2017年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09 解三角形)

2017

年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（09解三角形）

一、选择题

1．（2017全国新课标Ⅰ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=

，a =2，c C =（ ）

A ．

π12 B ．π6

C ．

π4 D ．3

【答案】B

2.（2017山东理）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ，则下列等式成立的是( ) （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A

【解析】试题分析：sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+

所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

二、填空

1．（2017全国新课标Ⅱ文）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】

π3

【解析】由正弦定理可得

1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23

B B A

C C A A C B B B =+=+=?=

?=.

2．（2017全国新课标Ⅲ文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，

则A =_________. 【答案】75°

【考点】正弦定理

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 3．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．

【解析】

【考点】解三角形

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．

三、解答题

1.(2017北京理)在△ABC 中，A =60°，c =3

7

a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.

【答案】【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理

=

sin sin a c

A C

求sin C 的值；（Ⅱ）根据条件可知7,3,a c ==根据（Ⅰ）的结果求cos C ，再利用()sin sin B A C =+求解，最后利用三角形的面积1

sin 2

S ac B =.

【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.

【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式

2．（2017全国新课标Ⅰ理）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

.

（1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A

=，即1sin 23sin a

c B A =.

由正弦定理得1sin sin sin 23sin A

C B A =.

故2

sin sin 3

B C =.

3. （2017全国新课标Ⅱ理）ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知

()2

sin 8sin 2

B A

C +=， （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC ?的面积为2，求b 。

【答案】(1)15cos 17

B =； (2)2b =。

4．（2017全国新课标Ⅲ理）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A +=，

a =，2

b =．

（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．

【解析】（1）由

sin 0A A =得π2sin 03A ?

?+= ??

?，

即()π

π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，

∴ππ3A +=，得2π

3

A =

.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理得

()

2

125c +=，故4c =.

（2）∵2,4AC BC AB ===，