初中数学错题集
中 考 常 见 陷 阱 题
一、因对数学概念的认识模糊而掉入陷阱。
例1.当x=________时，分式22
2---x x x 的值为零。
错解 x =±2
分析 分式的取值必须满足分母不等于零的限制，而当x=2时，分母为零，原分式无意义，故x=-2.
例2.方程11
212=--+x x x 的解为（ ） A ．x=1 B. x=-1 C. x=1或-1 D.无解 错解 选B
分析 解分式方程一定要检验，原分式方程去分母后解得x=-1,但将其代人最简公分母()()11-+x x 中，最简公分母等于0，故x=-1是增根，应舍去，故选D. 例3.函数1
12-+=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________. 错解 不少学生要么只考虑1,01-≥≥+x x 得；要么只考虑.1,012±≠≠-x x 得 分析 要使函数解析式有意义，不但要考虑分式的分母不为0，而且还要考虑偶次
根号下的被开方数大于或等于0，故???≠-≥+0
1012x x ，解得x ＞-1，且x ≠1. 例4.方程2)2(2-=-x x x 的解是___________.
错解 2
1=
x 分析 运用等式的性质解方程时，要注意等式两边所除以的数或式必须不等于0，而本题中(x-2)是可以为0的，所以不能等式两边都除以（x-2）.正解是：将右边（x-2）整体移项至左边，再用提公因式法分解因式解方程，即可解得：
.2,2
121==x x
二、因忽略题目的隐含条件而掉入陷阱
例5. 已知关于x 的一元二次方程(k+4)x 2+3x+k 2+3k-4=0的一个根为0，求k 的值。
错解 把x=0代入方程中，得k 2+3k-4=0，解得k 1=1，k 2=-4.
分析 本题错解忽视了题中的隐含条件：方程必须是一元二次方程，则二次项系数
k+4≠0,所以k ≠-4. 故k=-4应舍去。正确结果为k=1。 例6.已知：关于x 的一元二次方程01422=+++x k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
错解 由于方程有两个不相等的实数根，所以04)42(2≥-+=?k k ，解得2≤k . 分析 本题错解忽视了题中有两个隐含条件：由于原方程是一元二次方程，其二次项系数必须不为0，所以0≠k ；另外，方程中还出现了二次根式，其被开方数必须大于或等于0，所以.2042-≥≥+k k ，解的再综合04)42(2≥-+=?k k ，可得出k 的取值范围是;.0,22≠≤≤-k k 且
例7.先化简代数式1
24)111(222+--÷--x x x x ，然后再任选一个你喜欢的x 的值代入求值。
错解 化简原式=
2
2+-x x ，为使计算简单，取x=2代入计算，得出结果为0. 分析 这里x 的取值并不是可以随心所欲的取任何数值，它的的取值必须要保证原式有意义，即分式的分母不能为0，且除式不能为0。所以x 的取值要满足下列要求： ??
???≠-≠+-≠-040120122x x x x ，解得x ≠1和±2，其余数值都可以代入化简式进行计算。 例8.某等腰三角形的两条边长分别是3cm 和6cm,则它的周长是（ ）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.12cm 或15cm
错解 选D
分析 在求三角形的边长时，边长的取值一定要满足三角形的三边关系定理。而当腰长为3cm 时，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”的要求。故答案选C.
三、因几何图形的形状或位置的多样性而掉入陷阱。
例9.如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠A=900，AB=7,AD=2,BC=3,问：在线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似？如不存在，请说明理由；
若存在，求出PA 的长。
错解：由△PAD ∽△PBC,得327,=-=PA PA BC AD PB PA 所以,求得PA=5
14。 分析：由于本题并未指明两相似三角形的各个顶点的对应情况，故存在两种可能：除了△PAD ∽△PBC 外，还有△PAD ∽△CBP,此时有
,723,PA PA BP AD CB PA -=∴=求得PA=6或1.故答案共有三个：PA=5
14或6或1. 例10.在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1，1），在x 轴上是否存在点p ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 错解：因为△AOP 为等腰三角形，则AO=AP ,由等腰三角形的“三线合一”性质
可知点P 坐标为（2，0）。
分析：由于题目并没有指明以哪条边为等腰三角形的腰，所以等腰三角形的形状要分三种情况讨论：若OA=OP ，且O 为顶角的顶点，则P 点的坐标为
）
，或（02)0,2(-；若AO=AP ，且A 为顶角顶点，则P 点坐标为（2，0）；若PA=PO,则P 点在OA 的垂直平分线与X 轴的交点，此时P 点坐标为（1，0）。故本题答案共有四个：）
，或（02)0,2(-或（2，0）或（1，0）。 例11.相交两圆公共弦长16cm ，其半径长分别为10cm 和17cm ，则两圆圆心距为__________。 错解：两圆圆心距为21cm 。
分析：两圆相交有两种位置情况：两圆的圆心在公共弦德同侧和异侧，此解忽略在同侧情况。正确解答为21cm 或9cm 。
例12.园内有一弦，其长度等于园的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为_________.
错解：300.
分析：园内的弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，其度数等于300；当圆周角的顶点在劣弧上时，其度数为1500.
四、因忽略变量的取值范围而掉入陷阱。
例13.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（6，1）、（6，3），C 、D 在y 轴上，点M
从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿
AD 向终点D 运动，点N 从点C 同时出发，
以每秒1个单位的速度沿CB 向终点B 运
动，当一个点到达终点时，另一个点也同时停止运动。过点M 作M P ⊥AD ，交BD
于P ，连接NP ，两动点同时运动了t 秒。当运动了t 秒时，△NPB 的面积为S,求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值。
错解：当运动了t 秒时，CN=t,AM=3t,
则BN=6-t,DM=6-3t ，∵tan ∠BAD=3162===DA BA DM PM ,∴PM=DM 31=t t -=-2)36(3
1， ∴S=[])2(2)6(21t t ---= 29)3(2132122+--=+-t t t ，∴当t=3时，S 有最大值是29。 分析：本题由于时间t 有限制：20≤≤t ，而当t=3时并不在其取值范围内，
所以当t=2时，S 有最大值=42
9)32(212=+--。 例14.在△ABC 中，∠B =900，AB=6 cm ，BC=7 cm ，点
P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm ／s 的速度移动，点Q
从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm ／s 的速度移动。如果点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，经过几秒钟后，△PBQ 的面积等于8 cm 2?
很多学生给出以下的解答，
解：设 秒钟后△PBQ 的面积等于8 cm 2。
则有：（6-x ）×2x/2=8解这个方程，得 x=2或4。答：经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8 cm 。
这个解答显然忽略了“BC=7 cm ”这一条件。事实上，当经过4秒时，BQ=4×2=8 cm>7 cm ，此时点Q 已不在BC 边上，这与题意不符，所以4秒不合题意，应舍去。正确的答案应为：经过2秒，△PBQ 的面积等于8 cm 2。
五、因思维定势而掉入陷阱。
例15.直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于____________。
错解：由勾股定理得，该直角三角形的斜边1086b a c 2222=+=+=。而直角三角形的外接圆的直径就是它的斜边，所以这个三角形的外接圆的半径等于5。 剖析：这里受勾股定理中常见的勾股数6，8，10的影响，把6，8作为直角边，实际上8也可以作为斜边，即：
（1）当6，8分别为直角边时，第三边即斜边为10；
（2）当6为直角边，8为斜边时，第三边是另一直角边为72。
所以这个三角形的外接圆的半径等于5或4
例16.若关于x 函数1)3(2+--=x a ax y 的图像与x 轴有唯一公共点，则a =__________.
错解:由于有唯一公共点，所以△=0，即[]04)3(2=---a a ，解得a=1或9.
分析：此题错在误以为原函数是二次函数，而原函数还可以是一次函数，故a 还可以等于0。
六、因审题不细致而掉入陷阱。
例17.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，如扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定要取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
错解:设每件衬衫应降价x 元方可做到平均每天盈利1200元，列出方程:(40-x)(20+2x)=1200，解得x 1=10，x 2=20.
答:每件衬衫降价10元或20元都能保证商场平均每天盈利1200元。
分析；此题错在最后的作答未对两个答案作讨论，原因是没有考虑到题中的条件:“为了扩大销售量”、“尽快减少库存”这一要求。正确的答案是取x=20.
高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是
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数学错题集
一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是-----------------------------（） A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------（） A、2a B、2b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度-----------------（） A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------（） A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------（）a b
A. 两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6.函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是---------------------------------- ( ) A.当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7.如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2，则两圆的位置关系是---------（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 "会而不对，对而不全"一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。 【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论． （2）在解答集合问题时，要注意集合的性质"确定性、无序性、互异性"特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。答案：或。 【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例2、已知,求的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 解析：由于得(x+2)2=1- ≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12= + 因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=- 时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1, ] 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【练2】（05高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（） （A）（B）（C）（D） 答案：A 【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 例3、是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用（或）求得a=1. （2）由即，设,则由于故，，而所以 【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。 （2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。 【练3】（2004全国理）函数的反函数是（） A、B、 C、D、 答案：B 答案：D 初中数学易错题及答案 1. 4 的平方根是.（A ） 2 （B ） ?、2 （C ） _2 （ D ） 2 . 解：..4 = 2 , 2的平方根为二'”2 2. 若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3. 当 x 时，|3-x|=x-3。答案：x-3 丸，贝U x3 4. 乎_分数（填“是”或“不是” 答案：三 是无理数，不是分数。 5. 尺的算术平方根是 _______ 。 答案："6 = 4, 4的算术平方根=2 6. _________ 当m= 时，J _m 2有意义 答案：-m 2 X ）,并且m 3 4 X ），所以m=0 x 5 +x —6 7分式 2 -的值为零，贝u x= ______________ ■ x -4 (A) a ：：： -2， (B ) a - -2 ， (C ) a ■ -2 ， (D ) a 一 -2 . 2 - 答案：I x-6=0 ... x 「2,X 2 二 [x 2 -4 H0 8.关于x 的一元二次方程（k -2）x 2 -2（k -1）x k 0总有实数根?则K [k —2式0 答案：i . /-k<3 且 k = 2 9.不等式组 x= -2, a .的解集是x> a ，则a 的取值范围是. _3「.x 「3 10. 关于X的不^-<3等式4x-a"的正整数解是1和2：则a的取值范围是。 4 答案：2且3 4 11. 若对于任何实数X，分式于」总有意义，则C的值应满足______ . x +4x +c 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母X2+4X+C =0无解，--C〉4 12. 函数v=也土中，自变量x的取值范围是 x+3 x -1 -0 、，‘ 答案：「X昌 |x +3鼻0 13. 若二次函数y =mx2-3x+2m-m2的图像过原点，贝U m = _______________ . m = 0 2- m = 2 2m - m =0 14 .如果一次函数y=kx的自变量的取值范围是-2辽x乞6，相应的函数值的范围是 -11兰y兰9，求此函数解析式________________________ . 1 x = - 2 _|_x = 6 \ x =-2_|_x = 6 t . t，、“ 答案：当时，解析式为：时，解析式为 |y--11y=9 l y=9 y--11 15.二次函数y=x2-x+1的图象与坐标轴有 _______ 交点。 答案：1个 16 .某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________ 元. 答案：6元 17. 直角三角形的两条边长分别为8和6，则最小角的正弦等于________ . 答案：3 或口5 4 初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（） A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（） A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（） A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（） A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是（） A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时，有一个交点 B、1 m时，有两个交点 ≠ ± C、当1 m时，有一个交点 D、不论m为何值，均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，且(d-r)2=R2，则 两圆的位置关系是（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 集合与常用逻辑用语 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ） A ．}1{ B ．}41{< 初中数学错题集的整理与使用 凡是善于总结失败教训的人往往比别人多一些接近成功的机会。错题的背后，往往隐藏了学习过程中所产生的漏洞。因此，在数学学习的过程中，教会学生收集、整理和管理错题集不失为一剂良药。 一、建立错题集的必要性 学生所出现的错误可以说是因人而异，各不相同。或是基本概念没巩固，或是解题方法没掌握，或是由于题意不理解而导致错误。尤其基础相对比较薄弱的同学错题重复出现的次数更多。错误并不相同，而老师在评析练习试卷时，也不可能完全照顾到每一位同学试卷上的错题情况，这就为建立错题集提供了必要性。学生用简明的语言归纳出错误的类型和失败的原因，在复习查阅时，就可一目了然。同时任课教师也具备了了解学生学习情况的第一手材料，对学生的学习程度和学习困惑会更加熟悉，在辅导学生时也更有针对性了。 二、整理“错题集”的步骤 （一）分类整理：将所有的错题分类整理，分清错误的原因，并在扉页上列出目录，将各题注明属于某一章某一节，这样分类的优点在于既能按错因查找，又能按各章节易错知识点查找，给今后的复习带来便利。另外也简化了“错题集”，整理同一类型问题时可只记录典型问题，不一定每个错题都记。初期老师可以跟学生一起做，同时也是对自己教学过程的一个反思、梳理，有一举两得之功效。 （二）记录方法：课堂上老师讲评试卷时，要注意老师对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结等，并在该错题的一边注释，写出自己解题时的思维过程，暴露出自己思维障碍产生的原因。总结得多了，自然会有心得体会，渐渐认清思维的种种章碍。 （三）必要的补充：对错题，即对“错题集”中的每一个错题，必须要查找资料或课本，找出与之相同或相关的题型，并作出解答。如果没有困难，说明这一知识点已经掌握得不错；如果还是不能解决，则对于这一问题的处理还要再深入一点。因为在下一次测试中，在这一问题上，你可能还要犯同样的错误。 初中数学易错题及答案 （A ）2 （B （C ）2± （D ） 2，2 的平方根为2.若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3.当x_________时，|3-x|=x-3。答案：x-3≥0，则x3 4. 2 2___分数（填“是”或“不是”） 答案：2 2是无理数，不是分数。 5.16的算术平方根是______。 答案：16＝4，4的算术平方根＝2 6.当m=______时，2m -有意义 答案：2 m -≥0，并且2m ≥0，所以m=0 7分式 4 622--+x x x 的值为零，则x=__________。 答案： 226040 x x x ?+-=? ?-≠?? ∴122,32x x x ==-??≠±?∴3x =- 8.关于 x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=总有实数根．则K_______ 答案：[]2 20 2(1)4(2)(1)0 k k k k -≠???----+≥??∴3k ≤且2k ≠ 9.不等式组2, .x x a >-??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是． （A ）2a <-，（B ）2a =-，（C ）2a >-，（D ）2a ≥-． 答案：D 10.关于x 的不234 a ≤<等式40x a -≤的正整数解是1和2；则a 的取值范围是_________。 答案：234a ≤< 11.若对于任何实数 x ，分式 2 1 4x x c ++总有意义，则c 的值应满足______． 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母240x x c ++=无解，∴C 〉4 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 鲁教版六年级下册数学错题集（—期中考试） 一.选择题（每题3分，共15题45分） 1. 如果点C 在线段AB 上，则下列各式中：1,,2,,2 AC AB AC CB AB AC AC CB AB ===+= 能说明点C 是线段AB 中点的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如果线段AB =5cm ，线段BC =4cm ，那么A,C 连点之间的距离是（ ） A ．9cm B ．1cm C ．1cm 或9cm D ．以上答案都不对 3. 不能用一副三角板拼出的角是（ ） A ．150° B ．105° C ．15° D ．110° 4. 同一个平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是（ ） A.可能是0个，1个，2个 B. 可能是0个，2个，3个 C.可能是0个，1个，2个，3个 D. 可能是1个，3个 5. 如图，已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到的扇形的个数为（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 6. 下列说法正确的是（ ） A. 两点之间的连线中，直线最短 B. 若点P 是线段AB 的中点，则AP=BP C. 若AP=BP ,则P 是线段AB 的中点 D. 两点之间的线段叫做两点之间的距离 7. 从十边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十边形分成的 三角形的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如果线段AB =5cm ，BC =3cm ，那么A,C 两点间的距离是（ ） A ．12cm B ．11cm C ．10cm D ．不确定 9. 若01x <<，那么代数式(1)(2)x x -+的值是（ ） A ．一定为正 B ．一定为负 C ．一定为非负数 D ．不能确定 10. 已知 63 2 27,a b a b ==（ ） A ．9 B ．-9 C ．3 D ．-3 11. 已知22(2)4129,x k x x +=-+则k 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．3± D ．9± 12. 如图，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长为b 的小正方形，小明将左图中的 阴影部分拼成了一个如右图所示的矩形，这一过程可以验证（ ） A. 222()2a b a ab b -=-+ B. 222()2a b a ab b +=++ C. 22()()a b a b a b +-=- D. 22(2)()23a b a b a ab b --=-+ 13. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. ()()a b a b --+ B. ()()a b a b --+ C. ()()a b c a b c -+---+ D. ()()a b a b -+- 14. 经过A ,B ,C ,三点可连接直线的条数为：（ ） A.只能1条 B. 只能3条 C. 3条或1条 D. 不能确定 15. 延长线段AB 到C ，下列说法中正确的是（ ） A.点C 在线段AB 上 B. 点C 在直线AB 上 C. 点C 不在直线AB 上 D. 点C 在直线AB 的延长线上 二.填空题（每题3分，共18题54分） 1. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是 。 2. 如下图所示，共有线段 条；共有射线 条；有直线 条。 3. 如图，线段 1A B B C C D D E c m ====，那么图中所有线段的长度之和等于 cm. 初中数学经典易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是 -----------------------------（ ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------（ ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度-----------------（ ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------（ ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------（ ） A. 两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6.函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是---------------------------------- ( ) A.当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7.如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是---------（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 2019高考理科数学易错题总结重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点.查字典数学网整理了2019高考理科数学易错题总结，希望对大家有帮助。要点1：利用导数研究曲线的切线 1.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数对时间的导数)。 2.求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：①当曲线在点处的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 要点2：利用导数研究导数的单调性利用导数研究函数单调性的一般步骤。(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式0。②若已知的单调性，则转化为不等式0在单调区间上恒成立问题求解。 要点3：利用导数研究函数的极值与最值 1.在求可导函数的极值时，应注意：(以下将导函数取值为0 的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导(其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导)，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处)，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用一般情况下选那个不带常数的。因为. 3.利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和. 三、易错点点睛 命题角度1导数的概念与运算 1.设，，，，nN，则( ) 初中数学错题集 Prepared on 24 November 2020 中 考 常 见 陷 阱 题 一、因对数学概念的认识模糊而掉入陷阱。 例1.当x=________时，分式 222---x x x 的值为零。 错解 x =±2 分析 分式的取值必须满足分母不等于零的限制，而当x=2时，分母为零，原分式无意义，故x=-2. 例2.方程11 212=--+x x x 的解为（ ） A ．x=1 B. x=-1 C. x=1或-1 D.无解 错解 选B 分析 解分式方程一定要检验，原分式方程去分母后解得x=-1,但将其代人最简公分母()()11-+x x 中，最简公分母等于0，故x=-1是增根，应舍去，故选D. 例3.函数1 12-+=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________. 错解 不少学生要么只考虑1,01-≥≥+x x 得；要么只考虑.1,012±≠≠-x x 得 分析 要使函数解析式有意义，不但要考虑分式的分母不为0，而且还要考虑偶次 根号下的被开方数大于或等于0，故???≠-≥+0 1012x x ，解得x ＞-1，且x ≠1. 例4.方程2)2(2-=-x x x 的解是___________. 错解 2 1=x 分析 运用等式的性质解方程时，要注意等式两边所除以的数或式必须不等于0，而本题中(x-2)是可以为0的，所以不能等式两边都除以（x-2）.正解是：将 右边（x-2）整体移项至左边，再用提公因式法分解因式解方程，即可解得：.2,2 121==x x 二、因忽略题目的隐含条件而掉入陷阱 例5. 已知关于x 的一元二次方程(k+4)x 2+3x+k 2+3k-4=0的一个根为0，求k 的值。 错解 把x=0代入方程中，得k 2+3k-4=0，解得k 1=1，k 2=-4. 分析 本题错解忽视了题中的隐含条件：方程必须是一元二次方程，则二次项系数 k+4≠0,所以k ≠-4. 故k=-4应舍去。正确结果为k=1。 例6.已知：关于x 的一元二次方程01422=+++x k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。 错解 由于方程有两个不相等的实数根，所以04)42(2≥-+=?k k ，解得2≤k . 分析 本题错解忽视了题中有两个隐含条件：由于原方程是一元二次方程，其二次项系数必须不为0，所以0≠k ；另外，方程中还出现了二次根式，其被开方数必须大于或等于0，所以.2042-≥≥+k k ，解的再综合04)42(2≥-+=?k k ，可得出k 的取值范围是;.0,22≠≤≤-k k 且 例7.先化简代数式1 24)111(222+--÷--x x x x ，然后再任选一个你喜欢的x 的值代入求值。 错解 化简原式=2 2+-x x ，为使计算简单，取x=2代入计算，得出结果为0. 分析 这里x 的取值并不是可以随心所欲的取任何数值，它的的取值必须要保证原式有意义，即分式的分母不能为0，且除式不能为0。所以x 的取值要满足下列要求： 【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A 初中数学易错题及答案 1. 4 的平方根是．（A ） 2 （ B ） 2 （ C ） 2 （D ） 2 ． 解： 4 ＝2 ， 2 的平方根为 2 2. 若|x|=x ，则 x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案： B （不要漏掉 0 ） 3. 当 x_________时， |3-x|=x-3 。 答案： x-3 ≥0 ，则 x3 2 4. 2 ___分数（填“是”或“不是” ） 2 答案： 2 是无理数，不是分数。 5. 16 的算术平方根是 ______。 答案： 16 ＝4 ，4 的算术平方根＝ 2 6. 当 m=______时， m 2 有意义 答案： m 2 ≥0 ，并且 m 2 ≥0 ，所以 m=0 7 分式 x 2 x 6 x 2 4 的值为零，则 x=__________。 答案： x 2 x 6 0 x 1 2, x 2 3 3 x 2 4 0 ∴ x 2 ∴x 8. 关于 x 的一元二次方程 (k 2) x 2 2( k 1)x k 1 0 总有实数根．则 K_______ 答案： k 2 0 ∴k 3 且 k 2 2(k 2 4(k 2)(k 1) 1) 0 x 2, 9. 不等式组 x a. 的解集是 x a ，则 a 的取值范围是． （A ） a 2 ，（B ） a 2 ，（C ） a 2 ，（ D ） a 2． 答案： D 10. a 3 等式 4x a 0 的正整数解是 1 和 2 ；则 a 的取值范围是 。 关于 x 的不 2 a 4 答案： 2 3 4 11. 若对于任何实数 x ，分式 x 2 1 c 总有意义，则 c 的值应满足 ______． 4x 答案：分式总有意义，即分母不为 0 ，所以分母 x 2 4x c 0 无解， ∴C 〉4 12. 函数 y x 1 中，自变量 x 的取值范围是 ． x 3 答案： x 1 0 ∴X ≥1 x 3 0 13. 若二次函数 y mx 2 3x 2m m 2 的图像过原点，则 m = ． m 0 2m m 2 ∴m ＝2 14 ．如果一次函数 y kx b 的自变量的取值范围是 2 x 6，相应的函数值的范围是 11 y 9 ，求此函数解析式 ． x 2 x 6 x 2 x 6 答案：当 11 y 9 时，解析式为： 9 y 时，解析式为 y y 11 15. 二次函数 y=x 2-x+1 的图象与坐标轴有 ______个交点。答案： 1 个 16 ．某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次这种提高 2 元的方法变化下去，为了投资少而获利大， 每床每晚应提高 元． 答案： 6 元 17. 直角三角形的两条边长分别为 8和 6 ，则最小角的正弦等于 ． 答案： 3 或 7 5 4 18. 一个等腰三角形的周长为 14 ，且一边长为 4，则它的腰长是 答案： 4 或 5 历年高考数学复习易错题选 平面向量 一、选择题： 1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析: 错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知?=120, 故CA BC ? =202185cos -=?? ? ? ?-??=. 2．关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP 即为最大。 4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足 （ ） A ． a 与b 的夹角等于α-β B ．a ∥b C ．(a +b )⊥(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π π ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32 -? B ． 2 π +? C ．?-2 π D ．? 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。 6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0， 则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N= （ ） A ｛（1，2）｝ B {})2,2(),2,1(-- C {})2,2(-- D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)== AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ． 17 B ．27 C ． 37 D ． 47 分析： 由AB ≤ k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若 (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3) =-= -- B C A B A C k 与 (,1)AB k = 垂直，则2 230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是37 . 9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：D 。高考数学易错题集锦6
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