幂函数的图像性质和应用
幂函数
分数指数幂
正分数指数幂的意义是：m n
a =0a >，m 、n N ∈，且1n >）
负分数指数幂的意义是：m
n a -=
（0a >，m 、n N ∈，且1n >）
1、幂函数的图像与性质
幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11
2,1,,,323
n =±±±的图像和性质，列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
② 11
,,1,2,332a =
时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1
,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
0n <
幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
规律总结
1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．
O
x
y
O
x y O
x
y
2、幂函数的应用
例1、 幂函数n
m
y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
（ ）
()A m 、n 为奇数且1m
n
<
()B m 为偶数，n 为奇数，且
1m
n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m
n <
()D m 奇数，n 为偶数，且1m
n
>
例2、 右图为幂函数y x α=,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
解：取12
x =
， 由图像可知：11112222c
d
b
a
????????
>>> ? ? ? ?????????
，
a b d c ?>>>，应选()C ．
例3、 比较下列各组数的大小： （1）131.5，13
1.7，1；
（2
）(37
，(37
，(37
；
（3
）23
-? ??
，23
107-??
- ???，()431.1--． 解：（1）底数不同，指数相同的数比大小， 可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵13
y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，
∴113
3
1.7 1.51>>．
b c
（2）底数均为负数，可以将其转化为()
)
337
7
=-
，
()
)3377=-
，()
)
337
7
=-
．
∵37
y x =在()0,+∞
>>，
∴
)))3337
7
7
>>，即))
)
3337
7
7
-<-<-
，
∴()()()3337
7
7
<<．
（3）先将指数统一，底数化成正数．
2
23
3
22-
-
???-= ? ? ??
??
，223
3
101077-
-
??
??-= ? ?????
，()()42331.1 1.21---=．
∵23
y x -
=在()0,+∞
上单调递减，且
7 1.2110<<，
∴()223
23
3
7 1.2110-
-
-
??
>> ???
??
，
即：()223
43
3
7 1.1102---???->->- ?
??
??
．
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 例4、 若()()113
3
132a a --
+<-，数a 的取值围．
分析：若1
13
3
x
y --<，
则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质，
有三种可能：10320a a +?或10320132a a a a +-?或10
320132a a a a
+>??
->??+>-?
，
解得：()2
3,1,
3
2a ??-∞- ??∈?
U ． 例3．已知幂函数2
23m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．
解：∵幂函数2
23m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．
f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；
（2）分别求出f －1（x ）＝f （x ），f －1（x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f （x ）的实数x 的围．
解析：（1）由y ＝x 3
两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1
（x ）＝x 3
1
．
（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1
（x ）＝x 3
1的图象都经过点（0，0）和（1，1）． ∴f －1（x ）＝f （x ）时，x ＝±1及0；
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f －1（x ）＞f （x ）时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f （x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．
点评：本题在确定x 的围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．
y ＝5
2x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）值域．
解析：设t ＝x 5
1
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
∴函数y ＝52
x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）
Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案：Ｃ
2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）
Ａ．13
y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ
3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）
Ａ．23y x = Ｂ．32
y x = Ｃ．23
y x -
= Ｄ．32
y x -
= 答案：Ｄ
4．函数y ＝（x 2
－2x ）
2
1－
的定义域是（ ）
A ．{x |x ≠0或x ≠2}
B ．（－∞，0）Y （2，＋∞）
C ．（－∞，0）］Y ［2，＋∞］
D ．（0，2）
解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B
5．函数y ＝（1－x 2
）2
1的值域是（ ）
A ．［0，＋∞］
B ．（0，1）
C ．（0，1）
D ．［0，1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D
6．函数y ＝5
2
x 的单调递减区间为（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（－∞，0）
C ．［0，＋∞］
D ．（－∞，＋∞）
解析：函数y ＝5
2x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ．
答案：B 7．若a 2
1
＜a
2
1－，则a 的取值围是（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞0
C ．1＞a ＞0
D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C
8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。 解析：由（15＋2x －x 2）3≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5． 答案：A 9．函数y ＝
2
21m m x
－－在第二象限单调递增，则m 的最大负整数是________．
解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1． 答案：m ＝－1
10、讨论函数y ＝5
2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数y ＝52x 是幂函数．
（1）要使y ＝52x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．
（3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝5
2
x 是偶函数；
（4）∵n ＝
5
2
＞0， ∴幂函数y ＝5
2x 在［0，＋∞］上单调递增． 由于幂函数y ＝5
2
x 是偶函数，
∴幂函数y ＝5
2x 在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示．
12．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．
解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ， （1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2
∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．
（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，
∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．
又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，
∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］． 答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3）（1，3］．