第26章-二次函数-全章教学案

28．1二次函数（一）

一、学习目标

1．知识与技能目标：

（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。

二、学习重点难点

1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；

2．难点：理解二次函数的概念。

3．智慧思考：

三、教学过程

（一）创设情境、导入新课：

回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：

问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x 的关系。

问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?

问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?

问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?

小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。

问题5：什么是二次函数？

形如。

问题6：函数y=ax2+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

（三）尝试应用：

例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值．

注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。

例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高：

1．下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x

－

2

+x ．

2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。

3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。

4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5，

求这个二次函数的解析式．

（五）小结：

1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。

（六）作业设计

m

m 2

21)x (m y --=

28．1二次函数（二）

一．学习目标：

1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象，理解抛物线的有关概念。

2、经历、探索二次函数y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。

二．学习重、难点：

1. 重点：画形如y=ax 2 与 y=ax 2+k 的二次函数的图象。

2. 难点：用描点法画出二次函数y=ax 2

与y=ax 2+k 的图象以及探索二次函数性质

三．教学过程：

（一）创设情境、导入新课：

复习提问：一次函数的图象是 ，反比例函数的图象是 。

我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。 （二）自主探究、合作交流：

做一做：1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x 2

、y ＝12

x 2 的图 象。

讨论：观察并比较三个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、交流结论） 结

论： 。 想一想：函数y=－x 2

、y=－2x

2

y ＝－1

2

x 2的图象有什么共同点？又有什么区别?（小组讨论、

交流结论）结论： 。 结合上述二次函数的性质总结函数y=ax 2的图象的性质：

1．函数y=ax 2

的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

2．当a>0时，抛物线y=ax 2

开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴

的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点；当a

开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最高的点。 3．｜a ｜越大，开口越 。

练一练 ：分别写出函数y ＝13x 2与 y ＝－1

3

x 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

x

… －3 －2 －1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x 2

… … y ＝12x 2

…

…

做一做：2．在同一直角坐标系中，画二次函数y=x2、y=x2+1、y=x2－1图象。

x …－

3 －

2

－

1

0 1 2 3 …

y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …

y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …

y=x2－1 …8 3 0 －

1

0 3 8 …

讨论：

①抛物线y=x2+1，y=x2－1 的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

②抛物线与y=x2+1，y=x2－1抛物线y=x2有什么关系？

③它们的位置关系由什么决定？

小组交流、讨论得出结论：①

抛物线开口方向对称轴顶点坐标

y=x2

y=x2+1

y=x2－1

②把抛物线y=x2的图象向平移个单位，就得到抛物线y=x2+1 的图象，向平移个单

位就得到y=x2－1的图象。③它们的位置是由决定的。

猜想：当二次项系数小于0时和二次项系数的绝对值发生变化时，抛物线将发生怎样的变化？

交流结论：二次项系数小于0时，抛物线的开口向，二次项系数的绝对值越，开口越小，反之越大。

通过讨论和猜想，总结函数y=ax2+k的图象有哪些性质？

小组交流、讨论得出二次函数y=ax2+k的图象的性质：

①当a＞0时开口向，当a＜0时开口向。②对称轴是。

③顶点坐标是。④｜a｜越，开口越小。

练一练：1．分别写出函数y＝1

2x

2，y＝

1

2x

2＋2，y＝

1

2x

2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标。

2．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝1

2x

2得到抛物线y＝

1

2x

2＋2和y＝

1

2x

2－2?

（三）小结：

1．抛物线y=ax2与y=ax2+k的图象有哪些相同点与不同点？

抛物线y=ax2

①当a＞0时开口向，当a＜0时开口向。

②对称轴是。

③顶点坐标是。

④｜a｜越，开口越小。抛物线y=ax2+k

①当a＞0时开口向，当a＜0时开口向。

②对称轴是。

③顶点坐标是。

④｜a｜越，开口越小。

2．抛物线y=ax2+k可以看作是．抛物线y=ax2向平移个单位得到的。（四）作业设计。

28．1二次函数（三）

学习目标：

1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。

2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2 与y=a(x－h)2＋k性质探究的过程，理解函数y＝a(x －h)2与y=a(x－h)2＋k的性质，

学习重点、难点：

1.重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2与y=a(x

－h)2＋k的性质。

2．难点：理解二次函数y＝a(x－h)2与y=a(x－h)2＋k的性质。

教学过程：

一．创设情境、导入新课：

问题：结合二次函数y＝－1

2x

2，y＝－1

2x

2－1的图象，回答：

(1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。

二．自主探究、合作交流

问题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象。

1．完成下表填空。

x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …

y＝2x2

y＝2(x－1)2

2.在直角坐标系中画出图象：

问题2：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的

图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?

让学生分组讨论，交流合作，总结出结论：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；函数y＝2(x一1)2的图象的对称轴是，顶点坐标是；可以看作是函数y＝2x2的图象向平移个单位得到的。

由此可得二次函数y＝a(x－h)2的图象的性质是：

（1）a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x 的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是；a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是。

(2)对称轴是，顶点坐标是；

（3）二次函数y ＝a(x －h)2的图象可以看作是把函数y=ax 2的图象沿x 轴整体 平移 个单位(当h>0时，向 平移;当h<0时，向 平移)。

问题3：说出函数y ＝－1

4x 2，y ＝－1

4(x ＋2)2和y ＝－1

4(x －2)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐

标。

问题4：函数y=2(x －1)2＋1图象与函数y=2(x －1)2图象有什么关系?

学生分组讨论，互相交流，得出结论：

函数y ＝2(x －1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x －1)2的图象向 平移 个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x 2的图象向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的；对称轴是 ，顶点坐标是 。

由此可得二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象的性质：

（1）a>0时， 开口向上，在对称轴左侧，y 都随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 都随 x 的增大而增大，当x= 时函数有最小值，是 ；a<0时， 开口向下，在对称轴左侧，y 都随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 都随 x 的增大而减小，当x= 时函数有最大值，是 。

(2)对称轴是 ，顶点坐标是 ；

（3）二次函数y=a(x －h)2＋k 的图象可以看作是把函数y=ax 2的图象先沿x 轴整体 平移 个单位(当h>0时，向 平移;当h<0时，向 平移)，再沿对称轴整体 平移 个单位 (当k>0时向 平移;当k<0时，向 平移)得到的。

问题5：已知抛物线y=4(x －3)2－16 ． （1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。（2）写出函数的增减性和函数的最值．

（三）尝试应用：

例：要修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使

喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为m 1处达到最高，高度为m 3，水柱落地处离中心m 3，水管应多长？

分析：先建立如图直角坐标系：以池中心为坐标原点，水管所在的竖直方向为y 轴，水平方向为x 轴建立直角坐标系，得到抛物线的解析式，因而求水管的长，即求的值。

，时y x 0= （四）巩固提高：

把抛物线()322

++=x y 向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的

作业

03

21

321x

y

28．1二次函数（四）

一、学习目标：

1．能通过配方把二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2． 会用公式确定)0(2≠++=a c bx ax y 对称轴和顶点坐标。 二、学习重点和难点：

重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴。难点：配方法的推导过程。 三、学习过程：

（一）创设情境、导入新课： 1、填表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

()02>+=a k ax y

()()02

<-=a h x a y

()()02

>+-=a k h x a y

2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：

⑴3

235312

+??? ??-=x y

⑵()1.22.17.02-+-=x y

⑶()2010152++=x y

⑷4

321412

-??

? ?

?--=x y

3、用配方法把下列函数化为()k h x a y +-=2的形式：

⑴542

++=x x y ⑵ x x y 24

12+-=

（二）自主探究、合作交流：

思考：怎样画函数542

++=x x y 的图象？

1、 首先用配方法将函数542

++=x x y 写成()k h x a y +-=2

的形式。

． 542

++=x x y =（442

++x x ）+1=()122++x

2、根据顶点式确定抛物线开口方向向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。

3、根据函数对称性列表。

x

…

－5

－4 －3 －2 －1 0 1 …

()122

++=x y (10)

5

2

1

2

5 10 …

4、画对称轴，描点，连线：作出二次函数()122++=x y 的图象

归纳：二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象画法，可分三步：①用配方法把函数化为()k

h x a y +-=2

形式，②利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，③利用对称点描点画图。 问题：对于二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ，怎样求对称轴、顶点坐标？

(

)

222

22

2

22

2

2422244.

24b c a a b b b c b ac b y ax bx c a x a x x a x a

a a a a a

b a

c b a x a a +????-??????=++=+=++-+=++???? ? ? ?????

?

?

?????

?

??-?

?=++ ???

二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的图象的性质是：

1．对称轴是 ，顶点坐标是

2．当a ＞0时，开口向 ，当x ＝ 时，函数有最 值为 ；当a ＜0时， 开口向 ，当x ＝ 时，函数有最 值为 。

（三）尝试应用：

例：已知抛物线9)2(2

++-=x a x y 的顶点在y 轴上，求a 的值?若顶点在x 轴上呢？

（四）巩固提高：

1．抛物线y ＝－12x 2

＋2x ＋4的顶点坐标是_______；对称轴是_______；

2．二次函数y ＝ax 2

＋4x ＋a 的最大值是3，求a 的值。

（五）小结：

1、会画二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象。

2、 形如)0(2

≠++=a c bx ax y 的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：对称轴

是 ，顶点坐标是 。 （六）作业设计

28．1求二次函数解析式

一、知识要点：

1． 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c =++2

（a ≠0）求解析

式。

2． 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式y a x h k

=-+()2

，其中（h ，k ）为顶点坐标。

3． 若已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标，则应用交点式y a x x x x =--()()12

，其中x x 12，为抛物线与x 轴交点的横坐标。 二． 重点、难点：

重点：求二次函数的函数关系式；

难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

教学过程：

（一）自主探究 、合作交流

例1． 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。

例2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

例3． 已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是

（－1，0），求这个二次函数的解析式。

例4．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的跨度AB 为4m ，拱高CO 为0．8m 。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?

（二）巩固练习：

1．一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是－12，3

2，与y 轴交点的纵坐标是－5，

求这个二次函数的关系式。

3． 如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A 1，点B 和B 1分别关于y 轴对称，隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离地面AA 1的距离为6米，隧道宽AA 1为16米。

（1）求隧道拱抛物线BCB 1的函数表达式；

（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

（三）小结．

28．2用函数观点看一元二次方程

【知识与技能】

1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

【教学重点和难点】

重点是方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

难点是二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

【教学过程设计】

问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

h＝20t—5t2。

考虑以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少

飞行时间？

（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

（3）球的飞行高度能否达到20．5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

从上面可以看出：二次函数与一元二次方程关系密切。

由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？

问题：二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0。的图象如图26．2

－2所示。

（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，

公共点的横坐标是多少？

（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，

你能得出相应的一元二次方程的根吗？

总结：一般地，如果二次函数y=2

ax bx c ++的图象与x 轴相交，

那么交点的横坐标就是 。 归纳

一般地，从二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，

（1）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根。

（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：________________，________________，________________。 例题

例、利用函数图象求方程x 2－2x －2＝0的实数根（精确到0．1）。

小结：总结本节的知识点。

实际问题与二次函数(第1课时)

教学目标：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程。

2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学

模型，感受数学的应用价值。

教学重点：二次函数在最优化问题中的应用。

教学难点：从现实问题中建立二次函数模型。

教学设计：

一、创设情境、提出问题

给你一根长8m的铝合金条，试问： (1)你能用它制成一矩形窗框吗? (2)怎样设计，窗框的透光面积最大? (3)如何验证?

说明：解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再求这个函数关系式的顶点坐标，即得最大值．

二、自主探究、合作交流

探究一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

T：（1）题目中有几种调整价格的方法？

（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况：

设每件涨价x 元，则每星期售出的商品利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖10x 件，

销售量可表示为：销售额可表示为：

买进商品需付：所获利润可表示为：

∴当销售单价为元时，可以获得最大利润，最大利润是元．

思考：（1）怎样确定x的取值范围？（2）在降价的情况下，最大利润是多少？

三、小结：解这类问题一般的步骤：

（1）_______________________________；

（2）________________________________。

四、例练应用，解决问题

例：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

变式：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0．01米）

五、巩固练习

1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只且每日生产的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元) ，售价每只为P(元) ，且R、P与x的关系分别为R = 500 + 30x ，

P = 170 －－2x．

(1)当每日产量为多少时，每日获得利润为1750元?

(2)当每日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?

3.某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成

栅栏，计划用木材围成总长为24m的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x( m)，三间羊围的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式是________________，x的取值范围是________________，当x=________________时，面积S最大，最大面积为________________．

六、作业布置

实际问题与二次函数(第2课时)

教学目标：

1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。

2．会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3．发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

重点难点：

重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。

难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。

教学过程：

一、复习：

利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

例、已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

二、例题讲解：

例题1、B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

（1）两船的距离随着什么的变化而变化？

(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？

分析：设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为

A’B’=AB'2+AA'2= 。因此只要求出被开方式为最小值，

就可以求出两船之间的距离s的最小值。

例2、某饮料经营部每天的固定成本为200元，某销售的饮料每瓶进价为5元。

销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240

(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0．1元)？最大日均毛利润为多少？

本章中考真题选

1．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为………………（ ）

（A ）0.5 （B ）0.1 （C ）—4.5 （D ）—4.1 【答案】C

2．二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是 （ ） A ．（－1，8） B ．（1，8） C ．（－1，2） D ．（1，－4） 【答案】A 3． 抛物线c bx x y ++=2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为 （ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= －2，c=－1 D. b= －3， c=2 【答案】B 4． 抛物线c bx ax y ++=2图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数

a b c y x

++=

在同一坐标系内的图象大致为 （ ）

第15题图 【答案】D

5．给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③x

y 1=

；④2

x y =（0

6． 已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有 （ ） A . 最小值 －3 B . 最大值－3 C . 最小值2

D . 最大值2

【答案】B

7．在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

【答案】B

8．下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）

x

x

x

x

x

【答案】C

9.抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ）

A ．4

7-

≥k B ．47-

≥k 且0≠k C ．4

7->k D ．4

7

-

>k 且0≠k 【答案】B

10．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 （ ）

A ．（2，3）

B ．（3，2）

C ．（3，3）

D ．（4，3） 【答案】D

11．二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的

图象不经过 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

12．函数2

y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )

x

y

O

O x y A 图5

x = 2 B O

y x

1

1 A ． O

y x 1 1

C ． O y x

1 1

D ．

O

y

x

1

1 B ．

【答案】C.

13．把抛物线y =x 2

+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2

－3x ＋5，则（ ）

A ．b =3，c =7

B ．b =6，c =3

C ．b =-9，c =-5

D ．b =-9，c =21 【答案】A.

14．若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2

x ）怎样平移得到？

A ．向上平移１个单位

B ．向下平移１个单位

C ．向左平移１个单位

D ．向右平移１个单位

【答案】D

15．将二次函数y ＝x 2

－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2

＋k 的形式，结果为（ ）

A ．y ＝(x ＋1)2

＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2 D ． y ＝(x －1)2

＋2

【答案】D

16．下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()1

0y x x

=-

<；④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个 【答案】C

17．平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x －2009)(x －2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为

A ．向上平移4个单位

B ．向下平移4个单位

C ．向左平移4个单位

D ．向右平移4个单位 【答案】B

18．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2

+bx+c （a ≠

0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）

A ．第8秒

B ．第10秒

C ．第12秒

D ．第15秒 【答案】B 二、填空题

1．已知二次函数()()2

21y x a a =-+-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .

【答案】

1

12

x - 2． 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2

112

y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .

【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分) 三、解答题

1．已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）

（0m ≠）．

（1）证明243c b =；

（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．

2.1 二次函数导学案

丹东市第二十四中学 2.1二次函数 主备：曹玉辉 副备：孙芬 李春贺 审核： 时间：2015年1月24日 一、学习准备： 1、函数的表示方法有：_______________，_______________,_____________________ 2、一次函数的表达式：______ ____（__ ______），当 时，是正比例函数。 回顾一次函数和正比例函数的性质：a 、经过的象限；b 、增减性；c 、与x 、y 轴交点坐标。 3、反比例函数的表达式：______ _ ___（__ ______）。 回顾反比例函数的性质:a 、经过的象限；b 、增减性； 4、一正方体的棱长为2x ，则它的面积y 与x 之间的关系是_______________________ 5、圆的面积为s ，半径是x ，则圆的面积s 与x 之间的关系是_________________________ 二、学习目标： 1.理解并掌握二次函数的定义,能正确识别二次函数。 2.会用二次函数的定义解决一些简单的计算问题。 三、自学提示： （一）自主学习： 活动一：仔细观察下列函数的特征，结合课本回答下例问题： 2y x = 24y x = 2s r π= 224y x =+ 232y x x =- 2521y x x =-+ 250100+50y x x =+ 以上函数中，含有________个变量，自变量x 的最高次数是_______次。 我们把形如y=____________ _____（其中 ）的函数通称二次函数。 其中:a 叫做___________,b 叫做______________,c 叫做_________________ 注意：2 (0)y ax bx c a =++≠中，若a=0，则函数变为________________，即为___________ 练一练：下列函数中,(x,t 是自变量),哪些是二次函数？ (1)y=21- +3x 2 ,(2) y=2 1 x 2+x 3+25, (3) y=22+2x, (4) s=1+t+5t 2 (二)合作探究： 1.下列函数中，二次函数有_______________________________________.（填序号） ① x y 322 += ②2 5x y -= ③ 2521 32+--=x x y ④2 62x x y -= ⑤2 51t t s ++= ⑥ 1)1(32+-=x y ⑦ 21 x y = ⑧2r v π=⑨ 2321 x y +- = 2、圆的半径是1cm ，假设半径增加x cm 时，圆的面积增加y cm 2 。 （1）y 与x 之间的关系表达式为__________________________。 （2）当圆的半径增加2cm 时，圆的面积增加______________cm 2 。

九年级数学上册 22.1.3 二次函数 精品导学案2 新人教版

二次函数k h x a y +-=2)（的图象与性质 学习目标： 1、知识和技能： 1.会用描点法画出k h x a y +-=2)（的图象； 2.掌握二次函数k h x a y +-=2)（的性质； 3.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系； 4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 2、过程和方法：用描点法画二次函数k h x a y +-=2)（的图像，归纳出抛物线k h x a y +-=2)（的特点。 3、情感、态度、价值观：继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用。 学习重点：二次函数的k h x a y +-=2)（图象和性质。 学习难点：理解抛物线之间的位置关系，能将实际问题转化为函数问题。 导学方法： 课 时： 导学过程 一、课前预习： 阅读 22.1.3（3） 二次函数k h x a y +-=2)（的图象与性质内容解决<<导学案>>自主测评内容。 二、课堂导学： 1、情境导入：请你从开口，顶点，对称轴方面叙述抛物线2)(h x a y -=的性质。 2、出示任务、自主学习： 1.会用描点法画出k h x a y +-=2)（的图象； 2.掌握二次函数k h x a y +-=2)（的性质； 3.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系； 4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 3、合作探究： 1、画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性． 2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2 形状___ ________，位置________ ________． 3、抛物线y ＝ax 2先向上平移｜k ｜（k>0）个单位，再向右平移｜h ｜（h>0）个单位可得抛物 线 。 展示反馈 1．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 2．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ） A ．y ＝12 (x －2)2＋3 B ．y ＝12 (x ＋2)2－3 C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3 D ．y ＝－12 (x ＋2)2＋3 3．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________． 4．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为 _______________________． 四、学习小结： 五、达标检测： 1．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 2．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示

二次函数的教学案例

《二次函数》教学案例 一、教学目标: 1.通过探索归纳理解二次函数的定义. 2.能据实际问题，列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学重点：对二次函数概念的理解 教学难点：由实际问题确定二次函数关系式，并求出自变量的取值范围 教学过程： 一、问题情境： 1.水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积A与半径r之间的函数关系式是。 2.用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，生物园的面积y㎡与长方形的长x m之间的函数关系式为。 3、要给边长为x m的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y= 。 二、问题归结：上述函数函数关系有哪些共同特征？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？ 一般地，形如y=ax +bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数。其中x是自变量，y是x的函数。

三、概念巩固：判断下列函数哪些表示y是x的二次函数 （1）y=ax +bx+c （a、b、c是常数）（2）y= （3）y=x +5x-7 （4）y=-x 点评：对二次函数的判断必须注意：（1）二次项系数不可为0；（2）自变量x不可做分母；（3）自变量x的指数的最大值是2。 四、自变量的取值 函数自变量取的值通常有一定范围，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 点评：要注意结合问题实际确定自变量的取值，如上述问题（１）中的ｒ＞０，问题（２）中０＜ｘ＜８，问题（３）中ｘ＞０。一般的，二次函数y=ax +bx+c的自变量ｘ可以是任意实数。 五、例题教学 例：写出下列函数关系式及自变量的取值范围，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S cm与棱长a cm之间的函数关系； ⑵菱形的两条对角线的和为26cm，其中一条对角线的长为x cm，求菱形的面积S cm与对角线x cm之间的函数关系 ⑶圆的面积y cm与它的周长x cm 之间的函数关系； ⑷某种储蓄的年利率是x，存入10000元，两年后本息和y元与年利率x之间的函数关系； 六．知识反馈 1课本练习第7页2.3.4题

二次函数导学案

二次函数 第1课时 审核人：雷昌秀 编写人：王利 时间：2014年7月3日 一、自选目标 1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系； 2．知道什么是二次函数； 3．能根据实际问题确定自变量的取值范围． 二、自主预习（28-29页） 1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 2. 如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是__________. 3. 下列函数中哪些是二次函数，并指出其中的a ,b ,c 的值？ （1）v=10r 2 (2)s=3-2t 2 （3） y=(x+3)2-x 2 （4） y=(x-1)2-2 4.二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 5.一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 三、自由探究 例题： 1．函数y ＝(m+2)x 2＋(m －2)x －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 2．一块长工100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路， 这时草地面积为y(m 2 )，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 四、自我展示 1.谈谈你本节课的收获 2.完成教材29页练习1-2题，41页习题22.1第1-2题，并展示。 五、自我测评 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-⑤31 2+- =x x y ；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。 （只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

二次函数学案(全章)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 【最新整理，下载后即可编辑】 第1课时 二次函数的概念 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银 行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 32 1x y +- = (2)112+= x y (3)x y 222 += (4)1t s +=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习(1)2x y = (2)212= x y (3)) 1(+=x x y (4)1132 --=）（x y (5)c ax y -=2 (6)12+=x s 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数1232 ++=+-kx x y k k 是二次函数，求k 的值。 分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解： 即时练习：若函数1)3(232 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值为 。 四、反思小结 1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。 4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质 一、学习准备 1．正比例函数y=kx(k ≠0)是图像是 。 2．一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是 。 3．反比列函数y=k x (k ≠0)的图像是 。 4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤 是： ， ， 。 二、解读教材 2值） （2）根据图像，进行小结：

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

二次函数导学案(全章)

第1课时二次函数的概念 【学习目标:] 1 ?经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描 述变量之间的数量关系； 2?探索并归纳二次函数的定义； 3 ?能够表示简单变量之间的二次函数关系 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 、学习准备 1 .函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们 称 ________是_________ 的函数，其中 __________ 是自变量， _________ 是因变量。 2 ?一次函数的关系式为 y= （ 其中k 、b 是常数，且kN ）；正比例函数的关系式为 y = （ 其中 k 是 _________________ 的常数）；反比例函数的关系式为 y= （k 是 ________________________________________ 的常数）。 二、解读教材一一数学知识源于生活 3 ?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结 600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么y= _________________________________ 。 4?如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x , —年到期后，银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存。那么你能写岀两年后的本息和 y （元）的表达式（不考虑利息税）吗？ ________________________________________ 5 ?能否根据刚才推导出的式子 y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如 y = ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数, 理解并熟记几遍。 例1下列函数中，哪些是二次函数？ 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ 2 1 2 （1） y x （2） y x 2 子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子, 1 2 1 (1) y — 3x (2) y 2 2 x ⑶ y 22 2x (4) s 1 t (5) y (x 3)2 x 2 (6) s 10 r ⑷ y 3( x 1)2 1 (5) 2 y ax c (6)

二次函数全章导学案(不分版本,通用)

26.1二次函数 §26.1.1《二次函数》导学案 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 【活动一】知识链接（5分钟） 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________ y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④ 32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函 数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________. 3.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式 为 . 【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1.二次函数2 ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）. （1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小. 2. 已知二次函数22y x =. （1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值. （3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交二次函数的图象于A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABC 的面积S △ABC .

二次函数 学案

30.1 二次函数 【学习目标】 了解二次函数的有关概念；会确定二次函数关系式中各项的系数；确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习重点】二次函数的表达式. 【学习难点】二次函数的判断. 【读书思考】阅读课本第内容，思考:1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不为0. 2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式. 【学习过程】（类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。） 一、知识链接: 1、若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2、形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。 二、自主学习： 1、如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 的函数关系式为 。 2、二次函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数关系式有什么不同？ 3、归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 4、思考：二次函数y= ， （1）二次项系数a 为什么不等于 0？ 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 三、典题解析 例１.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x 例２．已知y=(m －4)x m2-3m-2+2x －３是二次函数，求m 的值 四、巩固练习 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

二次函数复习课教学设计

二次函数复习课教学设计 一、教材分析： 函数是初中数学中最基本的概念之一，从八年级首次接触到函数的概念，就学习了正比例函数、一次函数，然后九年级上册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，函数贯穿于整个初中数学体系之中，也是生活实际中构建数学模型的重要工具之一。二次函数在初中数学教学中占有极其重要的地位，它不仅中初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式等内容打下基础。在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。二次函的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起到了很好的推动作用。并且二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地对自己所学的知识融会贯通。 二、学情分析： 九年级的学生在新课的学习中已经掌握了二次函数的定义、会作二次函数的图象并能根据图象对二次函数的性质进行简单地分析。并且经过一段时间的练习，学生的分析能力和理解能力都较学习新课时有所提高，学生的学习热情较高，有了一定的自主探究和合作学习能力。不过，学生学习能力差异较大，两级分化过于明显。 三、复习目标： 知识与技能目标：1.回忆所学二次函数的基础知识，进一步理解掌握 2.灵活运用基础知识解决相关问题，提高学生解决问题的能 力 过程与方法目标：1.学生自查遗忘的知识点，回答问题，提出问题。 2. 经历例题习题的解答，提高技能。 3.讨论、交流，教师答疑、解惑、指导。 情感、态度与价值观目标：渗透二次函数在实践中的运用，使学生知道学为所用，树 立服务社会的思想。 四、复习重点、难点： 二次函数的基础知识回忆及灵活运用。 五、复习方法：自主探究、分组合作交流 六、复习过程： 一、知识梳理（学生以小组为单位，课前已独立完成） 学生分组汇报本章相关知识点，各组互相补充： （2）某纸箱厂的年利润为50万元，年增长率为x，第三年的利润为y万元，则y与x 之间的函数关系式为； （3）当m 时，函数5 4 )2 (2- + - =x x m y（m是常数）是二次函数。 教师强调：对于二次函数的一般式c bx ax y+ + =2，其二次项系数a必须不能为0。 2、二次函数的图象与性质： 填表：（屏幕显示）

九年级数学二次函数教学案

第 14周第 1课时总第 43课时 课题：二次函数的定义 【学习目标】 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义； 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 【学习重难点】 重点：二次函数的概念。 难点：确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习过程】 一、预习交流 1．思考： （1）已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，写出圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式。 （2）已知一个矩形的周长是60m ，一边长是Lm ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长L 之间的函数关系式。 （3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？ 2.归纳： （1）函数解析式均为整式；（2）自变量的最高次数是2。 3.定义： 一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数。 【注意】这里b ，c 没有限制，而a ≠0。 练习一：下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？ （1）y=2-3x 2； （2）y=x (x-4)； （3）y= 2 1x 2-3x-1； （4）y= 4 1x 2+3x-8； （5）y=7x （1-x ）+4x 2； （6）y=（x-6）（6+x ）。 (7 ) y= 2 2561 x x - （8）y=(x-2)2 - x 2 ； 练习二：若函数( ) m m x m y --=2 12 是二次函数，则m 为 二、精讲点拨

例1．当k 为何值时，函数2 (1)1k k y k x +=-+为二次函数？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系； ⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 例3.已知二次函数2y ax =，当3x =时，5y =-。当5x =-时，求y 的值． 三、拓展延伸 1.考察下列函数：①2 13y x =+，②2 251y x x =-+，③3(1)y x x =-， ④3y x =-， ⑤234v t t =-（t 是自变量）中，二次函数是： 。 2.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2 ，则 ___________y =，其中x 的取值范围是 。 3.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S 与宽x 之间函数关系式：S = 。 4. 如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的 十字形道路，请写出绿地面积y (㎡)与路宽x (m)之间 的函数关系式：y = 。 5. 如图，用50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y (㎡)与它与墙平行的边的长x (m)之间的函数 关系式：y = 。 6.已知函数2 7 (3)m y m x -=-是二次函数，求m 的值． 四、系统总结 学生谈谈自己的收获 五、限时作业

北师大9年级下第二章二次函数应用导学案(无答案)

二次函数应用 【教学重难点】 1、抛物线y=a （x-h ）2+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为 . 2、总销售利润=单件销售利润×销售总量 =（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】 针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。 【随堂练习】 1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求 与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求 与之间的函数关系式，并写 出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时， 的值最大？最大值是多少？ 3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调 查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1 ,而其 每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定 的值； 400 300 y (件)

二次函数导学案

第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 活动1知识准备 1.y＝3x－1是函数；y＝1 2x既是一次函数，又是函数. 2.对于函数y＝（m＋1）x m2－2，当m＝时，该函数是正比例函数. 活动2教材导学 二次函数的概念 （1）正方形的边长是x cm，面积是y cm2，则y关于x的函数关系式是 .因为x2是二次项，所以它（填“是”或“不是”）一次函数. （2）用一根长800 cm的木条做一个长方形的窗框，若其中一边长为x cm，则它的面积y cm2与x cm之间的函数关系式为，要使自变量x有现实意义，它的取值范围是. （3）以上两个函数有什么共同特点？ ?知识点一二次函数的定义 一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数.其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的, 和. ?知识点二用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是. 在实际问题中，自变量的取值要使有意义. 探究问题一二次函数的判别 例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？ （1）y＝9x2－x；（2）y＝－1 3x 2；（3）y＝4－x＋x3；（4）y＝1 x2＋x 2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）；（6）y＝ax2＋4x＋1. [归纳总结] 判断一个函数是否是二次函数，首先要把它化为，然后再判断含有自变量的代数式是否同时满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）是自变量的二次式. 探究问题二用二次函数表示变量之间的关系 例2[教材问题1变式题]暑假期间，九（8）班n名同学约定每两个同学之间通电话一次. （1）写出互通电话的次数m与n之间的函数解析式，并指出m是n的什么函数； （2）当n＝10时，互通电话的次数是多少？

初中数学九年级《二次函数》公开课教学设计

22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果

每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m

初中数学《二次函数》的教学案例分析

初中数学《二次函数》的教学案例分析 一、教材研读与剖析 １．教材分析：本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习. 本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法. 学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法. ２．教学目标：理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；会用待定系数法求二次函数的解析式；从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣. ３．教学重点和难点：第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题. 本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 二、教学过程与设计 （１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣. 教师在课

堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固. 对“正比例函数、一次函数、反比例函数”的知识点进行总结，并在ｐｐｔ上给出一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（其中ｋ，ｂ是常数，且ｋ≠ ０）正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ是不为０的常数）反比例函数ｙ＝■ （ｘ是不为０的常数）的形式. （２）创设问题情境，激发兴趣. 教师在ｐｐｔ上给出实际问题一，例如：现有６０米的篱笆要围成一个矩形场地，若矩形的长为１０米，它的面积是多少？若矩形的长分别为１５米、２０米、３０米时，它的面积分别是多少？从上两问同学们发现了什么？教师提问后，学生可独立回答. 在活动中，教师应重点关注：学生是否能准确的建立函数关系；学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；学生是否能准确的讨论出自变量的取值范围. 问题的设计，旨在运用函数模型让学生体会数学的实际价值，学会用函数的观点认识问题，解决问题，让学生在合作学习中共同解决问题，培养合作精神. 最后，提出问题：由矩形问题你有什么收获？让学生经过短时间的讨论与思考后，师生共同归纳总结出函数解析式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的形式. 在ｐｐｔ上给出概念：我们把形如ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（其中ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠ ０）的函数叫做二次函数. 称ａ为二次项系数，ｂ为一次项系数，ｃ为常数项. 通过层层设问，引导

湘教版_二次函数导学案

二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值．

二次函数导学案(全章)

第1课时 二次函数的概念 【学习目标】 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y (3) x y 222+= (4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y (4) 1132--=）（x y (5)c ax y -=2 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用