数据结构课后习题集与解析第六章

第六章习题

1．试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。2．对题1所得各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。

3．已知一棵度为k的树中有n

1个度为1的结点，n

2

个度为2的结点，……，n

k

个度为k的结点，

则该树中有多少个叶子结点并证明之。

4.假设一棵二叉树的先序序列为EBADCFHGIKJ，中序序列为ABCDEFGHIJK，请画出该二叉树。5．已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

6．给出满足下列条件的所有二叉树：

①前序和后序相同

②中序和后序相同

③前序和后序相同

7．n个结点的K叉树，若用具有k个child域的等长链结点存储树的一个结点，则空的Child域有多少个？

8．画出与下列已知序列对应的树Ｔ：

树的先根次序访问序列为GFKDAIEBCHJ；

树的后根次序访问序列为DIAEKFCJHBG。

9．假设用于通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

请为这8个字母设计哈夫曼编码。

10．已知二叉树采用二叉链表存放,要求返回二叉树T的后序序列中的第一个结点指针,是否可不用递归且不用栈来完成?请简述原因.

11. 画出和下列树对应的二叉树：

12．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

13．编写递归算法：对于二叉树中每一个元素值为x的结点，删去以它为根的子树，并释放相应的空间。

14．分别写函数完成：在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。

15．分别写出算法，实现在中序线索二叉树中查找给定结点*p在中序序列中的前驱与后继。16．编写算法，对一棵以孩子-兄弟链表表示的树统计其叶子的个数。

17．对以孩子-兄弟链表表示的树编写计算树的深度的算法。

18．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出后序遍历非递归的算法。19．设二叉树按二叉链表存放，写算法判别一棵二叉树是否是一棵正则二叉树。正则二叉树是指：在二叉树中不存在子树个数为1的结点。

20．计算二叉树最大宽度的算法。二叉树的最大宽度是指：二叉树所有层中结点个数的最大值。21．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出先序遍历非递归形式的算法。22. 证明：给定一棵二叉树的前序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

给定一棵二叉树的后序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

23. 二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

24. 二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，将二叉树左右子树进行交换。

实习题

1.[问题描述] 建立一棵用二叉链表方式存储的二叉树，并对其进行遍历（先序、中序和后序），

打印输出遍历结果。

[基本要求] 从键盘接受输入先序序列，以二叉链表作为存储结构，建立二叉树（以先序来建立）并对其进行遍历（先序、中序、后序），然后将遍历结果打印输出。要求采用递归和非递归两种方法实现。

[测试数据] ABCффDEфGффFффф（其中ф表示空格字符）

输出结果为：先序：ABCDEGF

中序：CBEGDFA

后序：CGBFDBA

2．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，要求实现二叉树的竖向显示（竖向显示就是二叉树的按层显示）。

3．如题1要求建立好二叉树，按凹入表形式打印二叉树结构，如下图所示。

2.按凹入表形式打印树形结构，如下图所示。

第六章答案

6． 1分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。

【解答】

具有3个结点的树 具有3个结点的二叉树

6.3已知一棵度为k 的树中有n 1个度为1的结点，n 2个度为2的结点，……，n k 个度为k 的结点，则该树中有多少个叶子结点？

【解答】设树中结点总数为n,则n=n 0 + n 1 + …… + n k

树中分支数目为B,则B=n 1 + 2n 2 + 3n 3 + …… + kn k

因为除根结点外，每个结点均对应一个进入它的分支，所以有n= B + 1

即n 0 + n 1 + …… + n k = n 1 + 2n 2 + 3n 3 + …… + kn k + 1

由上式可得叶子结点数为：n 0 = n 2 + 2n 3 + …… + (k -1)n k + 1

6.5已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

【解答】n 0表示叶子结点数，n 2表示度为2的结点数，则n 0 = n 2+1

所以n 2= n 0 –1=49，当二叉树中没有度为1的结点时，总结点数n=n 0+n 2=99

6.6 试分别找出满足以下条件的所有二叉树:

(1) 前序序列与中序序列相同;

(2) 中序序列与后序序列相同;

(3) 前序序列与后序序列相同。

【解答】

(1) 前序与中序相同：空树或缺左子树的单支树；

(2) 中序与后序相同：空树或缺右子树的单支树；

(3) 前序与后序相同：空树或只有根结点的二叉树。

6.9 假设通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

请为这8个字母设计哈夫曼编码。

【解答】

构造哈夫曼树如下：

哈夫曼编码为：

I 1：11111 I 5：1100

I 2：11110 I 6： 10

I 3：1110 I 7： 01

I 4：1101 I 8： 00

6.11画出如下图所示树对应的二叉树。

【解答】

6.15分别写出算法，实现在中序线索二叉树T中查找给定结点*p在中序序列中的前驱与后继。在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。

（1）找结点的中序前驱结点

BiTNode *InPre (BiTNode *p)

/*在中序线索二叉树中查找p的中序前驱结点，并用pre指针返回结果*/ { if (p->Ltag= =1) pre = p->LChild; /*直接利用线索*/

else

{/*在p的左子树中查找“最右下端”结点*/

for ( q=p->LChild; q->Rtag= =0; q=q->RChild);

pre = q;

}

return (pre);

}

（2）找结点的中序后继结点

BiTNode *InSucc (BiTNode *p)

/*在中序线索二叉树中查找p的中序后继结点，并用succ指针返回结果*/ { if (p->Rtag= =1) succ = p->RChild; /*直接利用线索*/

else

{/*在p的右子树中查找“最左下端”结点*/

for ( q=p->RChild; q->Ltag= =0; q=q->LChild);

succ= q;

}

return (succ);

}

(3) 找结点的先序后继结点

BiTNode *PreSucc (BiTNode *p)

/*在先序线索二叉树中查找p的先序后继结点，并用succ指针返回结果*/ { if (p->Ltag= =0) succ = p->LChild;

else succ= p->RChild;

return (succ);

}

(4) 找结点的后序前驱结点

BiTNode *SuccPre (BiTNode *p)

/*在后序线索二叉树中查找p的后序前驱结点，并用pre指针返回结果*/

{ if (p->Ltag= =1) pre = p->LChild;

else pre= p->RChild;

return (pre);

}

6.21已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出先序遍历非递归形式的算法。【解答】

Void PreOrder(BiTree root) /*先序遍历二叉树的非递归算法*/

{

InitStack(&S);

p=root;

while(p!=NULL || !IsEmpty(S) )

{ if(p!=NULL)

{

Visit(p->data);

push(&S,p);

p=p->Lchild;

}

else

{

Pop(&S,&p);

p=p->RChild;

}

}

}

6.24已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，将二叉树左右子树进行交换。【解答】

算法(一)

Void exchange ( BiTree root )

{

p=root;

if ( p->LChild != NULL || p->RChild != NULL )

{

temp = p->LChild;

p->LChild = p->RChild;

p->RChild = temp;

exchange ( p->LChild );

exchange ( p->RChild );

}

}

算法(二)

Void exchange ( BiTree root )

{

p=root;

if ( p->LChild != NULL || p->RChild != NULL )

{

exchange ( p->LChild );

exchange ( p->RChild );

temp = p->LChild;

p->LChild = p->RChild;

p->RChild = temp;

}

}

第六章习题解析

1．试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。

2．对题1所得各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。

3．已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，n k个度为k的结点，则该树中有多少个叶子结点？

[提示]：参考P.116 性质3

∵n=n0 + n1 + …… + n k

B=n1 + 2n2 + 3n3+ …… + kn k

n= B + 1

∴n0 + n1 + …… + n k = n1 + 2n2 + 3n3+ …… + kn k + 1

∴n0 = n2 + 2n3+ …… + (k-1)n k + 1

4.假设一棵二叉树的先序序列为EBADCFHGIKJ，中序序列为ABCDEFGHIJK，请画出该二叉树。

[提示]：参考P.148

6．已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

[提示]：

[方法1]

（1）一个叶子结点，总结点数至多有多少个？

结论：可压缩一度结点。

（2）满二叉树或完全二叉树具有最少的一度结点

（3）可能的最大满二叉树是几层？有多少叶结点？如何增补？

25<50<26

可能的最大满二叉树是6层

有25 = 32个叶结点

假设将其中x个变为2度结点后，总叶结点数目为50

则：2x + (32 – x) = 50

得：x = 18

此时总结点数目= ( 26– 1) + 18×2

[方法2]

假设完全二叉树的最大非叶结点编号为m，

则最大叶结点编号为2m+1,

(2m+1)-m=50

m=49

总结点数目=2m+1=99

[方法3]

由性质3：n0=n2+1

即：50=n2+1

所以：n2=49

令n1=0得：n= n0 + n2=99

7．给出满足下列条件的所有二叉树：

a)前序和中序相同

b)中序和后序相同

c)前序和后序相同

[提示]：去异存同。

a)D L R 与L D R 的相同点：D R，如果无L，则完全相同, 如果无

LR，…。

b)L D R与L R D 的相同点：L D，如果无R，则完全相同。

c)D L R与L R D 的相同点：D，如果无L R，则完全相同。

（如果去D，则为空树）

7．n个结点的K叉树，若用具有k个child域的等长链结点存储树的一个结点，则空的Child域有多少个？

[提示]：参考P.119

8．画出与下列已知序列对应的树Ｔ：

树的先根次序访问序列为GFKDAIEBCHJ；

树的后根次序访问序列为DIAEKFCJHBG。

[提示]：

（1）先画出对应的二叉树

（2）树的后根序列与对应二叉树的中序序列相同

9．假设用于通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

（1）请为这8个字母设计哈夫曼编码，

（2）求平均编码长度。

10．已知二叉树采用二叉链表存放,要求返回二叉树T的后序序列中的第一个结点的指针,是否可不用递归且不用栈来完成?请简述原因.

[提示]：无右子的“左下端”

11. 画出和下列树对应的二叉树：

12．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

13．编写递归算法：对于二叉树中每一个元素值为x的结点，删去以它为根的子树，并释放相应的空间。

[提示]：

[方法1]：（1）按先序查找；（2）超前查看子结点（3）按后序释放；void DelSubTree(BiTree *bt, DataType x)

{

if ( *bt != NULL && (*bt) ->data==x )

{ FreeTree(*bt);

*bt =NULL;

}

else DelTree( *bt, x)

void DelTree(BiTree bt, DataType x)

{ if ( bt )

{ if (bt->LChild && bt->LChild->data==x)

{ FreeTree(bt->LChild);

bt->LChild=NULL;

}

if (bt->RChild && bt->RChild->data==x)

{ FreeTree(bt->RChild);

bt->RChild=NULL;

}

DelTree(bt->LChild, x);

DelTree(bt->RChild, x);

}

}

[方法2]：（1）先序查找；（2）直接查看当前根结点（3）用指针参数；[方法3]：（1）先序查找；（2）直接查看当前根结点

（3）通过函数值，返回删除后结果；

（参示例程序）

14．分别写函数完成：在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。