 ? 0.6064 ，

P( X ? 100) ? C21 ? 0.12 ? 0.76 ? 0.1824 ， P(X ? 0) ? 0.122 ? 0.0144 .
则 X 的分布列为：
X
0
100
200
300
400
P
0.0144
0.1824
0.6064
0.1824
0.0144
EX ? 400?0.0144 ? 300?0.1824 ?200?0.6064 ?100?0.1824 ?0?0.0144 ? 200.
19.解：（1）过 F 作 FO ? CD 交 CD 于 O ，连接 BO ，由平面 CDEF ? 平面 ABCD ，得 FO
平面 ABCD，因此 FO ? OB .
∴ FB ? FC ， FO ? FO ， ?FOC ? ?FOB ? 90 ，
∴ ?FOC ? ?FOB ，∴ OB ? OC ，
由已知 ?DCB ? 45 得 ?BOC 为等腰直角三角形，因此 OB ? CD ，又 CD ? FO ，
∴ CD ? 平面 FOB ，∴ CD ? FB .
（2）∵ AB / /CD ， AB ? 平面 CDEF ， CD ? 平面 CDEF ，∴ AB / / 平面 CDEF ， ∵平面 ABEF 平面 CDEF ? EF ，∴ AB / /EF ， 由（1）可得 OB ， OC ， OF 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ，由题设可得 ?FBO ? 45 ，进而可得 A（1, ?2, 0），B（1, 0, 0），C（0,1, 0），D（0, ?1, 0) ，
E(0, ?1,1) ， F(0, 0,1) ，
设平面
ADE
的法向量为
m
?
(x1,
y1,
z1)
，则
??m ? ??m
? ?
AD DE
? ?
0 0
，即
????z1x?1 ?0
y1
?
0
，
可取 m ? (1,1, 0) ，
设平面
BCF
的法向量为
n
?
( x2 ,
y2 ,
z2 )
，则
??n ? ??n
? BC ? CF
? ?
0 0
，即
?? x2 ??? y2
? ?
y2 z2
? ?
0
，
0

可取 n ? (1,1,1) ， 则 cos ? m, n ?? m ? n ? 2 ? 6 ，
m ? n 2? 3 3
∴二面角的余弦值为 6 . 3
20.解：（1）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，抛物线 C 的焦点为 F ，则 AF ? BF ? y1 ? y2 ? p ，
又
y1
?
y2
? 10
，故10 ?
p
?
21 2
，∴
p
?
1 2
，
于是 C 的方程为 x2 ? y .
?? ? ??
x12 x22
? ?
y1 y2
，则
y1 x1
? ?
y2 x2
? x1 ? x2 ? ?2 ，
∴ AB 的直线方程为 2x ? y ? 3 ? 0 .
（2）不妨记 P(x1, y1) ， Q(x2 , y2 ) ， N (x0 , y0 ) ，直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) ? 5，
联立
?x2 ?
?
y
得 x2 ? kx ? k ? 5 ? 0 ，
? y ? k(x ?1) ? 5
则
? ? ?
x1 x1
? x2 ? k ? x2 ? ?k
，
?5
PQ
?
1? k2 ?
k2 ? 4k ? 20 ，
又因为 y0 ? y1 ? 2x1(x0 ? x1) ，则 x12 ? 2x0 x1 ? y0 ? 0 ，
同理可得： x22 ? 2x0 x2 ? y0 ? 0 ，
故 x1 ， x2 为一元二次方程 x2 ? 2x0 x ? y0 ? 0 的两根，
∴
?2x0 ? x1
? ?
y0
?
?k
? x2 ?5
，
k 2 ? 2k ?10
点 N 到直线 PQ 的距离 d ? 2
? k2 ? 4k ? 20 ，
1? k2
2 1? k2
S?NPQ
?
1 2
PQ
?d
?
1 (k2 4
? 4k
3
? 20)2
?
1 [(k 4
? 2)2
3
?16]2 ，
∴ k ? ?2 时， ?NPQ 的面积 S 取得最值16 .

21.解：（1）当 a ? 0 时， f (x) 的定义域为 (0, ??) ，
f '(x) ? 2ax ?1? 1 ? 2ax2 ? x ?1 ，令 2ax2 ? x ?1 ? 0得：
x
x
x1 ? 1?
1? 8a 4a
? 0 ， x2 ? 1?
1? 8a 4a
?0，
∴ f (x) 的单调递增区间为 (x2 , ??) .
当 a ? 0 时， f (x) 的定义域为 (??, 0) ， f '(x) ? 2ax ?1? 1 ? 2ax2 ? x ?1 ，
x
x
当 ? ?1? 8a ? 0即 a ? ? 1 时， f (x) 的单调增区间为 (??, 0) ， 8
当
?
?
0 ，即 ?
1 8
?
a
?
0
时，
f
'(x)
?
2a x
(x
?
x1 )
(x
?
x2 )(x2
?
x1
?
0)
.
f (x) 的单调递增区间为 (??, x2 ) 和 (x1, 0) .
（2）由（1）知当 a ? ? 1 时， f (x) 在 (??, 0) 内单调递增， f ( 1 ) ? 0 ，
8
a
故 f (x) 只有一个零点 x ? 1 ， a
当
?
1 8
?
a
?
0
时，
f
(x)
在
x
?
x2 处取极大值，
x
?
x1 处取极小值.
由a
?
x1 ?1 2 x12
知
x1
?
?1，而 1 a
?
x2
?
1 4a
?
x1
? ?1，则
f (x2 ) ?
f (1) ? 0， a
f
( x1 )
?
ax12
?
x1
?
ln(ax1 )
?
1? x1 2
?
ln(
2x1 ) x1 ?1
，
∵
x1
?
?1，∴
2x1 ?1 ? x1 ?1
x1 x1
?1 ?1
?
0 ，∴
f
( x1 )
?
0，
∴当 a ? 0 时，函数 f (x) 只有一个零点 x ? 1 ， a
当 a ? 0 时，
令 g(a) ? f (1) ? a ?1? ln a ，
g '(a) ? a ?1 ， g(a) 在 (0,1) 单调递减，在 (1, ??) 单调递增， a
g(a)min ? g(1) ? 0 ，∴ g(a) ? f (1) ? 0 （当且仅当 a ?1时，等号成立），
i） a ?1时，

1 ? 8a ?1 ?1 ? 1 ， f ( 1 ) ? 0 ， f (1) ? 0 ，
4a
aa
由（1）函数单调性知， f ( 8a ?1 ?1) ? 0 ，所以函数在 ( 8a ?1 ?1,1) 存在零点，
4a
4a
∴ f (x) 在 (0, ??) 有两个零点.
ii） 0 ? a ? 1时，
1 ? 8a ?1 ?1 ? 1 ， f ( 1 ) ? 0 ， f (1) ? 0 ，
4a
aa
同理可得函数在 (1, 8a ?1 ?1) 存在零点， 4a
∴ f (x) 在 (0, ??) 有两个零点.
iii） a ?1时， f ( 1 ) ? f (1) ? 0 ，函数在 (0, ??) 有一个零点.
a
综上所述：
当 a ? 0 或 a ?1时，函数有一个零点， 当 a ? 0 且 a ? 1时，函数有两个零点.
22.解：（1）由 x ? ? cos? ， y ? ? sin? 可得点 A 的直角坐标 A(2 3, 2) ， 由已知， B 点的极坐标为 (4, 5? ) ，可得 B 两点的直角坐标为 B(?2 3, 2) ，
6 C 点的极坐标为 (4, 3? ) ，同理可得 C 两点的直角坐标为 C(0, ?4) .
2 （2） BC 直线的方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ，
设点 P(cos?, 2sin?) (0 ? ? ? ? ) ，则点 P 到直线 BC 距离
d?
3 cos? ? 2sin? ? 4 ?
7 sin(? ?? ) ? 4 （其中 cos? ?
2
， sin? ?
3 ），
2
2
7
7
因为 0 ? ? ? ? ，所以? ? ? ?? ? ? ?? ，所以 ? 3 ? sin(? ?? ) ? 1， 7
所以 d ?[ 4 ? 3 , 4 ? 7 ] .
2
2

23.解：（1）当 a ?1， f (x) ? x ? 2 ? 2x ?1 ? 2
?
?x ? ?2 ???3x ? 3
?
2
或
???2 ? ??? x
? ?
x?? 1? 2
1 2
或
??x ? ? 1 ?2 ??3x ? 3 ?
2
? x ? ?2 或 ?2 ? x ? ?1或 x ? ? 1 3
? x ? ?1或 x ? ? 1 ， 3
所以不等式的解集为{x | x ? ?1或x ? ? 1}. 3
（2）
f (x) ? x ? 2 ? 2x ? a ? x ? 2 ? | x ? a | ? | x ? a | ?| 2 ? a | ? | x ? a | ?| 2 ? a |?| a ? 2 |
2
2
2
2
22
?| (a ? 2) ? 1 a | ?| a ? 2 | ? | 1 a | ?| a ? 2 | ? 1 | a | .
2
2
2