二次根式

第二十一章 二次根式

姓名：__________ 班级：________ 学号：_____ 得分：

一、选择题：（每题3分，共30分）

1、如果421

x x ++有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－4 B ．x ≠—

12 C ．x ≥－4且x ≠—12 D ．x>－4且x ≠—12 2．二次根式2(32)-的值等于（ ）

A ．32-

B ．23-

C ．±(32)-

D ．23+

3．下列各式中计算正确的是：（ ） A.8(-2)(-4)16-4-(-4)(-16)=== B.a a 482= C.7434322=+=+ D. 91940414041404122=?=-?+=-

4．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为：（ ） A.1 B.19 C.19 D. 29

5．若3-=x ，则2)1(1x +-等于：（ ）

A.-1

B.1

C.3 D-3

6．在15，6

1，211，40中最简二次根式的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

7．n 24 是整数，则正整数n 的最小值是：（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8. 实数a,b 在数轴上的位置如图，那么化简2a b a --的结果是（ ） A ：2a －b B ：b C ：－b D ：-2a ＋b

9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ）

A ．43-=a

B ．3

4=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+-得（ ）

A ．—2

B ．22-

C ．2

D ． 224-

二、填空题：（每题3分，共24分）

11．要使2x -在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 ．

12．()=?0,03010y ＞x ＞xy xy ．

13．三角形的三边长分别是：

20cm ，40cm ，45cm,则这个三角形的周长为 ．

14．计算3

393a a a a -+= ． 15．已知 2-x +5y +=0，则x+y= 。

16．在实数范围内分解因式 =-94x ．

17．已知231,3a b ab -=-=，则(1)(1)a b +-= ； 18. 23231

+-与的关系是 。

三、解答题：（共46分）

19、化简（每题3分，共12分）

（1）)169()144(-?- （2）22531-

（3）510242

1?-

（4）n m 218

22、计算：（每题4分，共16分）

（1）2484554+-+

（2））—（）（12581845-+

﹙3﹚)65)(65(-+ ﹙4﹚(3+1)2-248

23．（1）已知21=-a a ，求：a

a 1+的值。 （2）已知1212-=+=

y x ，，求222y xy x ++的值。（8分）

24．阅读下面问题：（10分） 12)12)(12()12(12

11

-=-+-?=+；;23)23)(23(23231-=-+-=+25)25)(25(25251

-=-+-=+。

试求：（1）n n ++11

（n 为正整数）的值。

（2）利用上面所揭示的规律计算：

+?++++++4313212

11

201020091200920081+++

二次根式有意义

二次根式有意义 评卷人得分 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（） A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且 x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣ D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（）

A．x＞B．x＜C．x≥﹣ D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 评卷人 得分 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是．

二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D．

八下第一章 1.3二次根式的运算(1)

八年级上学期数学第一章 二次根式 1.3二次根式的运算（1） 一、回顾知识 导入新课 1、计算： (1) = ，= ∴ (2) = , = ∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示. 例1 计算： （1）322? （2） 550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥?y x xy xy 跟踪练习：计算： （1）61211÷ （2）6 72 （3）2)0,0(6632 b a a ab ? 例2 计算： （1）-9215125.225? （2）5 232232?÷ 跟踪练习：计算： （1）)7223()563(212-?÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x b a -÷+?-

2、最简二次根式的两个条件： （1） （2） 三、当堂检测 自我评价 1、下列等式中，成立的是（ ） A. = B. = C. = D. = 2的结果是（ ） A. 3- B. C. D. 3- 3 ） A. B. C. 2 D. 4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( ) A ．122- B ．22- C ．21- D ．22+ 5、计算：27 1331322÷?的结果是（ ） A 、33 1 B 、231 C 、26 D 、62 6、比较大小：，32 612 8、计算：(1 (2

( 3 （4）)104 3(53544-÷? 3、 将1按如图所示的方式排列. A.1 B.2 C.

4、已知1a a +=1a a -的值为（ ） A ．± B ．8 C ． D ．6 8、探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1） 验证：= = （2） 验证： = 同理可得：==，…… 通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．

二次根式定义解读

二次根式定义解读 我们知道：一般地，形如a )0(≥a 的式子的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a . 这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？ 1. 条件)0(≥a 的作用：列不等式，可求被开方数中，字母的取值范围. 例1 当a -1 1++a 有意义时，a 的取值范围是 . 析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a 含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立， ∴据题意得???≠+≥-0 10a a 解得：,0≤a 且1-≠a . 例2 121 2+x 有意义，则x 的取值范围是 . 解：法一 据题意得： 012>+x , 12->x , 当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数. 法二：∵,02≥x ∴112 ≥+x , 即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数. 点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论. 【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围. 2. 0≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中. 例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x += . 解：据题意得， 32-+y x +1-xy =0, ∴???=-=-+010 32xy y x , ∴???==+13 2xy y x ,

二次根式有意义的条件练习题

二次根式有意义的条件练习题 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________有意义。 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤ 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. = 成立的条件是 。 12. 若1a b -+与()2005 _____________a b -=。 13. )))020x y x x y =-+ 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()2 22a + D. ()2 24a +

17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( ) ()() 123224==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。

04.二次根式全章复习与巩固讲义

二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点

类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题

人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根 式，而 ， 等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x （x>0）、0、42、-2、 1 x y +、x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所 以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0； 若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（ 32）2 2．（35）2 3．（56 ）2 4．（7）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身， 即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （19 （22(4)- （325 （42(3)-例2 填空：当a ≥02a ；当a<02a ，?并根据这一性质回答下列问题．

浙教版八年级数学下册第一章二次根式测试(含答案)

a +a=0, 则有 ( b ) ，则 a=b ．若 a =b ，则 a 是 b 的平方根 4、若 |1 －x| － x －8x+16 ＝2x －5，则 x 的取值范围是（ －(x+a) ?(x+b) 等于（ 第一章 二次根式测试卷 姓名 一、选择题 （每题 2.5 分，共 30 分） 班级 得分 1、若实数 a 满足 2 ) A ． a>0 B ． a ≥ 0 C ．a<0 D ．a ≤0 2、下列命题中，正确的是（ ） A ．若 a>b ，则 a> b B ．若 a >a ，则 a>0 C ．若 |a|=( 2 D 2 3、使 x ＋ 1 x-2 有意义的 x 的取值范围是（ ） A ． x ≥ 0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0 且 x ≠2 2 ） A ． x>1 B ．x<4 C ．1≤x ≤4 D ．以上都不对 5、下列各式正确的是（ ） A ． 2 ＋ 3 ＝ 5 B ． ( －4)( － 9) ＝ －4 ? －9 ＝( －2) ?( －3) ＝6 C ． (2 10 － 5 ) ÷ 5＝2 2 － 1 D ．－ 3 2 ＝－ 18 6、如果 a

二次根式及其有意义的条件.docx

初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师 徐文涛 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅 【考点精讲】 概念 二次根式 表示方法 有意义的条件 1. 二次根式：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为 二次根号，“ a ”叫做被开方数。 2. 当 a ＞ 0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞ 0； 当 a ＝0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a ＝ 0。 这就是说， a （ a ≥ 0）是一个非负数。 【典例精析】 例题 1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10 ， x 2 3 ， 3 15 ， ，5 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路导航： 3 15 的根指数为 3； 5 的被开方数是负数，所以不是二次根式； 10 ， x 2 3 ， 符合二次根式的条件，所以是二次根式的有 3 个。 答案： C 点评： 二次根式必须满足两个条件：①根指数为 2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。 例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义 （ 1） (x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3） 1 x 1 思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数， 如果分母中有根式， 那么 被开方数必须是正数，因为零不能作分母。 答案： 解：（ 1）因为（ x － 3） 2≥0，所以无论 x 取任何实数， (x 3) 2 都有意义； （ 2）若 4 3x 有意义，则必有 4－3x ≥0，即当 x ≤ 4 时， 4 3x 有意义； 3

最新浙教版八年级数学下册二次根式全章测试卷

《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是（ ） A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 5.10的整数部分是x ，小数部分是y ，则y （x+10）的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是（ ） A ．722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得（ ） A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A ． ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ，b a ,则a 、、b、c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填（每小题3分，共24分） 11.同学们玩过“24点”游戏吗？现在给你一个无理数2，你再找3个有理数，使它经过

人教版八年级下册数学第一章二次根式测试题

2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学（第一章） 出题人： 分数： 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 3. 请在密封线外答题。 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 a 的取值范围是（ ） A 、0a ≥ B 、0a ≤ C 、3a ≥ D 、3a ≤ 2、下列各式中一定是二次根式的是（ ） A B C 、12+x D 3 x 应满足的条件是（ ） A. 52x = B. 52x < C. x ≥52 D. x ≤52 4、当x=3时，在实数范围内没有意义的是（ ） A. B. C. D. 5得（ ） A. - B. C. 18 D. 6 6 = ） A. 1a ≥- B. 1a ≤ C. 1<1a -≤ D. 11a -≤≤ 7、下列各式计算正确的是（ ）

A. = B. = C. = D. = 8、若 A = ） A. 23a + B. 22(3)a + C. 22(9)a + D. 29a + 9、已知xy ＞0，化简二次根式 ） A. B. C. D. 10、下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．3392-?+=-x x x B ．22)(a a = C ．1122-=+-x x x D ．22)5.2()5.2(=- 11、化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 12、如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 二、填空题。（每小题3分，共24分） 13、=-2)3.0( ；=-2)52( 。 14、二次根式 3 1-x 有意义的条件是 。 15、若m<0，则332||m m m ++= 。 16、已知233x x +=－x 3+x ，则x 的取值范围是 。 17、若12+a 与34-a 的被开方数相同，则a = 。 18、=?y xy 82 ，=?2712 。

二次根式的意义及基本性质

人教版九年级第21章第1节二次根式（2）教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解a≥0）是一个非负数； （22=a（a≥0），会运用该公式进行简单计算； 2．过程与方法 （1）先复习二次根式概念及成立条件； （2）再让学生探讨a≥0a≥0）是一个非负数； （32=a（a≥0），最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观 （a≥0）的正负特征培养分类讨论的科学态度；学生通过运用 2=a（a≥0）严谨解题，加强学生准确解题的能力． 教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：用分类思想导出a≥0）是一个非负数；?2=a （a≥0）． 一．课堂导入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 二．探索新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是正数，负数，还是零呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；2=_______；

）2=______；2=_______；2=_______． 老师点评4是一个平方等于4的 2=4． 同理可得：2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72 ，）2=0，所以 例1 计算 1．2 2．（）2 3．2 4．（2 ）2 分析2=a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=56，（2）2=2 2724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 42 ）2 （） 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．（2（x≥0） 2．2 3．）2 4．）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．

二次根式有意义

二次根式有意义 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（） A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（）

A．x＞B．x＜C．x≥﹣D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是．

二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D． 3．式子中x的取值范围是（）

二次根式的概念及有意义的条件教案

教学过程 一、复习预习 1.二次根式的概念 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的双重非负性 二、知识讲解 考点1 二次根式的概念 （a≥0）?的式子叫做二次根式， 要点诠释：（1）必需含有二次根号. （2）被开方数a≥0. （3）a可以是数,也可以是含有字母的式子.

考点2 二次根式有意义的条件 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 考点3 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性是指二次根式本身是非负的0 ，被开方数也是非负的 a 03. 三、例题精析 【例题1】 下列式子，哪些是二次根式，、1 x x>0）、 、1 x y +（x ≥0，y?≥0）． 【答案】（x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次 1x 、1x y +． 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 【例题2】 当x 【答案】由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0能有意义．

【例题3】 已知 ，求x y 的值． 【答案】2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【例题4】 ，求a2014+b2014的值． ∴a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1， 故a2014+b2014=（-1）2014+（1）2014=2 【解析】由二次根式的定义可知, 和 故只能是a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，故a2014+b2014=（-1）2014+12014=2. 四、课堂运用 【基础】 1.下列式子中，是二次根式的是（） A． B C D．x 【答案】A 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 ；第二，被开方数是正数或0． B选项所含根号不是二次的，C选项中被开方数可为负，D选项不含二次根号. 2.下列式子中,是二次根式的有(填序号)

第十六章二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a）2=a（a≥0）；（2）= =a a2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a（a＞0） a -（a＜0） 0 （a=0）；

【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 ）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x -- +315；（2）2 2)-(x 例3、 在根式 1) ， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a

浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结

知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义． 【例2】若式子 13 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式 2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式 mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y= 5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子 a （a ≥0），50 ,50x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、若 11x x ---2 ()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。 已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求1 2 a b + +的值。若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2 + 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( )()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥-

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -0，b>0时，则：①1a a b b >?>； ② 1a a b b

二次根式有意义题

一、选择题（共20小题） 1．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（） A．B．C．D． 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A．x=1B．x≥1C．x＞1 D．x＜1 3．x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 5．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1 6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4 8．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x= B．x≠C．x≥D．x≤ 10．要使式子有意义，则a的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 12．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 13．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2

14．代数式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x ≥1且x ≠﹣1 D ．x ≥﹣1 15．下列说法中，正确的是（ ）A ．当x ＜1时，有意义 B ．方程x 2+x ﹣2=0的根是x 1=﹣1，x 2=2 C ．的化简结果是 D ．a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c 16．在式子，，，中，x 可以取2和3的是（ ） A ． B ． C ． D ． 17．使代数式有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．﹣5≤x ＜5 C ．x ≥5 D ．x ≥﹣5 18．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥ B ．x ≥﹣ C ．x ＞ D ．x ≠ 19．二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＜2 D ．x ≤2 20．要使式子有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1 B ．m ≥﹣1 C ．m ＞﹣1且m ≠1 D ．m ≥﹣1且m ≠1 21．代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 22．使二次根式有意义的x 的取值范围是 ． 24．要使式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 25．使有意义的x 的取值范围是 ． 26．若，则（x+y ）y = ． 27．二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 28．使式子1+有意义的x 的取值范围是 ． 29．已知x 、y 为实数，且y=﹣+4，则x ﹣y= ． 30．若式子有意义，则实数x 的取值范围是 ．

人教版初中数学二次根式知识点复习

人教版初中数学二次根式知识点复习 一、选择题 1．a 的取值范围为() A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． ~ 所以a=0．故选C ． 2． ） A ．±3 B ．-3 C ．3 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 进行计算即可． — 【详解】 ， 故选：C. 【点睛】 此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键. 3．若代数式1y x = -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．0x ≥且1x ≠ C ．0x > D ．0x >且1x ≠ ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 【详解】 根据题意得：010x x ≥??-≠? ， 解得：x≥0且x≠1． 故选：B ． 【点睛】

| 此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 4． = ） A ．0x ≥ B ．6x ≥ C ．06x ≤≤ D ．x 为一切实数 【答案】B 【解析】 = ∴x≥0,x -6≥0, 》 ∴x 6≥. 故选B. 5．下列运算正确的是（ ） A ． B ）2 =2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 ` 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可. 【详解】 根据二次根式的加减，可知 A 选项错误； 根据二次根式的性质2=a （a≥02=2，所以B 选项正确； (0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜﹣11|=11，所以C 选项错误； D D 选项错误． 故选B ． 【点睛】 、 此题主要考查了的二次根式的性质2=a （a≥ 0(0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜，正确利用 性质和运算法则计算是解题关键.

二次根式有意义

二次根式有意义

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二次根式有意义 评卷人得分 一.选择题(共１3小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A．x≥﹣3 B.x≠0?C．ｘ≥﹣３且x≠0 Ｄ.x≥３ 2．在下列二次根式中,x的取值范围是ｘ＞3的是（）A． B. C. D. 3．式子中ｘ的取值范围是（) A.x≤3 B．x<３?Ｃ．x≥﹣3 Ｄ．x≥3 4．如果代数式有意义，那么ｘ的取值范围是（) A.x≥０Ｂ.x≠1 C．x>1 D.x≥0且x≠1 5．若二次根式有意义,则ｘ的取值范围为（） A．x≥?B．ｘ≤?Ｃ.ｘ≥﹣Ｄ．x≤﹣ 6.如果式子有意义，则x的取值范围是() A.ｘ>﹣２Ｂ.ｘ≥﹣2 C.x>2 D．ｘ≥2 7.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ）Ａ．ｘ>0 B.x≥0?C.x≠0?D．ｘ≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则ｘ的取值范围是( ) A．x>﹣１且x≠1?B．x≥﹣1 C.x≠1 D.ｘ≥﹣１且x≠１9．二次根式有意义的条件是（) Ａ.ｘB．ｘ C.x?Ｄ.x≤３ 10．如果式子是有意义,那么a的取值范围是（) A.a≥２?B．a>2?C.a=2?D．a≤１ 11．使有意义的x的取值范围是（）

A.ｘ＞? B.x< C.x≥﹣?Ｄ．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥1?B．x≤1 C．ｘ≥1且x≠２?Ｄ．x>2 13.在二次根式中，字母x的取值范围是( ） A.x≥3 B.ｘ>3 C．x≤3 D．x≥﹣3 评卷人得分 二．填空题(共２小题) 1４．当x 时,二次根式有意义． 1５．如果分式有意义,那么x的取值范围是. ? 二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题(共13小题) 1.如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（) A．x≥﹣3 Ｂ.ｘ≠０C．ｘ≥﹣3且x≠０?D．x≥３【解答】解:由题意可知: ∴x≥﹣3且ｘ≠０ 故选:Ｃ. 2.在下列二次根式中,x的取值范围是ｘ>3的是(） A.?B．C．?Ｄ. 【解答】解:A、∵是二次根式, ∴３﹣x≥0，

二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）.

（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，

初二数学下册第一章—二次根式-题(人教版)

初二数学下册第一章—二次根式题（人教版） 一.精心选一选（每小题题3分，共24分） 1.下列各式是二次根式的是（） 2 x的取值范围可以是（） A..–6 B.–5 C.–4 D.–3 3. 函数x的取值范围是（） A .x≥–2 B. x＞1 C.–2＜x＜1 D. x≥–2且x ≠1 4. ） A. x≥0，y≥0 B .x≥0且y＞0 C. x，y同号 D. x 0 y ≥ 5.（福州）当m＜0时，化简 m 的结果是（） A. –1 B . 1 C. m D. –m 6.（杭州）已知m=- （×则结果中根号部分的范围是（） A. 2＜m＜3 B. 4＜m＜5 C. –5＜m＜–4 D.–6＜m＜–5 7. 如果1，1的值为（） A. 2 B. – D. 8. 已知x＜2）

A. x–2 B. x+2 C. –x–2 D. 2–x 二、认真填空。（每小题3分，共18分） 9. 计算：（1 ）2=_______; 10. a=_______ 11. ______与______之间. 12. 如右图，表格中a，b，c，d，e分别表示不同的四个实数，且表中每 行、每列、每条对角线的3个数之和都等于0.则a=____b=_____c=____d=____e=_____f=_____ 13. 若a，b 分别是62a–b的值是 _________ 14.是整数，则正整数n的最小值为_______ 三、认真计算，.（15题每题2分，16题每题3分 17题每题4分，共18分） 15. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1（2 16. 化简下列各式。 （3）（