(高考速递)2020届高考押题卷文科数学(2)(有答案)(已纠错)

x ≤1

2019 年高考押题

卷

6．若变量 x, y 满足不等式组 x ≥y

，则 x,y 的整数解有（

x y 2≥ 0

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

文 科 数 学（二）

本试题卷共 6 页， 23 题 （含选考题 ）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟

第Ⅰ卷

7．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边

长为

a ，则该三棱锥的表面积为

（

A ．a 2

B ． 3a 2

C ． 3

2

a

6

D ． 2 3a 2

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 A ． x|0≤ x ≤

1 x

B ． x|0 x 1

C ． 0 D

2． 已知复数 z 满足 z1 i z1 则复数 z 在复平面内对应点在（ ）

A ． 第一、二象限

B ． 第三、四象限

C ．实轴

D ．虚轴 1．已知集合 A y y 0 ，集合 B x x 1 x 0 ，则 A e R B （ ） x 8．已知等差数列 a n 的前 n 项和为

和

T 9 为（ ）

A ． 8

B ． 20 3．为了得到函数 y cos2x 的图像，可将函数 y sin 2x 的图像（ ） 6

9．已知直线 l : y 2x 1 与圆

S n ，且 S 2＝ 4，

S 4＝16，数列 b n 满足 b n C ．180

22

C ： x y 1交于两点 A ， B ，不在圆上的一点

a n a n 1 ，则数列

b n 的

D ．166

M 1,m ，若 MA MB

A ．向右平移 个单位长度

B ．向右平移 个单位长度 63

C ．向左平移 个单位长度

D ．向左平移 个单位长度 63 4．某公司准备招聘了一批员工．有 20人经过初试，其中有 5 人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业， 在不知道面试者专业情况下，现依次选取 2 人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与公司所需专 业不对口的概率是（ ） 5111

A ．

B ．

C ．

D ． 19 19 4 2 5．《九章算术》中 “开立圆术 ”曰： “置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径” ．“开立圆术 则 m 的值为（

10．已知函数 B

．

7

1，

5

C ． 1，

7

5

D ． 1，

7

5

f x

x 2 2x e x ，关于 f x 的性质，有以下四个推断：

① f x 的定义域是 , ；

②函数 f x 是区间 0,2 上的增函数； ③ f x 是奇函数；

④函数 f x 在 x 2 上取得最小值． 其中推断正确的个数是（ 9 3

球的体积为（ ）

4 4

A ．

B ．

C ．

D ． 81 6 81 6 相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径 d ，公式为 d 316V ．如果球的半径为 1，根据 “开立圆术 ”的方法求 A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

11．已知椭圆的标准方程

为

22

x 2 y 2

5

1 ， F 1, F 2为椭圆的左右焦点， O 为原

点，

4

P 是椭圆在第一象限

则

PF 1 PF 2 的取值范围（

A ． 0,2

B ． 1,6

C ． 0, 5

D ． 0,6

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

13．如图所示，在梯形

ABCD 中，∠ A ＝ π， AB 2 ， BC ＝2， AD 3 点 E 为 AB 的中点，则

22

CE BD ___________ ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 12 分）已知锐角三角形 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，

b ，

c ，且满足

222

cos 2

B cos 2

C sin 2 A

sinA siBn ， sin A B cos A B ．

（ 1）求角 A 、B 、C ； （2）若 a

2 ，求三角形 ABC 的边长 b 的值及三角形 ABC 的面积．

18．（本小题满分 12分）2019年4月 1日，中共中央、国务院决定设立的国家级新区——雄

安新区．雄安新区建 立后，在该区某街道临近的 A 路口和 B 路口的车流量变化情况，如表所示：

12．已知正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，E 为棱CC 1的中点， F 为棱 AA 1上的点，且满足 A 1F:FA 1:2，

点 F 、B 、E 、G 、H 为面 MBN 过三点 B 、E 、F 的截面与正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 在棱上的交点，则下列说法 错误的是（ A ． HF //BE B ． BM 13 2 C ． ∠ MBN 的余弦值为 65 65 D ．

△ MBN 的面积是 61

4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

15．已知数列

a n 为1,3,7,15,31, ,2n

1，数列 b n 满足 b 1 1，b n

a n a n 1

1

，则数列 前 n 1项

bn

14．执行如图所示的程序框图，若输

出

天数t（单位：天）1日2日3日4日5日

A 路口车流量x（百辆）0.20.50.80.9 1.1

B 路口车流量y（百辆）0.230.220.51 1.5

（1）求前 5 天通过A路口车流量的平均值和通过B路口的车流量的方差，（2）根据表中数据我们认为这两个临近路口有较强的线性相关关系，第10日在A路口测得车流量为 3 百辆时，你能估计这一天B 路口的车流量吗？大约是多少呢？（最后结果保留两位小数）（参考公式：n

x i x y i y

i 1

n 2，a y bx ，）x i x

i7

2

1 a x 1

2）当x≥1时，不等式f x ≥恒成立，求a 的取值范围．

xx

请考生在22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．（本小题满分10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴

x 5cos

标方程为3 cos sin 6 0，圆C 的参数方程为，

y 1 5sin

（1）求直线l 和圆C 的直角坐标系方程；

（2）若相交，求出直线被圆所截得的弦长．

19．（本小题满分12分）如图所示，直棱柱ABCD A1B1C1D1 ，底面ABCD是平行四边形，AA1 AB B1D1 3，BC 2，E是边B1C1的中点，F是边CC1上的动点，

1）当C1F BC 时，求证：BF 平面D1EF ；2）若BE EF ，求三棱锥B D1EF 体积．

22

23．（本小题满分10分）已知点P a,b 在圆C：x2 y2 x y x,y 0, 上，

22 20．（本小题满分12 分）设椭圆C：x2y2 ab

相切．1）求椭圆的标准方程；1 a b 0 的左顶点为2,0 ，且椭圆C与直线y 6

x3

2）过点P 0,1 的动直线与椭圆C 交于A，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数，使得OA OB PA PB 7 ？请说明理由．

ln x 1 21．（本小题满分12 分）设函数f x

x 1）求曲线y f x 在点e,f e 处的切线方程；

11

1）求 1 1的最小值；ab

2）是否存在a，b ，满足a 1 b 1 4 ？如果存在，请说明理由．

l 的极坐

文科数学(二)答案

第 I 卷

一、选择题：本题共 12

小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

1．【答案】 C

【解析】根据题意可得， A 0 ，B x|x 1或x 0 ，所以e R B x | 0≤x ≤1 ，所以 A e R B 0 ．故 选 C ．

2．【答案】 D

z1 【解析】 设复数 z a bi ， a,b R ，因为 z 1 i ，所以 zi i z

1，所以 (a 1)i b a bi 1， z1

a 1

b a 0

所以可得 ，解得 ，所以 z i ，所以复数 z 在复平面内对应点 0,1 在虚轴上．故选 D ． b a 1 b 1

3．【答案】 D ．

【解析】 y cos2x sin 2x sin 2 x ，所以将函数 y sin 2x 的图像向左平移

2

3 6 6 3 个单位．故选 D ．

4．【答案】 C ．

【解析】 因为有 5 人是与公司所需专业不对口，第二次选到与公司所需专业不对口有 5 种可能，有 20 人经

6．【答案】 D

解析】 如图：

7．【答案】 D

解析】 如图所示，

1 ．故选 C ． 4

易知：共 9 个整数点． 故选 D ．

5．【答

案】 解析】

5 过初试有 20 种可能，所以 P 5

2

3

16

V ，解得 V 1．故选 D ． 96

该几何体是正方 体的内 接正三棱锥，所 以三棱 锥的棱长为 2a ，因此此几 何体的表面积 S 4 1 2a sin60 2

3a 2 ．故选 D ．

2

8．【答案】 C ．

【解析】设等差数列

a n 的公差为

d ，因为 b n a n a n1 ，所以 b n 1 a n1 a n 2，两式相减

b n 1

b n a n 1

a n 2

a n a n 1

2d 为常数，所以数列 b n 也为等差数列．因为 a n 为等差数列，且 S 2

＝

4 ， S 4

＝

16 ， 所 以

b 1

a 1 a 2

S 2 4 ， b 3

a 3

a 4

S 4 S 2

12 ， 所 以 等 差 数 列 b n 的

公 差

2d

b3

b1

4，所以前 n 项和公式为 T n 4n n 1 n 4 2n 2 2n ，所以 T 9 180 ．故选 C ．

22

9．【答案】 A

解析】 将直线 l 的方程与圆 C

的方程联立得 y 2 2x 2 1 ，

x 2 y 2 1

因为 0 x 0 5 ，所以 0 2 5 x 0 2 ．故选 A ．

5

2

4 化简得 5x 2 4x 0 ，解得 x ＝ 0 或 x

，

5

43

所以 A(0,1)， B( 45, 35) ，所以

MA (1,1 m) ， MB

(1, 3

m) ，根据 MA 55

MB 1 ， 所 以

10．【答案】 C

1 ，化简 5m 2

2m 7 0，解得 m 1 7

或 m 2 1．故选 A ．

5

解析】根据题意可得，函

数 f x 的 定 义 域 为 , ， 所 以 ① 为 正 确 ； 因 为

f x 2x 2 e x x 2 2x e x x 2 2 e x ，当 2 x 2 时， f x 0 ，所以函数 f x 在

2, 2 为单调递减函数，当 x 2 或 x 2时， f x 0，在

, 2 ， 2, 为单调递

增函数，又 y x 2 2x 在 ,0 ， 2, 上为正，在 0,2 上为负，所以函数在 x 2上取得最小值，

所以④正确，②错误． f x

x 2 2x e x ，可见 f x 是非奇非偶函数，所以③错误．故选

C ．

11．【答案】 A

解析】 设 P x 0, y 0 ，则 0 x 0

5, 因为 c 2

a 2

b 2 1，所以 e 1 5

55

55， PF 1 5 55 x 0，

PF 2 5 5

5

x 0，则 PF 1 PF 2 2 5 x 0，

5

12．【答案】C

cos MBN 2 65 ， 所 以 sin MBN 61 ，

解析】因为面 AD 1 / /面BC 1 ，且面 AD 1与面 MBN 的交线为 FH ，面BC 1与面 MBN 的交线为 BE ，所以

HF //BE ，A 正确；因为 A 1F / / BB 1 ，且 A 1F:FA 1: 2，所以 MA 1 : A 1 B 1 1: 2，所以 MA 1

1 1

，所以 2

B 1M 3 ，在 Rt △ BB 1M 中， BM

BB 12 B 1M 2

13

，所以 B 正确； 在 Rt △ BB 1N

中，

22

E 为棱 CC 1

的中点，所以 C 1为棱 NB 1上的中点，所以 C 1N 1，在Rt △ C 1EN 中， EN

C 1E 2 C 1N 2

25

，所以

BN

5 ；因为 MN MB 12 NB 12

2 2 2

5 BM 2 BN 2 MN 2

，在△ BMN 中， cos MBN 2 2BM BN

2 65

，

65

所以

S

B

1

MN

BM BN sin MBN

61

．所以 D 正确．

4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答。 13． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 答

案】 2

解析】 以 B 为原点， BC 为 x 轴，AB 为y 轴建系， C 2,0 ，E 0, 2 2 ，B 0,0 ，D 23

, 2

CE 2, 2 ， BD 3, 2 ，所以 CE BD 3 1 2． ∴ CE

353 14．【答案】 353

55

21 解析】 当 n 1 时， S 0 2 1 3 1，

3，

2时，

S

1 4 1 14，

3 5 15

3

时， S 14 81

29 ，

15 7

15

4时， S 29

15 18，

15

9 5

5

时，

S 18 31 353，

5 11 55

当

n 当 n 当 n 当 n

353

n 6 ，输出S 的值为353

55

15．【答案】2 22 n

解析】由数列a n 得通项公式a n 2n1，所以b n a n a n 12n 1 2n 1 1 2n 1，

所以数列1的通项公式为

b n

1 1 1 1

1 1

n 1，由此可知数列是以首项为 1 ，公比为1的等比数

列，

所以其b n

前n 1 项和S n 1111

2

n1

11

2

2 2

2 n

16．【答案】225

解析】在△AMC 中，由余弦定理可得AM 2 AC2 CM 2 2AC CM cos ACM AM 6 2 ，在△AMC 中，由正弦定理AM MC，解得sin MAC

sin ACM sin MAC 72 ，得，所以

πMAC ，

4

25 在△ ABC 中，sin ACB sin π sin

由正弦定理可得AC AB，解得AB 30 2 ，sin ABC sin ACB

所以△ABC 的面积为1 sin BAC AB AC 1 2 30 2 15 225．

2 2 2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12 分）

5 6 2 3 3

【答案】（1）A ，B ，C ；（2）b ，S△ABC == ．

4 12 3 2△ ABC

4 【解析】（1）因为A，B 均为锐角，sin A B cos A

B ，∴ sin AcosB cos Asin B cos Acos B sin AsinB，∴ sin AcosB sin Asin B cosAcosB cosA sin B ，∴ sinA cosB sinB cosA cosB sinB ∵B 为锐角，∴ cosB sinB 0，

∴ sinA cosA ，则A 的大小为，································· 3 分

4

在△ ABC 中，cos2 B cos2 C sin 2 A sin Asin B ，

∴ 1 sin2 B 1 sin2 C sin2 A sin AsinB ，

∴ sin2 C sin2 B sin2 A sin AsinB ，

19．（本小题满分 12 分）

1）因为底面

A 1

B 1

C 1

D 1是平行四边形，所以 AB B 1D 1 D 1C 1 3，

E 是 B 1C 1的中点，所以 D 1E

⊥

B 1

C 1 ．

∴ a 2 b 2 c 2

ab ，

1

∴

cosC ，∴ C ，

23 6分

∴

B

5 ．

3 4

12

（2）根据正弦定理

a

sin A

asin B

5π 得

b

2sin

sin A

12

7分

9分

∴ S △ABC = 1 sinC ab 1 3 2 6 2 3 3

2 2 2

12 分

18．（本小题满分 12 分）

答案】（1） 0.70， 0.24；（2）3.86． 解析】（1）由题意可知，

x 0.2 0.5 0.8 0.9 1.1 0.70

2分

y 0.23 0.22 0.5 1 1.5 0.69

百辆）

4分

口的车流量

方差为

s y 2 15 0

2

22 3 2

6 9 0 . 2

2

2 0百辆 .2 ）．2 6 9

故前 5 天通过 A 路口车流量的平均值为 0.70百辆和通过 B 路口的车流量的方差为 0.24 百辆 2）；

6分

2）根据题意可得，

5

x i x y i y

i 1

5 1.38 ，

(x i x)2

i1

8分

所以 a 0.69 1.38 0.7 0.28 ，

所以 A 路口车流量和 B 路口的车流量的线性回归方程为 y 1.38x 0.28， 10 分

当 x 3 时， y 1.38 3 0.28 3.86 (百辆)． 故这一天 B 路口的车流量大约是 3.86百辆．

12 分

答案】

1）见解析；（2） 10 2

9

解析】

1分

b sinB

2sin( π π)

6 2

，

6 4 2

在直棱柱

ABCD A 1B 1C 1D 1 ，因为 CC 1 ⊥底面 A 1B 1C 1D 1， D 1E ?底面 A 1B 1C 1D 1，

所以 D 1E ⊥ CC 1，

又因为 B 1C 1 ∩CC 1 ＝ C 1 ，所以 D 1E ⊥平面 B 1BCC 1，··················· 2分 又 BF? 平面 B 1BCC 1，所以 D 1E ⊥BF ．···························· 3 分 在矩形 BB 1C 1C 中，因为 CF C 1E ＝1， BC C 1F 2， ∴ Rt △BCF ≌Rt △FC 1E ． ∴ CFB

FEC 1 ， CBF C 1FE ，

∴ BFE 90 ，∴ BF EF ，·································· 5 分 又∵ D 1E EF E ， ∴ BF 平面 D 1EF ．·········································· 6 分

因为 D 1E 平面 BEF ，所以 D 1E 是三棱锥 B D 1EF 的高，且 D 1E 2 2 ，· 7 分

2）

因为 BE BB 12 B 1E 2

10 ，

8分

因为 BE EF ， 所以 Rt △ BB 1E ∽Rt △FC 1E ， 所以 EF EC 1

BE BB 1

所以

EF 10

3

10 分

所以

V

三棱锥 B D 1 EF

V

三棱锥 D 1 BEF

1 1

EF BE D 1E 3 2 1

10 2 9

12 分

20．（本小题满分 12 分）

22

答案】（1） x 4 y 3 1，（2）存在，

2．

解析】（ 1）根据题意可知 a 2，所以

22

xy

1，

2，

4

b 2

1分

22

x 42 b y 22 1

由椭圆 C 与直线 y 6 x 3 相切，联立得

2

y 6

2x3

消去 y 可得： b 2 6 x 2 12 6x 36 4b 2 0 ，

3分

0，即 12 6 4 b 2 6 36 4b 2 0 ，

解得： b 2 0（舍） 或 3，

x 1,y 1 ， x 2,y 2 ，

22

xy

1

联立得 4 3 1，化简

y kx 1

22

3 4k 2 3

x 2 8kx 8 0 ，

当过点 P 的直线 AB 的斜率不存在时，直线即与 y 轴重合，此时 A 0, 3，B 0, 3，所以

OA OB PA PB 3＋ [（ －3 1） （ －3 1） ] 3 ，2 所以当 2时， OA OB

PA PB 7 ；

综上所述，当 2时，OA OB PA PB 7 ．·······

21．（本小题满分 12 分）

【答案】（ 1） x e 2 y 3e 0；（2） a|a ≤0 ．

2

解析】（ 1）根据题意可得， f e ，

e

2 1 2

x e ，即 x e 2y 3e 0 ．··· 5 分

所以

x 1x 2 8k x 1 x 2 2 1 2 4k 2 3 8 2

4k 2 3

≥

0 恒成立 7分

所以

OA OB PA PB

x 1x 2＋y 1y 2＋ [ x 1x 2＋（ y 1－1）（y 2－1）] 1 1 k 2 x 1x 2 k x 1 x 2 1 22 8（1＋ ）（1＋k 2） 8k 2 21 4k 2

3 2 4k 2 3 2

4 4 4k 2 3 2 4k 2 3 2

4k 2 3 22 4

2 3 ， 4k 2 3

所以当

2时，OA OB PA PB 7； 10 分

所以椭圆的标准方程为

2

y2

1

．

3

5分

2）当过点 P 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx 1，设 A 、B 两点的坐标分别为

12 分

1分

f ' x

ln

2

x

，所以f ' e

ln

2

e

xe

11

2，即k 2，ee 3分

所以在点e,f e 处的切线方程为 2

ee

所以 g (x) 在 1, 2a 上

g (x) 0 ，在

11

a ，令 h a ln a a ， aa

a 2

a 1 1

g (x)≤0在 1, 上恒成立，所以函数 y g(x) 在 1, 上是单调递

减， 所以 g(x)≤g 1 0

1

显然 a ≥ 不符合题意；

2

2)根据题意可得， f x

22

1

a x 1 lnx a x 1 ≥0 在 x ≥1恒成

立， x

xx

令 g(x) ln x a x 2 1 ， x ≥

1 ， 1 所以 g (x) 1 * 1

2 2ax ， x

6分

当a ≤

0时， g(x) 0 ，所以函数 y g(x)在 1, 上是单调递增， 所以 g(x)≥g 1 0 ，

所以不等式 f x a x 1 成立，即 a ≤0 符合题意；

x

8分

当a 0时，令 1x 2ax 0，解得 x

21

a ，令

1，解得 a 1 ，

2

1， 1

①当

0 a< 时，

2 所以函数 y g(x) 在 1, 上单调递增，

在

上单调递减， 1

1

②当

a ≥ 时， 2

11

h' a 2 1 aa

所以 h a h 1 2

10 分

,+ 上 g (x) 0 ，

请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分

22．（本小题满分 10 分）

【答案】（1） x 3 y 1 2 5，3x y 6 0；（2） 10 ．

【解析】（1）将圆 C 的参数方程化为直角坐标系方程： x 2 y 2 2y 4 0，

化为标准方程是 x 2 y 1 2 5 ，···································· 3 分 直线 l ： 3x y 6 0．

2）由 x 2 y 1 2 5 ，所以圆心 C 0,1 ，半径 r 5 ； 23．（本小题满分 10 分） 【答案】（ 1） 2；（ 2）存在．

当且仅当 a b 1 时，等号成立． 11

所以

的最小值为 2．································ 5 分 ab （ 2）存在．

因为 a 2 b 2≥2ab ，所以 a b ≤2 a 2 b 2 =2 a b ，

所以

a b 2 a b ≤ 0 ， 又 a,b 0, ，所以 0 a b ≤2 ．

从而有 a 1 b 1 ≤ a 1 b 1 ≤ 2 2 2 4， 22

因此存在 a 1， b 1，满足 a 1 b 1 4 ．···················· 10 分

16．如图：已知 △ABC ， AC 15 ， M 在 AB 边上，且 CM 3 13 ， cos ACM 3 *

13

， sin 2 5 ，

13 5

为锐角），则 △ABC 的面积为

1

1

1 2

g( ) ln a 1 ln a a a a

2 0 恒成立，又 0 a ， a2 ln 1 2 1 ln 2 1 2 0 ，

3

综上所述， a 的取值范围为 a|a ≤0 ．

12 分

5分

所以圆心 C 到直线 l ： 3x y 6 0 的距离是

10

10．10 分

2

解析】（

1）

1 1 a b

a b ab

22

a 2

b 2 2ab

≥ 2 ，

ab ab

3 0 1 1 6 10

直线 l 被圆 C 所截得的弦长为

2 2 2

1

g(1) 0 ，

a

1

不符合题意；