宁夏银川二中2015届高考数学一模试卷(理科)

宁夏银川二中2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )

A．A?B B．B?A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ

2．若（1+2ai）?i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )

A．B．C．D．

3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )

A．2 B．﹣2 C．D．﹣

4．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是( )

A．﹣3 B．C．D．

5．阅读下列算法：

（1）输入x．

（2）判断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．

（3）输出y．

当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )

A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]

6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )

A．1 B．C．D．

7．下列命题正确的个数是( )

①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；

②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；

③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“?＜0”．

A．1 B．2 C．3 D．4

8．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，形状及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )

A．1 B．2 C．3 D．6

9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )

A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]

10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，若，

则|FA|+|FB|+|FC|=( )

A．3 B．9 C．12 D．18

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x ﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )

A．8 B．16 C．32 D．64

12．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：

=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：

①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；

②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；

③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；

④曲线C1与C2的离心率互为倒数．

其中正确的有( )

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为__________．

14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过

的定点为（1.5，5），

则mn=__________．

x 0 1 n 3

y 8 m 2 4

15．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是__________．

16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，则

T10=__________．

三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．

（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．

18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）估计这500件产品质量指标值的样本平均数．

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估计得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；

（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．

附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是

圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（I）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．

21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．

（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）

[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）

22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；

（Ⅱ）求证：BF=FG．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）

23．已知曲线C：=1，直线l：（t为参数）

（I）写出曲线a，b的参数方程，直线2a+3b=6的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及取得最大值时P点的坐标．

[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）

24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|

（I）解不等式f（x）＞0；

（Ⅱ）若f（x）+|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

宁夏银川二中2015届高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( )

A．A?B B．B?A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ

考点：并集及其运算．

专题：集合．

分析：求出集合A，B的等价条件，进行判断即可．

解答：解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，

则A∪B=[﹣1，2），

故选：C．

点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的判断，求出集合的等价条件是解决本题的关键．

2．若（1+2ai）?i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( )

A．B．C．D．

考点：复数求模．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．

解答：解：∵（1+2ai）?i=1﹣bi，其中a，b∈R，

∴i﹣2a=1﹣bi，

∴﹣2a=1，﹣b=1，

解得a=﹣，b=﹣1，

则|a+bi|=|﹣﹣i|==．

故选：C．

点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．

3．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )

A．2 B．﹣2 C．D．﹣

考点：等比数列的性质；等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．

解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，

∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，

由S1，S2，S4成等比数列，得：，

即，解得：．

故选：D．

点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是( )

A．﹣3 B．C．D．

考点：简单线性规划．

专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．

分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵

截距，由几何意义可得．

解答：解：由题意作出其平面区域，

将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，

由解得，

E（，﹣）；

此时z=x﹣2y有最大值+2×=；

故选：C．

点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时注意几何意义的应用，属于中档题．

5．阅读下列算法：

（1）输入x．

（2）判断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．

（3）输出y．

当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )

A．[2，7]B．[2，6]C．[6，7]D．[0，7]

考点：排序问题与算法的多样性．

专题：计算题；算法和程序框图．

分析：确定分段函数，分别求y的取值范围，即可得出结论．

解答：解：由题意，y=，

x∈（2，7]，y=x∈（2，7]；

x∈[0，2]，y=﹣2x+6∈[2，6]，

∴输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是[2，7]，

故选：A．

点评：本题考查算法，考查函数表达式的确定于运用，比较基础．

6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )

A．1 B．C．D．

考点：古典概型及其概率计算公式．

专题：概率与统计．

分析：求出三封信件投入两个邮箱的所有种数，求出每个邮箱都有信件的种数，然后求解概率．

解答：解：三封信件投入两个邮箱的所有种数：23=8．

每个邮箱都有信件的种数：C32?A22=6．

将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是：．

故选：B．

点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本知识的考查．

7．下列命题正确的个数是( )

①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；

②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；

③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“?＜0”．

A．1 B．2 C．3 D．4

考点：命题的真假判断与应用．

专题：简易逻辑．

分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；

（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；

（3）用特例法验证（3）是否正确；

（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．

解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，

∴（1）正确；

（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π?a=±1，

∴（2）正确；

（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，

∴（3）不正确；

（4）∵，当θ=π时，?＜0．

∴（4）错误．

∴正确的命题是（1）（2）．

故选：B

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．

8．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，形状及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )

A．1 B．2 C．3 D．6

考点：由三视图求面积、体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：根据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，利用割补法，可求出三棱锥的体积．解答：解：根据已知中的三视图，画出三棱锥的直观图，如下：

图中长方体的体积为：3×2×1=6，

切去的四个角的体积为：4×=4，

故几何体的体积V=6﹣4=2，

故选：B．

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )

A．（，]B．（，]C．（1，]D．（，]

考点：正弦函数的图象．

专题：计算题；三角函数的图像与性质．

分析：根据函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个极小值，可得T＜2π≤T，结合周期的求法，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）恰有两个极大值和一个极小值

∴T＜2π≤T，

∴×＜2π≤×，

∴＜ω≤

故选：A．

点评：本题考查三角函数图象的性质，考查周期的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．

10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，若，

则|FA|+|FB|+|FC|=( )

A．3 B．9 C．12 D．18

考点：向量的线性运算性质及几何意义．

专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由已知条件推导出x1+x2+x3=9，根据

，

得出点F（3，0）是△ABC重心，运用重心的坐标公式得出：x1+x2+x3=9，再根据抛物线的定义得出|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3，整体求解即可．

解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）

抛物线y2=12x焦点坐标F（3，0），准线方程：x=﹣3，

∵，

∴点F（3，0）是△ABC重心，

∴x1+x2+x3=9，y1+y2+y3=0，

而||=x1﹣（﹣3）=x1+3，

||=x2﹣（﹣3）=x2+3，

||=x3﹣（﹣3）=x3+3，

∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+3+x2+3+x3+3

=（x1+x2+x3）+9=9+9=18．

故选：D．

点评：本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的灵活运用

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x ﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )

A．8 B．16 C．32 D．64

考点：抽象函数及其应用；子集与真子集．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m的图象，确定集合A有6个元素，即可得出结论．

解答：解：由题意，函数f（x）的周期为3，在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=m 的图象如图，

因为集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，如图可知，交点的个数有6种情况，

所以集合A有6个元素，

所以集合A的子集个数为64．

故选：D．

点评：本题考查函数的性质，考查集合的子集个数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

12．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：

=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：

①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；

②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；

③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；

④曲线C1与C2的离心率互为倒数．

其中正确的有( )

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：命题的真假判断与应用；椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．

分析：根据题意，写出F′、F、B1各点坐标，通过联立椭圆与双曲线的方程及点P在第一象限，可得P（，），①通过计算、

S△PFF′，可得①正确；②当a=b时，通过计算可得cos（∠PF′F﹣∠PFF′）

=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′=0，故②正确；③举出反例，当a=b时不成立，故③不正确；④直接计算出曲线C1与C2的离心率即可④正确．

解答：解：根据题意，得F′（，0），F（﹣，0），B1（0，b），

联立椭圆与双曲线的方程，消去y，得，

又∵点P在第一象限，∴P（，），

①=（﹣﹣，﹣）?（﹣，﹣）

=2﹣（a2﹣b2）+

=＞0，

三角形PFF′的面积为=×＜b2，故①正确；

②当a=b时，有a2=2b2，则F′（b，0），F（﹣b，0），，

∴=（，），=（，），=（﹣2b，0），

∴=，=，=2b，

∴cos∠PF′F==，cos∠PFF′==，

∴sin∠PF′F=，sin∠PFF′=或（舍），

∵cos（∠PF′F﹣∠PFF′）=cos∠PF′Fcos∠PFF′+sin∠PF′Fsin∠PFF′

=×+×=0，

∴∠PF′F﹣∠PFF′=，故②正确；

③当a=b时，线段PF的中点为M（，），

则OM=，MF=，OF=2b，

∵MF﹣OF=﹣2b＜=OM，故③不正确；

④曲线C1与C2的离心率分别为：

e1=，e2==，故④正确；

综上所述，命题①②④正确，

故选：B．

点评：本题考查圆锥曲线的简单性质，向量数量积运算，三角形面积计算公式，三角函数差角公式，中点坐标公式，圆与圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力，考查计算能力，属于难题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上．13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为．

考点：数量积表示两个向量的夹角．

专题：平面向量及应用．

分析：把|+|=λ||平方代人已知数据可得λ的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵|+|=λ||，∴λ＞0，

平方可得++2?=λ2，

∵向量，的夹角为120°，且||=3，||=4，

∴9+16+2×3×4×（）=9λ2，

解得λ=

故答案为：

点评：本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．

14．已知相关变量x，y之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过

的定点为（1.5，5），

则mn=12．

x 0 1 n 3

y 8 m 2 4

考点：线性回归方程．

专题：概率与统计．

分析：利用回归直线方程经过中心点坐标，然后求出mn即可．

解答：解：∵回归直线方程经过中心点坐标，

∴==1.5；==5，解得m=6，n=2．

mn=12．

故答案为：12；

点评：本题考查了线性回归方程的应用，在线性回归分析中样本中心点（，）在回归直线上的解题的关键．

15．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是[1+ln2，+∞）．

考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算．

专题：导数的综合应用．

分析：求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可得到结论．

解答：解；函数的导数f′（x）=，函数的定义域为{x|x＞}，

则由f（x）+f′（x）﹣3=a得ln（2x+1）+﹣3=a，

设g（x）=ln（2x+1）++3﹣3=ln（2x+1）+，

则函数的f（x）的导数g′（x）==，

当x＞得函数的导数g′（x）＞0，

当﹣＜x＜，则函数的导数g′（x）＜0，

则函数g（x）的极小值同时也是最小值为g（）=1+ln2，

故若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则a≥1+ln2，

故答案为：[1+ln2，+∞）；

点评：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．

16．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{b n}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，则T10=．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），变形为S n+1=2（S n﹣1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．再利用等差数列的通项公式可得b n，利用“裂项求和”可得T n．

解答：解：∵S n=2S n﹣1+1（n≥2且n∈N*），

∴S n+1=2（S n﹣1+1），

∴数列{S n+1}是等比数列，首项为2，公比为2，

∴S n+1=2n，

∴﹣1．

设等差数列{b n}的公差为d，

∵b1=a1=1，b4=a1+a2+a3=S3﹣1=7，

∴1+3d=7，解得d=2．

∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

设c n===，

∴数列{c n}的前n项和为T n=+…+

==．

∴T10=．

故答案为：．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）17．已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间，并说明可把f（x）图象经过怎样的平移变换得到g（x）=sin2x的图象．

（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．

考点：正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．

专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．

分析：（Ⅰ）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间，利用函数的图象平移变换求出函数的结果．

（Ⅱ）利用函数的解析式，根据函数的定义域求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc，再利用三角形的面积公式求出结果．

解答：解（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1

=sin2x﹣cos2x+cos2x

=sin 2x+cos 2x

=sin（），

令：（k∈Z），

解得：（k∈Z），

所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z），

把函数f（x）=sin（）的图象上的所有点的坐标向右平移个单位，就可得到g（x）=sin2x的图象．

（Ⅱ）∵f（A）=，∴sin（）=．

又0＜A＜π，

∴＜2A+＜．

∴2A+=，

故A=．

在△ABC中，

∵a=1，b+c=2，A=，

∴1=b2+c2﹣2bccos A，

即1=4﹣3bc．∴bc=1．

∴S△ABC=bcsin A=．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求三角函数的单调区间，正弦型函数的图象变换问题．利用函数的关系式求函数的值，余弦定理和三角形面积的应用，主要考查学生的应用能力．

18．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．

（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．

专题：计算题；空间角．

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB，可得=，而

，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD1与BD所成的角的余弦

值；

（Ⅱ）求出平面ACD1的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）．

从而=（﹣t，3，﹣3），=（t，1，0），=（﹣t，3，0）．

因为AC⊥BD，所以?=﹣t2+3+0=0．

解得t=或t=﹣（舍去）．

所以=，而，

所以=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）．

设=（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则

令x=1，则=（1，﹣，）．

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sinθ=|cos＜，＞|==．

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为．

点评：本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等知识，属于中档题．

19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）估计这500件产品质量指标值的样本平均数．

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z近似服从正态分布N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．（由样本估计得样本方差为s2=150）（i）利用该正态分布，求P（Z＜212.2）；

（ii）若将这种产品质量指标值位于这三个区间（﹣∞，187.8）（187.8，212.2）（212.2．，+∞）的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元．某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X表示这100件产品的利润，利用正态分布原理和（i）的结果，求EX．

附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．

专题：应用题；概率与统计．

分析：（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；

（2）（i）由（1）知Z～N，从而求出P（187.8＜Z＜212.2），P=0.3413，即可得出结论；

（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，求出E（Y），即可求得EX．

解答：解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（2）（i）由（1）知Z～N，从而P（187.8＜Z＜212.2）=P=0.6826，

所以P=0.3413，

所以P（Z＜212.2）=0.8413

（ii）设这种产品每件利润为随机变量Y，其分布列为

Y 2 5 10

P 0.1587 0.6826 0.1587

E（Y）=2×0.1587+5×0.6826+10×0.1587=5.3174，

E（x）=E（100Y）=100×5.3174=531.74．

点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．

20．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是

圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（I）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线l1的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C1的方程．

（2）设A（x1，y2），B（x2，y2），P（x0，y0）．设直线l1的方程为y=kx﹣1．求出点O到直线l1的距离，然后利用直线与椭圆联立方程组，通过韦达定理求出PD，表示出△ABD的面积为S，利用基本不等式求出最值，然后求解直线方程．．

解答：解：（1）由题意点P（0，﹣1）是椭圆C1：的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，得∴椭圆C1的方程为．