数学人教版八年级上册线段垂直平分线的判定的证明

《13.1.2线段的垂直平分线的性质与判定》

3.线段的垂直平分线的判定的证明

任意一点P，如果满足PA＝PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上。

教师再引导学生画出图形，写出已知、求证，引导学生从垂直平分线的定义入手画辅助线并进行证明：若过点P作线段AB的垂线段PC，则只要证明AC=BC

A

图3

即可；若连接点P与线段AB的中点，则只要证明PC垂直于AB即可。学生自己证明，然后交流展示．教师关注：在证明的过程中，数学语言的表达是否正确，几何推理是否严密，做到有理有据．教师也要鼓励学生用多种方法进行证明，发散思维。

已知：如图3，PA＝PB．

求证：点P在线段AB的垂直平分线上．

证明：过点P作线段AB的垂线段PC，垂足为C．

则∠PCA＝∠PCB＝90°．

在Rt△PCA和Rt△PCB中，

∵PA＝PB，PC＝PC，

∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．

∴AC＝BC．

又PC⊥AB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

接下来，教师引导学生根据图3用数学符号表示这一结论：

∵PA＝PB，

∴点P在AB的垂直平分线上．

设计意图：让学生通过严格的逻辑推理证明“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，为下一步运用结论提供了方便．

线段垂直平分线经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式 例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线 交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= . 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2： 如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。 图1 图2 图3

[变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长. 图4 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6

线段的垂直平分线各种证明

证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点

线段的垂直平分线的性质与判定

线段的垂直平分线的性质与判定 教学目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。 2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。 重点与难点： 重点：线段垂直平分线的性质与判定。 难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 教学过程： ＜一＞创设情境 线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？ ＜二＞探究新知 1.直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？ 2.不论P点在直线l上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由吗？ 说明：1、因为l是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时A与B重合，又P对称在对称轴l上，所以PA=PB. 2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。

3、通过上述分析，你能得出什么结论？ 由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。 阅读与分析 反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？设P点和A，B两点的距离相等，作∠APB的平分线PC（由折叠得到）。在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA ＝PB。因此B点与A重合。从而A，B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。 （1）你能根据上述短文画出几何图形？ （2）通过上述的阅读与分析你得到什么结论？ 由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 <三>应用新知 1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图。下面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。 (1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D。 (2)作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。 问题＜一＞：请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。 问题＜二＞：你能说出上述作图的根据吗？ 理由： 因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找

线段的垂直平分线练习及答案

线段的垂直平分线练习及答案 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段A．6B．5C．4D．3 第1题图第2题图第5题图 2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分AB C．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB 3．下列说法中错误的是（） A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线 B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 C．线段有且只有一条垂直平分线 D．线段的垂直平分线是一条直线 4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点 5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（） A．100°B．105°C．115°D．120° 6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6 7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC 于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算 8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( ) A．28°B．25°C．22.5°D．20° 第6题图第7题图第8题图 二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． D

证明垂直平分线与角平分线

第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A

# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C

例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P

例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．

线段垂直平分线与角平分线练习题

线段的垂直平分线与角的平分线 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD

考点06 线段垂直平分线的性质和判定(原卷版)

考点06 线段垂直平分线的性质和判定 一．选择题（共10小题） 1．（2020·重庆南开中学）如图，在ABC ?中，DE 垂直平分BC ， 分别交BC AB 、于D E 、，连接CE BF ，平分ABC ∠，交CE 于F ，若,12BE AC ACE ? =∠=，则F E B ∠的度数为（ ） A ．58? B ．63? C ．67? D ．70? 2．（2020·四川彭州期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D 、E ，7BE =，则CE 的长是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．（2020·四川开江期末）如图，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F ，若55FAC ∠=?，则B 的度数为（ ）

A．45°B．50°C．55°D．60°4．（2020·四川郫都期末）如图，在△ABC中，△C＝31°，△ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么△A的度数为（） A．31°B．62°C．87°D．93°5．（2020·江苏宿豫期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（） A．12B．10C．8D．6 6．（2020·江苏如皋期中）如图，DE△BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（）

A ．21 B ．18 C ．13 D ．9 7．（2020·山东金乡期中）如图，在Rt△ABC 中，△B=90°，△C=20°，分别以点A 、C 为圆心，大于12 AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ．则△BAE=（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 8．（2020·尚志市田家炳中学期中）如图，点K 在AOB ∠的内部，点K 关于OA 、OB 的对称点分别为P 、R ，连接PR 交OA 、OB 于点C 、D ，若70POR ∠=，则下列结论错误的是( ) A ．35AO B ∠= B ．110CKD ∠= C ．PK RK = D ．OA 垂直平分PK 9．（2020山东滨州期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，,DE AB DF AC ⊥⊥,垂足分别为点,E F ，连接EF 与AD 相交于点O ．下列结论不一定成立的是( )

线段的垂直平分线综合提高测试带答案

线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6错误！未找到引用源。 B、4错误！未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题（共12小题） 9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________． 10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度． 11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°． 12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC

垂直平分线的性质与判定

12.1.2轴对称—垂直平分线的性质与判定 一、知识回顾： 1．垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 二、探究新知： 2、已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点 求证：PA＝PB 证明： 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离3．思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ 已知：如图，PA＝PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。练习 三、例题评析： 例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长？ A E 若AB=AC,则点A 在线段的 若直线ED是线段BC 的垂直平分线,则图

例2、三角形中，分别画出边AB ,BC的垂直平分线，若这两条垂直平分线交于点O，则点O是否在AC的垂直平分线上。说明理由。 四、课堂练习： 1、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。 2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 五、课后作业： 1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修 建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处 C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处 C B A

2．下列语句正确的有（）句 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对称点一定在直线的两侧；④两个轴对称图形对应点连线的垂直平分线就是它的对称轴。 A、1句 B、2句 C、3句 D、4句 3．设A，B关于直线MN对称，则垂直平分。 4．如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么= 。 5．设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变 化，但总保持。 6、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。 7．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？六、应用与拓展： 1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D 点，求：△BCD的周长。

三角形的证明(垂直平分线,角平分线)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：线段垂直平分线的定理及其逆定理的内容分别是什么 答： 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 问题2：角平分线定理及其逆定理的内容分别是什么 答： 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 问题3：什么是反证法 答： 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 问题4：你能用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角吗 答： 证明：假设等腰三角形ABC的底角是钝角或直角， ①妨设∠B和∠C是钝角，即∠B=∠C90°， ∴∠A+∠B+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是钝角”的假设不成立； ②妨设∠B和∠C是直角，即∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180° 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是直角”的假设不成立； ∴等腰三角形的底角必为锐角． 三角形的证明（垂直平分线，角平分线）（北师版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有( )种情况． 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理 2.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是( )

线段的垂直平分线的性质和判定精选优秀练习

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5， CD 边垂直平分线的交点 ，连接EC；则∠AEC等于（） F， ： 第1题图第2题图第5题图 第6题图第7题图第8题图 B

二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． 10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ． 11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________. 12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度． 13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm． 14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ． 15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ． 17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ． 18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度． 第10题图第12题图第13题图第14题图 第15题图第16题图第17题图第18题图 三、解答题（共5小题） 19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 20．如图，在△AB C中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长． 21.如图，已知：在ABC 中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.

垂直平分线的性质与判定练习题

1 / 2 垂直平分线的性质·练习 1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=o ，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 4题 5题 5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线， 垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 (1) 求△AEN 的周长。 (2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。 8、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。 A B C D E M N

(word完整版)八年级数学《线段垂直平分线角平分线》练习题

八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》练习题 班级姓名 一、选择题 1．如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交 边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2.如图，AC=AD，BC=BD，则（） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 3.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.下列命题中正确的命题有（） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 二．填空题 1、如图，（1)、AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果△EBC的周长是24cm，那么BC= （2）、AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 （3）、AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， 如果∠A=28°，那么∠EBC是 2.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线 ．．．．．相交所成锐角为50°， △ABC的底角∠B的大小为_______________。 3. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为21cm，AB=2BC，则腰长为________________。 三．解答题 1、已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC，求证：点O在BC的垂直平分线上

垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．

4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．

8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题 例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余） 又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。 求证：BF CF 2=。 分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角） 又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。 求证：CAF B ∠=∠。 分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

三角形中的垂直平分线

第一章三角形的证明 3 第2课时三角形三边的垂直平分线导学案 郑州市惠济区第五初级中学侯颖 学习目标： 1.通过作图，发现并证明三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题； 2.能够利用尺规作符合条件的等腰三角形及过一点作已知直线的垂线. 知识准备： 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 性质：线段垂直平分线上的点 . 判定：到一条线段两个端点距离相等的点， . 2.线段的垂直平分线的作法. 学习过程: 一、温故知新 1.同学A与同学B玩抢凳子游戏，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由. 2.同学A与同学B玩抢凳子游戏，同学C也要加入，为保证游戏的公平性，可将板凳放在图中什么位置？说明你的理由. 二、新知探究 探究1 三角形三边的垂直平分线的性质 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边 BC的垂直平分线相交于点P． 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．

分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点点P 分别在什么位置？ 当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________. 归纳小结： 三角形三边的垂直平分线的性质定理： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 几何语言： 对应练习1： 探究2 尺规作图 独立思考后，在小组内讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论． P C B A

线段的垂直平分线(2)练习题

10.4 线段的垂直平分线(2)练习题 1. 如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在( ) (A)△ABC三边垂直平分线的交点 (B)△ABC三条角平分线的交点 (C)△ABC三条高所在直线的交点 (D)△ABC三条中线的交点 2. 如图,在△AEF中,尺规作图如下:分别以点E,点F为圆心,大于EF 的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的是( ) (A)AO平分∠EAF (B)AO垂直平分EF (C)GH垂直平分EF (D)GH平分AF

3. 如图,分别以线段AC的两个端点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于B,D两点,连接BD,AB,BC,CD,DA.以下结论:①BD垂直平分AC,②AC平分∠BAD,③AC=BD,④四边形ABCD是轴对称图形, 其中正确的有( ) (A)①②③(B)①③④ (C)①②④(D)②③④ 4. 如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是. 5. 如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于E,∠ B=70°,∠FAE=19°,则∠C= 度. 6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°. (1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接AP,当∠B为度时,AP平分∠CAB.

7. 已知如图,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE. (1)求∠AEC的度数; (2)请你判断AE,BE,AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论. 8. 如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,求∠C的度数. 9.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 已知:线段c,直线l及l外一点A. 求作:Rt△ABC,使直角边为AC(AC⊥l,垂足为C),斜边AB=c.

垂直平分线与角平分线的有关证明问题

课 题 垂直平分线、角平分线的有关证明问题 教学过程 一、主要知识点 1、 线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 二、重点例题分析 例1：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。（垂直平分线的性质） E C F A D B 例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。（用定义去证） A C D E B 例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200 ，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。（连AE ，AG ） A D F B E G C

例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。（证全等） C E A D B F 例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF （角平分线性质、平行线间高处处一样） 例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用） A E B M C F D 相应练习 1、 如图，在△ABC 中，AB=AC=BC ，AE= CD ，AD 、BE 相交于点P ，B Q ⊥AD 于Q 。求证：BP=2PQ （证角＝30度） 2、 如图，△ABC 中，AB= AC ，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、AC 上，且 BP=CQ ，BQ=CR 。 求证：点Q 在PR 的垂直平分线上。 P Q E D C B A 2 1 A O F E C B M N Q R P B C A

线段的垂直平分线的性质和判定公开课教案-参考模板

线段的垂直平分线的性质和判定 教学目标 知识与技能：掌握线段垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。 方法与过程：通过折叠，观察让学生动手操作探索规律，并用所学理论证明规律，并在实际解题过程中运用它。 情感态度与价值观：经历探究线段垂直平分线的性质和判定的过程，发展学生的空间观察的能力进而培养学生的探究意识和学习数学的兴趣。 重点： 线段垂直平分线的性质和判定 难点： 线段垂直平分线的性质和判定的推理及应用 教学过程 一、问题导入 1.什么是线段的垂直平分线？ 2.线段是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？ 二、探究新知 （一）线段垂直平分线的性质和判定 将线段AB折叠，并在折痕上任取一点P，连接PA，PB并再次折叠，你会发现什么？ 由于P点的任意性，你又会得出什么结论？

结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 性质的证明： 求证：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上．求证：PA =PB． 思路分析：图中只有两个直角三角形而证明的又是线段相等，所以联想证明这两个三角形全等。 证明过程： 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° 又∵AC=CB，PC=PC, 又∵AC=CB，PC=PC, ∴PA=PB 证后反思：线段垂直平分线的性质在做题过程中可以直接使用，省去其中证全等的过程，使解题过程更加简洁明了。 例1：如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等于______． 例2：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上 点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵AD⊥BC，BD =DC，

垂直平分线的性质与判定练习题

垂直平分线的性质·练习 1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=o ，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 4题 5题 5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线， 垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 (1) 求△AEN 的周长。 (2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。 8、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。 A B C D E M N