三角形成立条件判断流程图
三角形成立条件判断流程图
1.三边都大于零
2.两边之和大于第三边或两边之差小于第三边。
3.a+b>c => a>c-b 否 《探索全等三角形的条件》教案 教学目标 (1)知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”(“SSS”)判定方法，了解三角形的稳定性，会运用”SSS”判定方法证明两个三角形全等以及解决一些实际问题. 掌握三角形全等的角边角(“ASA”)、角角边(“AAS”)和三角形全等的边角边(“SAS”)判定方法，解决实际问题. (2)过程与方法：经历探索三角形全等的条件的过程，通过动手实践探究问题、发现问题，培养动手实践、探究、归纳的能力和发展推理、论证合作能力. 在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理. (3)情感、态度与价值观：①使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.②通过实际生活中的有关三角形稳定性和全等的应用，让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想，感受数学美. 教学重点 重点：掌握三角形全等的条件“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”，并能利用它们判定两三角形是否全等. 教学难点 \ 难点：1、探索思路的选择和探索三角形全等的“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”条件的过程. 2、三角形全等证明的书写格式. 教学情境 一、三角形全等的边边边“SSS”判定方法 (一)创设情景，揭示课题 1、已知：△ABC≌△DEF，你能找出其中相等的边与角吗 2、小明有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗如何画与同伴交流你的画法 % 利用了两个三角形全等的定义来作图，需要知道六个条件.但是，是否一定需要六个条件呢条件能否尽可能少吗一个条件行吗两个条件、三个条件呢 (二)、讨论交流，实验探究 1、探索三角形全等至少需要几个条件 在前面讨论的基础上，提出以下问题： 三角形全等的条件·要点全析 1．探索三角形全等的条件 三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等． 但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等． 2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边” （1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ” ． （2）书写格式：如图13-2-1． 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，① ?????''''''，＝， ＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③ （3）书写格式的步骤分三步： 第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）． 【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边． ③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”． 例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为 BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？ 解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点， ∴ BD ＝CD ． 《全等三角形的判定条件》教学设计说明 简阳市平泉九义校陈可 一、教学内容解析 华师大版八年级（下）第十九章第二节《全等三角形的判定条件》教学内容属于直观几何，主要以直观与操作相结合，教材从学生的认知水平出发，设计观察、操作等教学环节，提倡学生亲自动手、亲身感受，用自己的体验来探究判定两个三角形全等的条件．使学生能更有效地使用逻辑推理的方式认识几何图形。 二、教学目标设置 本节课教学的重点目标是通过作图比较，发现两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等；能分清两个三角形有三个分别对应相等的元素（边或角）有哪几种可能的情况。 为后几节探究全等三角形判定方法做出铺垫，基于此目的，本节课的教学目标设置如下： （一）教学目标 1.知识目标：通过作图比较，发现两个三角形只知道一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等；能分清两个三角形有三个分别对应相等的元素（边或角）有哪几种可能的情况。 2.能力目标：通过作图、比较培养学生数学实践与探究的能力；培养学生分类和问题转化的数学思想。 3.情感目标：通过作图，培养学生认真细致的学习态度及探索、合作、交流学习的精神。 （二）教学重点 归纳两个三角形有一组或两组对应相等的元素，那么这两个三角形不一定全等； 能分清两个三角形有三个分别对应相等的元素（边或角）有哪几种可能的情况。 （三）教学难点 掌握探索问题的方法及动手操作能力。 （四）教学方法与教学手段 采用创设情境、探究分类、动手实践、合作交流等手段展开教学活动。 教学过程中通过创设情境，引出两个三角形元素的对应相同的不同情形，再让学生在探究活动中感知判定三角形全等的条件的相关分类．并在讨论、交流、汇报中加深理解，在动手操作的活动中培养积极的学习态度，赢得主动发展的学习效果。在最后的拓展活动中，为后面学习三角形的判定方法打下基础。 三、学生学情分析 2.5探索三角形相似的条件 教学目标 （一）教学知识点 1．掌握三角形相似的判定方法1． 2．会用相似三角形的判定方法1来证明及计算． （二）能力训练要求 1．通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力； 2．利用相似三角形的判定方法1进行有关计算及证明，训练学生的灵活运用能力． （三）情感与价值观要求 1．经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 2．通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法．教学重点 相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算． 教学难点 判定方法的运用 教学方法 探索——总结——运用法 教具准备 投影片三张 第一张（记作§2．5 A） 第二张（记作§2．5 B） 第三张（记作§2．5 C） 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法，即定义法．那么，除此之外，还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方面的探索． Ⅱ．新课 ［师］在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的．下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法，然后进行类比，好吗？ ［生］好 全等三角形的判定方法有：ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，直角三角形除此之外再加HL ． ［师］那么，相似三角形应该如何判断呢？ 1．做一做． 投影片（§2．5 A ） ［师］请大家按照要求动手画图，然后进行交流． ［生］在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似． 根据（2）中的要求画出的三角形中，∠C 与∠C ′相等，对应边有 C B B C C A AC B A AB '''''',,，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似． 改变∠α、∠β的大小，这个结论还不变． ［师］大家的结论都是如此吗？ ［生］是． ［师］从这两个小题中，大家能得出什么？ ［生］（1）题告诉我们，只满足一对角相等不能判定两个三角形相似． 从（2）中我们可知，如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似． ［师］其他同学同意吗？ ［生］同意． ［师］经过大家的探索，我们得出了判定方法1： 两角对应相等的两个三角形相似． ［师］下面我们进行运用． 2．例题． 《探索三角形全等的条件（1）》教学设计 教学目标 1.经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得教学结论的过程； 2.掌握三角形全等的“SSS ”的条件，了解三角形的稳定性。 教学重点 三角形全等的条件的探索过程和三角形全等的“SSS ”的条件。 教学难点 寻求三角形全等的条件； 教学方法 引导发现法、启发猜想 课前准备 教师准备 课件、多媒体 学生准备 练习本 教学过程 一、导入 1.复习巩固：已知：如图，ΔABC ≌ΔEFG. 找出图中相等的边和角 答：AB=EF, AC=EG, BC=FG ∠A= ∠E, ∠C= ∠G, ∠ B=∠ F 2.小 明作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请你帮助小颖想一个办法，并说明你的理由？ 注意：与原来完全一样的三角形，即是与原来三角形全等的三角形. 要画一个三角形与小明画的三角形全等.需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件？两个条件？三个条件？··· 让我们一起来探索三角形全等的条件 E G A B C 做一做 1．只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做． （1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm； （2）三角形的两个内角分别为30°和50°； （3）三角形的两条边分别为4cm，6cm. 结论：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等． 议一议 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？ 有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边． 实验室样品管理程序 The manuscript was revised on the evening of 2021 样品管理程序 1 目的 检测样品的代表性、有效性和完整性将直接影响检测结果的准确度，因此必须对样品的接收、流转、贮存、处置以及样品的识别等各个环节实施有效的质量控制。应根据客户要求做好样品的保密与安全工作。 2 范围 本程序用于本实验室各类检测业务中检测样品的接收、流转、贮存、处置、识别等项的管理。 3 职责 检测科样品管理员负责记录接收的样品状态，做好样品的标识以及样品贮存、流转、处理过程中的质量控制。检验科检验人员应对制备、测试、传递过程中的样品加以防护。 (1)收样室在受理客户委托检验时，负责对送检样品的完整性和对应于检测要求的适应性进行验收，记录接收样品状态，并负责将样品及其资料传递到检验室。 (2)实验室样品管理员负责对各检验室样品管理情况进行督查，并配合检测管理室对样品管理要素进行审核。 4 步骤和要求 样品的接收 4.1.1委托样品的接收 a)收样员在接收客户送检样品时，应根据客户的检测需求，查看样品状况（包装、外观、数量、型号、规格、等级等），并清点样品，认真检查样品及其配件、资料的完整性，检查样品的性质和状态是否适宜于进行要求的检测，有些样品还应检查采用的包装或容器是否可能造成样品的特性变异，并在《见证取样送样委托单》和《样品核查单》上登记说明。同时（特殊样品）应与客户商定有关样品准备的要求和试毕样品处理方式。收样员应及时将样品及其资料、流转单传递到检验科。 b)客户寄来的样品由收样员按a)条办理委托手续。收件人应负责与客户联络，并交一份委托单给客户。 c)样品传递到检验科后，样品管理员与检验员应进行交接验收，查看样品状况是否与流转单填写内容相符，对以封装方式送达的样品，应检查封签是否完整有效以及运输过程有无损坏。 探索全等三角形的条件⑴练习 1.要使ΔABC ≌ΔA ′B ′C ′，需要满足的条件是（ ） A. AB= A ′B ′ ∠B=∠B ′ AC= A ′C ′ B.AB= A ′B ′ ∠A=∠A ′ BC= B ′C ‘ C. AC= A ′C ′ ∠C=∠C ′ BC= B ′C ′ D.AC= A ′C ′ ∠B=∠B ′ BC= B ′C ‘ 2.如图，ΔABC ≌ΔADE ，AB=AD ， AC=AE ，∠B=28o，∠E=95o，∠EAB=20o，则∠BAD 为（ ） A.75o B. 57o C. 55o D. 77o 3.如图，ΔABC ≌ΔBAD ，A 和B ，C 和D 是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=5cm ，AD=4cm ，那么BC 等于（ ） A ．6cm B.5cm C.4cm D.5cm 或4cm 第3题 第4题 4．如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′ 全等，则∠A ′= °，∠A= °， B ′ C ′= ，AD= 。 5.已知ΔABC ≌ΔDEF, ∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=45°,EF=6 cm, 则∠E= BC= 。 6.如图，△AOC 旋转后能与△BOD 重合，则△AOC 与 全等。 A 7.如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAC=120°，∠DAE= . 8.如图，AC=DF ，∠A=∠D ，AE=DB ，那么BC 与EF 的大小关系如何？为什么？ 第8题 9.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠EAB=∠DAC ，问：△ABD 与△ACE 是否全 等？∠D 与∠E 有什么关系？为什么？ 10.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，（1）写出图中全等的三 角形；（2）AD 与BC 有什么关系？为什么？ C B A E D 1、如图：已知ACD B ∠=∠，试说明：△ABC ∽△ ACD 2、如图，在ABC △中，90C = ∠，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，试说明：△ABC ∽△AED 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 4．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ． 5、如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 6、如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，∠B=?90，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED 。 试说明：ABE ?∽△ECD ． 7、(2009年梅州市)如图 ，梯形ABCD 中，，点在上，连与的延长线交于点G ．试说明：； E ABCD CD B F AE ⊥F ABF EAD △∽△AB CD ∥F BC DF AB CDF BGF △∽△D C B A D D C F E A B G 8、（2009肇庆）．如图 ，在ABC △中，36AB AC A =∠=，°，线段BD 是∠ABC 平分线交 AC 于 D ， 试说明：△ABC ∽△BDC ； 9、(2010年滨州)本题满分8分)如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ． (1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由． 10．已知：如图，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，EF 在斜边BC 上，EH ⊥AB 于H ．求证：（1）△ADG ≌△HED ； （2）EF 2＝BE·FC 11、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证:ΔAEF ∽ΔACB. 12、（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ． （1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ． 全等三角形证明条件归类 初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况： 一是公共边是第三个条件 例1：如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ? 证明：△ABD 和△BAC 中： ∵ BD=AC BC=AD AB=BA(公共边) ∴ ABC ?≌ABD ?（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件 例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF 证明：∵AE=BD ∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ） 例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 ∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ） ∵AB=DC AE=DF CF=BE ∴△ABE ≌△CDF （SSS ） ∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B F D 第F E D C B A F E D C B A 两个三角形相似的条件一、相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法可类比全等三角形的判定方法进行研究判定方法类比：全等三角形相似三角形两边和其夹角对应相等，两三角形全等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判两角和其夹边对应相等，两三角形全等两角对应相等，两三角形相似定三边对应相等，两三角形全等三边对应成比例，两三角形相似方斜边和一条直角边对应相等，两直角三一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一法角形全等个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似此外还有：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似二、相似三角形判定中常见常用的基本图形1、平行线型（两线平行，则相似）2、相交线形（两角相等，则相似）3、旋转型三、例题：例1、选择题：已知，如图ΔABC 中，DE//BC，BE 与CD 交于F 点，则图中相似三角形共有（）对。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析：因为DE//BC，图中有两个基本图形，即ΔADE∽ΔABC，ΔDEF∽ΔCBF。故应选B。例2、填空题：如图，□ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，则图中共有________对相似三角形。分析：因为平行四边形对边平行，所以有AB//CD即BF//CD，又有AD//BC，所以图中相似三角形有ΔEBF∽ΔECDΔEBF∽ΔDAF，ΔECD∽ΔDAF，共 3 对。解略。0 例3、如图，ΔABC是等边三角形，∠DAE120 ，求证：ADAEABDE 分析：把要证的乘积式化为比例式：，竖着看，等式左边AD，AB在ΔABD中，等式右边DE，AE在ΔADE中，如果能证明ΔABD与ΔEAD相似问题就能得到解决。证明：∵ΔABC是等边三角形，0 ∴∠ABC60 ，0 0 ∴∠ABD180 -∠ABC120 ，0 ∵∠DAE120 ，∴∠ABD∠DAE，在ΔABD和ΔEAD中，∠ABD∠EAD，∠D∠D，∴ΔABD∽ΔEAD，∴∴ADAEABDE。说明：本题的思路是将乘积式转化为比例式，然后找到两个三角形，用相似三角形的判定，证明它们相似，由此得到比例式，最后利用比例的基本性质得到乘积式。这是证明乘积式的一种常见方法。请同学们注意。例4、已知：如图，ADABAEAC。求证：ΔFDB∽ΔFEC 分析：欲证ΔFD B∽ΔFEC，观察图形只有∠DFB∠EFC，还需再寻找一个条件，由ADABAEAC可得比例式：而∠A是公共角，可得ΔABE∽ΔACD，从而可得∠B∠C，使条件成熟。通过相似得角等，这又是一种证明角等的方法。证明：∵ADABAEAC ∴又∵∠A∠A，∴ΔADC∽ΔAEB，∴∠B∠C，ΔFDB和ΔFEC中，∵∠B∠C，∠DFB ∠EFC，∴ΔFDB∽ΔFEC。例5、正方形ABCD中，E是AD中点，BM⊥CE于M，AB6cm，求BM的长。分析：依题意正确画出图形，∵AD//BC，∴∠1∠2，易证RtΔBMC∽RtΔCDE，由此可以得到比例式：，其中线段BC，EC，CD的长都可以求出来，从而可求出BM的长。由相似得比例式，再由比例式求线段的长，这也是常用的计算方法。解：如图，在正方形ABCD中，0 ∠D90 ，ABBCCDAD6cm ∵AD//BC，∴∠1∠2，0 ∵BM⊥CE，∴∠BMC90 ，∴∠BMC∠D，ΔBMC和ΔCDE中，∵∠1∠2，∠BMC∠D，∴ΔBMC∽ΔCDE，∴，∴BM ，∵E是AD中点，∴ED AD3cm. 由勾股定理得：CE 3 ∴BM （cm）∴BM cm。测试选择题 2 1．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S 矩形＝40cm ，S △ABE ∶S△DBA ＝1∶5，则AE的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 2．如图，□ABCD中，在E是BC上的一点，AE交BD 于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S △FBE ＝18，则S △FDA 的大小为（）。A．24 B．30 C．32 D．12 3．如图，点且在正方形ABCD 中，E 在AB 边上，AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC 于F，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．4∶9 D．2∶3 4．如图，高△ABC 的底边BC＝a，AD＝h，矩形EFGH 内接于△ABC，其中E、F 分别在边AC、AB 上，G、H 都在BC 上，且EF＝2FG。则矩形EFGH 的周长是（）。A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE＝∠CAD，，设△EBD、△ADC、△ABC的周长依次为m 1 、m 2 、m 3 .那么的值是。A．2 B．4 C．D．答案与解析答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D 解析：1．A 解∵∠BAD 《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2 三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图4 ，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1） 课题：8.2.3 三角形全等的条件（3） 人教版天津用教材 8．2．3 三角形全等的条件（3） 教 材： 人教版义务教育课程标准实验教科书（五四制）初中数学七年级（下） 第八章 全等三角形 第二节 三角形全等的条件 第三课时 角边角与角角边 教学目标： 1、知识技能：理解“角边角”“ 角角边”条件的内容； 能利用“角边角”“ 角角边”条件判定两个三角形全等； 知道利用两个三角形全等来证明两条线段相等和两个角相等； 2、数学思考：使学生经历探究三角形全等的条件的过程； 体验用操作、归纳得出数学结论的过程； 3、解决问题：会用“角边角”“ 角角边”条件解决具体问题； 能利用全等解决角相等和线段相等问题； 4、情感态度：通过探究活动培养学生善于思考、探究，乐于合作交流及大胆猜想 的良好的思维品质，以及认真观察、发现问题的能力。 教学重点： 三角形全等条件（“角边角”、“ 角角边”）的理解与应用 教学难点： 探究三角形全等的条件，合情推理能力的成. 教学方法与教学手段： 1.教法选择：设疑、探究、交流、引导、归纳、拓展 2.学法指导：观察思考探究，体验知识的过程；类比、发现、归纳、 3.教学手段：利用多媒体教学，借助电脑为学生提供鲜活生动的实 验背景；利用电脑大信息量的优点为学生提供巩固知识评价反馈的 空间. 教学过程： 一、创设情境： 问题1：请同学们思考并回答。 前面学习了哪些判定三角形全等的条件？ 问题2：有一块三角形玻璃打碎成如图所示的 几块, 现在要去玻璃店配一块和这块 完全一样的三角形玻璃, 是否需要把 残片都带去？ 请同学们讨论一下. 思考后请同学们回答？ （学生回答后，教师给予鼓励，对回答的正确与否不做解释与评价，留一个悬念，学完三角形全等的条件③后，再回来解决.） ③ ②① 揭密全等三角形的隐含条件 初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可归纳为下列四种类型． 一、利用公共边（或公共角）相等 例1、如图1，AB DC =，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？ =，AC DB 分析：在△ABC与△DCB中，已经给出了两边相等：AB DC =， =，要证三角形全等还缺少一个条件．已知两边相等，我们通 AC DB 常考虑应用SAS或SSS，找AB与AC的夹角∠A，DC与DB的夹角 ∠D是否相等，或第三条边BC与CB是否相等．而由于BC与CB是 公共边，故BC=CB，由SSS问题得证． 证明：在△ABC与△DCB中 因为AB DC =，AC DB BC=（公共边） =，BC 所以DCB ?（SSS） ? ABC? 二、利用对顶角相等 例2、如图3，已知AC与BD交于点O，∠A=∠C，且AD ＝CB，你能说明BO=DO吗？ 分析：要想说明BO=DO，只需说明△AOD与△COB全等， 已知已给出了两个条件：∠A=∠C，AD＝CB．已知一边和一 角对应相等，我们通常考虑应用SAS或ASA或AAS．而根据 图形特征有对顶角COB = ∠，由AAS问题得证． AOD∠ 证明：在△AOD和△COB中 因为COB ∠（对顶角相等）∠A=∠C，AD＝BC， = AOD∠ 所以△AOD≌△COB （AAS） 所以BO=DO 三、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或 差）仍相等 例3、如图4，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对 全等的三角形吗？说明你的理由． 探索三角形相似的条件 1.平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交，所得的三角形与原三角形相似 2.两个角对应相等的两个三角形相似。 3.基本图像介绍 平行型 非平行型 二、典型例题分析 例1 、如图，△ABC为等边三角形，双向延长BC到D、E,使得∠DAE=120°求证：BC是BD、CE的比例中项。 证明：因为△ABC为正三角形，∴∠BAC=60° 又∠DAE=120°，∴∠1+∠2= °. 又∠ABC=60°= ，∴∠2= 同理可得，∠1=∠E. ∴△ABD∽△ECA. ∴ ∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC ∴ ∴BC为BD、CE的比例中项。 变式练习：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB 和AB延长线上的点，∠DCB=∠ECB. 求证：AB是AD和AE的比例中项。 例2.如图，已知；CD是直角三角形ABC斜边AB上的高, E是CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥ AB,垂足是G. 求证： 变式练习：如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是 AD上一点,过C作CF‖AB,延长BP交AC于点E,交 CF于点F,求证： 课堂练习. 1、下列说法错误的是（） A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； B、顶角相等的两个等腰三角形相似； C、有一个角是100°的两个等腰三角形相似； D、有一个角相等的两个等腰三角形相似。 2、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（） 3、如图，点D为△ABC中AB边上的一点,且∠ABC=∠ ACD,AD=3cm,AB=4cm,则AC的长为（） A. 2 cm B. cm C. 12 cm D. 2 cm 4、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10mm，AC被分为60等份。如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是 mm. 5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，若∠1=______， △ADC∽△ACB，若∠2=______时，△ADC∽△ACB． 若△ADC∽△ACB，则 数学老师教案 练习 一. 选择题 1、下列说法中正确的个数为 ( ) (1)所有的等边三角形都全等 (2)两个三角形全等,它们的最大边是对应边 (3)两个三角形全等,它们的对应角相等 (4)对应角相等的三角形是全等三角形 A.1 B.2 C.3 D.4 2、下列说法中,错误的是 ( ) A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的周长相等 C.面积相等的三角形全等 D.面积不等的三角形不全等 3、在△ABC和△A′B′C′，如果满足条件( )，可得△ABC≌△A′B′C′。 A.AB=A′B′,AC=A′C′，∠B=∠B′ B.AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ C.AC=A′C′,BC=B′C′，∠C=∠C′ D.AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′ 4.如图1所示,已知AB=CD,AD=CB,AC、BD相交于O,则图中全等三角形有 ( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 5、不能使两个直角三角形全等的条件是（） A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 6、如图2所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，BC=BD，结果AC=3cm，那么AE+DE=（） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 7、如图3所示，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，则下面式子不能成立的是（） A.DE=DC B.DE⊥AC C.∠CAB=30° D.∠EAF=∠ADF 8、具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是（） A.一边和这边上的高对应相等 B.两边和第三边上的中线对应相等 C.两边和其中一边的对角对应相等 D.直角三角形的叙边对应相等 9.△ABC中，AC=5，中线AD=7，,则AB边的取值范围是（） A.1 三角形全等的条件（一） 学习要求 1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”， 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 课堂学习检测 一、填空题 1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____ ___________________________________________________________________________． 3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了． 图2－1 图2－2 图2－3 4．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ． 分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______ 证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______ 在△______和△______中， ?? ? ??===), ______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ． 5．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ． 分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______． 在△ABC 和△DEF 中， ?? ? ??===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）． 6．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ． 证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ， ∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知）， ?? ? ??===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）． 综合、运用、诊断 一、解答题 7．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC . 图2－4 8．画一画． 已知：如图2－5，线段a 、b 、c ． 求作：ΔABC ，使得BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ． 图2－5 1.3探索三角形全等的条件（1） 教学目标： 1．经历探索三角形全等条件的过程，会利用基本事实：“边角边”判别两个三角形是否全等； 2．在探索三角形全等条件及其基本事实“边角边”运用的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理； 3．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围． 教学重点：三角形全等的“边角边”条件的探索及应用． 教学难点：三角形全等的“边角边”条件的探索． 教学过程 一、创设情境 （1）如图，△ABC≌△DEF，你能得出哪些结论？ （2）小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？ 设计思路：温故知新，明确本节课学习的方向． 二、讨论交流 1．当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？ 2．当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？ 3．当两个三角形有3对边或角分别相等时，它们全等吗？ 设计思路：问题从简单到复杂，渗透由简到繁来解决问题的策略和方法．同时，通过学生讨论交流，让学生体会分类思想、举反例的方法． 三、探索活动一 如图，每人用一张长方形纸片剪一个直角三角形， 怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？二次备课 A B C D E F （1）任意剪一个直角三角形，同学们得到的三角形都能够重合吗？ （2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？ （3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得出什么结论？ 探索活动二 如图，△ABC 与△DEF 、△MNP 能完全重合吗？ （1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？ （2）再用工具测量，验证猜想是否正确． 探索活动三 按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC ＝b ． 作法：1．作∠MAN ＝∠α． 2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ． 3．连接BC ． △ABC 就是所求作的三角形． 图形：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全 重合吗？ 四、提炼归纳 通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看法？试用语言叙述你的看法． 基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． 几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中， AB ＝DE ， ∠B ＝∠E ， BC ＝EF ， 二次备课 45?31.5C B A 60?3 D E 1.5P 45?3 1.5M N 二次备课 关注全等三角形的隐含条件 初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可分为下列四种类型： 一、公共边 例1 如图1，AD//BC 且AD=BC ，试问△ACD 与△CAB 全等吗？为什么？ 分析：通过AD//BC ，可得出∠DAC=∠BCA ，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA ，就可证出两个三角形全等． 解：因为AD//BC 所以∠DAC=∠BCA ． 在△ACD 和△CAB 中 ?? ? ??=∠=∠=CA AC BAC DAC BC AD ∴△ACD ≌△CAB （SAS ） 二、公共角 例2 如图2，AB=AC ，∠B=∠C ，试问AD 与AE 相等吗？ 分析：AD 与AE 分别在△ADB 和△AEC 中，要证明AD=AE ，必须证明这两个三角形全等，已经有一边一角对应相等，再加上公共角∠A ，就可以判定这两个三角形全等． 解：AD 与AE 相等 理由如下： 在△ADB 和△AEC 中 ?? ? ??∠=∠=∠=∠A A AC AB C B ∴△ADB ≌△AEC （ASA ） ∴AD=AE （全等三角形的对应边相等） 三、对顶角 例3：要测出一池塘两端A 、B 的距离，如图3，设计如下方案：先在平地上取一点可以直接到达A 、B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=AC ，连接BC 并延长到E ，使CE=BC ，最 D C B A 图1 E D C B A 图2 后测出DE 的长即为A 、B 之间的距离，为什么？ 分析：已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS 公理即可证明两个三角形全等． 解：在△ABC 和△DEC 中 ?? ? ??=∠=∠=CE BC DEC ACB CD AC ∴△ABC ≌△DEC （SAS ） ∴AB=DE （全等三角形的对应边相等） 四、客观规律 例4：中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如图4，它们的影长相等吗？ 分析：这道题已知AB=A ˊB ˊ，∠ABC=∠A ′B ′C ′=90°，还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行的． 解：因为AC//A ′C ′ 所以∠ACB=∠A ′C ′B ′ 在△ABC 和△A ′B ′C ′中 ?? ? ??''=' ''∠=∠?='''∠=∠B A AB B C A ACB C B A ABC 90 ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（AAS ） ∴AB= A ′B ′ 即它们的影长相等． E D C B A 图3 C ′B ′ A ′ C B A 图4 课题：探索三角形相似的条件 北师大版九（上）第四章第四节第一课时 一、教材任务分析 本节课是学生学习了两个三角形全等的判定与性质，相似多边形的定义的基础上进行的。而全等形是相似形的特殊情况。从这个意义上讲，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性，所以这一章所研究的问题，实际上是在全等三角形知识基础上的拓宽和发展。在直观认识形状相同的图形基础上，探索和理解相似三角形的判定条件，为后续学习通过相似三角形有关知识测量物体的高度、距离做好准备。后面，我们还将学习平面几何的其它知识，其中三角函数的定义、圆的有关性质的证明，都是以相似三角形为基础的。在物理中，学习力学、光学等知识，也需要运用相似三角形的有关知识。因此，这部分内容也是今后进一步学习不可缺少的基础。 二、学生状况分析 （1）九年级学生，身心发展较快，求知欲旺盛，乐于学习，而且经过七、八年级两年的学习，学生已经养成了良好的数学学习习惯，有了一定自主探索，合作交流的学习意识。表达能力，概括能力有所提高。 （2）在学习本节内容之前，学生已经掌握了全等三角形的性质与判定方法，并掌握了类比等数学方法；所以本节的三角形相似的判定方法的探索过程对学生来说困难不大。 （3）本节课的教学内容是循序渐进、逐步深化的。两个三角形相似的条件的运用上，会给学生带来一定的困难。 三、教学过程分析 教学目标： （一）知识目标 1. 掌握三角形相似的判定方法1； 2. 会用相似三角形的判定方法1进行简单推理及计算。 （二）能力训练要求 1. 通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力； 2. 利用相似三角形的判定方法1进行有关计算，训练学生的灵活运用能力。 （三）情感与价值观要求 1. 经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点； 2. 通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法。 教学重点： 经历探索相似三角形的判别条件的过程。 教学难点： 运用三角形相似的条件解决简单的实际问题。 本课时共分四个教学环节：1. 创设情景，类比探究；2. 动手操作+多媒体演示，活动探究；3. 简单操练，熟悉定理；4. 案例示范，挑战自我；5. 课堂小结。 教学过程： 1. 创设情景，类比探究 先通过复习相似多边形的定义，类比思考得到相处三角形的定义。接着： 提问1：三角形相似的定义也是相似三角形的一种判定方法，即定义法。现在大家具体说说，根据定义我们判定两个三角形相似需要那些条件？ 提问2：能否将相似判定的条件适当减少？以前学过的内容有没有可供参照的学习经验？ 提问3：你还记得如何探索三角形全等的条件的方法吗？ 提问4：能否像判断三角形全等那样，有简单的条件判断三角形相似？ 针对以上问题，同学们分别分小组进行讨论，并汇总小组的结论，提出你们的见解。 评析：让学生根据全等三角形的判定条件类比思考相似三角形相似的条件，让学生知道要判定两个三角形相似，不一定要满足定义中的全部条件。教师设计出4个问题启发学生进行主动思考，这为类比思考相似三角形的条件（1）打下了很好的埋笔。 2. 动手操作+多媒体演示，活动探究 活动一：画一个△ABC，使∠BAC＝60°，并与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？ 小结：一个角对应相等的两个三角形不一定相似。 活动二：分组合作：一个同学画△ABC，另一个同学画△DEF，使得∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝50°，画完后，请解答下列问题:《探索全等三角形的条件》教案
三角形全等的条件要点全析
教案说明——全等三角形的判定条件
《探索三角形相似的条件》教案1(鲁教版八年级上)
《探索全等三角形全等的条件(1)》
实验室样品管理程序
11.3探索全等三角形的条件(1)saa
证明俩个三角形相似的条件一
全等三角形证明条件归类
两个三角形相似的条件
初中数学全等三角形的知识点梳理
三角形全等的条件
揭密全等三角形的隐含条件
探索三角形相似的条件(一)
探索三角形全等的条件3
全等三角形判定方法四种方法”_
1.3全等三角形判定条件1
关注全等三角形的隐含条件
探索三角形相似的条件(一)教学设计