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数学建模—警察与小偷

数学建模

——警察与小偷

问题:

某个小镇上只有一名警察,他要负责整个镇的治安。现在我们假定,小镇的一头有一家酒馆,另一头有一家银行。在假定该地有一个小偷,要实施偷窃。因为分身乏术,警察只能在一个地方巡逻;而小偷也只能去一个地方。假定银行需要保护的财产价格为2万美元,酒馆的财产价格为一万美元。若警察在某地巡逻,而小偷也选择了去该地,就会被警察抓住;若警察没有巡逻的地方儿小偷去了,则小偷偷盗成功。

1、警察怎样巡逻才能使效果最好?小偷的最优选择是什么?警察与小偷之间谁赢得

机会更多一些?

2、除了一般的分析上述问题,你能否找到一种理论来指导问题的求解?怎样求解?

问题分析:

1、银行与酒馆所需要保护的财产价格的不同,必然会影响警察和小偷对自己行动方案的选择。

2、警察和小偷都是人,都有思维,都能站在对方的立场,揣测对方态度,得到自己的行动方案,所以警察和小偷所站立场也决定着偷盗能否发生

3、酒馆和银行营业时间不相同,酒馆营业时间一般在于下午和晚上,而银行则主要在白天,这也是影响着巡逻方案和偷盗方案

4、小偷作案需要时间

5、警察需要休息

6、银行防盗设备,力度较大

针对问题:

1、警察巡逻效果好坏,我认为有两个判断标准,即偷盗未成功和偷盗成功但是损失最少。

小偷的最优选择即小偷不被抓,而不是是否盗到最多的财产

而谁赢的机会更多,就要综合自己所给出的假论

2、运用统计学中的概率进行求解,假设条件,把场景理想化,再利用概率计算警察成功的概率和小偷成功的概率,进行求解

解:

1、考虑一:可用于偷窃的时间

银行营业时间一般为8:00到17:00,而酒馆的营业时间一般为10:00到23:00(所有数据均由网上查询)

银行小偷可用于盗窃的时间为18:00点到0:00

酒馆小偷可用于盗窃的时间为23:00到0:00(7:00到10:00为白天,

不易实行盗窃)

考虑二:财产价值

银行所要保护的财产价格为2万美元,而酒馆的财产价格为1万考虑三:

所占立场

所以,警察巡逻的最好方案

17:00--23:00 警察在银行。(肯定不被盗,酒馆营业)

23:00--次日7:00 警察安排2/3*8h在银行,1/3*8h在酒馆(有被盗可能但银行资产为2万,而酒馆为一万,损失最小)

7:00--8:00 警察在酒馆(银行有被盗风险,但白天不易盗窃,

且银行有早到职员)

8:00--10:00 警察在酒馆(肯定不被盗银行在营业)

10:00--17:00 警察休息(肯定不被盗,都在营业)

小偷的最优选择

23:00--次日7:00 小偷去盗窃酒馆(虽然酒馆只有1万美元的财产,但小偷只要盗窃得手即为成功,且警察此时只有1/3的概率在酒馆巡逻,酒馆防盗系统较银行弱,成功机率较大)

综上,警察赢的机率比较大。

2、运用统计学中的概率来指导问题的求解

建立模型并求解

假设条件

(1)小偷作案时间和警察来往两地时间和吃饭时间忽略不计,一律记为全部在职。

(2)银行和酒馆防盗设备,强度相同。

(3)银行的营业时间为8:00--17:00,酒馆营业时间为10:00--23:00.

(4)设白天偷窃成功的概率为1/5,银行职员早去使得偷窃成功的概率也为1/5 由1警察最优的巡逻方案可知17:00--23:00,8:00--17:00肯定不被盗,可以只需分析23:00--次日7:00和7:00--8:00两个时间段

先分析23:00--次日7:00

警察的选择:

A、根据财产区别设警察去银行的概率为2/3,去酒馆的概率为1/3

B、警察若想到小偷的作案目的是钱并成功而不是为获得最大利益,且考虑财产

区别,决定两边巡逻的概率各位1/2

小偷的选择:

C、小偷去两边的概率都为1/2

D、小偷考虑了财产区别,且站在警察的立场上觉得警察有更大的概率去银行所

以决定去银行的概率为1/3,去酒馆的概率为2/3

方案一:A+C

小偷偷窃成功的概率P(1)=2/3*1/2+1/3*1/2=1/2

损失=1*2/6+2*1/6=2/3万方案二:A+D

小偷偷窃成功的概率P(2)=1/3*1/3+2/3*2/3=5/9

损失=2*1/9+1*4/9=2/3万方案三:B+C

小偷偷窃成功的概率P(3)=1/2*1/2+1/2*1/2=1/2

损失=2*1/4+1*1/4=3/4万方案四:B+D

小偷偷窃成功的概率P(4)=2/3*1/2+1/3*1/2=1/2

损失=1*1/3+2*1/6=2/3万再分析7:00--8:00

警察在银行

小偷偷窃成功的概率P(5)=1/5

损失=1*1/5=1/5万警察在酒馆

小偷偷窃成功的概率P(6)=1/5*1/5=1/25

损失=2*1/25=2/25万

综上:

23:00--7:00 虽然方案一和方案四巡逻效果完全相同,但方案四不可控制因素太多,所以选择方案一

7:00--8:00 比较而言警察在酒馆效果较好

由方案二得小偷的最优选择为A+D,即23:00--7:00 去酒馆行窃

但就总体而言,警察赢的机率会更多一些。