大学高等数学下考试题库附答案

大学高等数学下考试题库

附答案

This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

《高等数学》试卷1（下）

一.选择题（3分?10）

1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.

.4 C 向量j i b k j i a

+=++-=2,2，则有（）.

A.a ∥b

B.a ⊥b 3,π=b a .4,π

=b a

3.函数1

122

2

22-++

--=y x y x y 的定义域是（）.

(){}21,22

≤+≤y x

y x .(){}

21,22<+

2

≤+

y x (){

}21,2

2

<+≤y x y x

4.两个向量a 与b

垂直的充要条件是（）.

0=?b a 0 =?b a 0 =-b a 0

=+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是（）.

2-1-设y x z sin =，则

??? ????4,1πy

z

＝（）.

2

222-22-若p 级数∑

∞

=11

n p

n

收敛，则（）. p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞

=1n n

n

x 的收敛域为（）.

[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数n

n x ∑∞

=???

??02在收敛域内的和函数是（）.

x -11x -22x -12x

-21

微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.

x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.

2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.

3.设133

2

3

+--=xy xy y x z ，则

=???y

x z

2_____________________________. 4.

x

+21

的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6）

1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求

.,y

z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y

z x z ???? 3.计算σd y x D

??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .

4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.

5.求微分方程x e y y 23=-'在00

==x y 条件下的特解.

四.应用题（10分?2）

1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省

2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲

线过点??

?

??31,1，求此曲线方程

.

试卷1参考答案

一.选择题CBCADACCBD 二.填空题

1.0622=+--z y x .

2.()()xdy ydx xy +cos .

3.19622--y y x .

4.()n n n n x ∑

∞

=+-01

21.

5.()x e x C C y 221-+=.

三.计算题 1.

()()[]y x y x y e x

z

xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2.

1

2,12+=??+-=??z y

y z z x x z . 3.??=?π

π

π

ρρρ?20

2sin d d 26π-.

4.

3

3

16R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题

1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.

2..3

12x y =

《高数》试卷2（下）

一.选择题（3分?10）

1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）.

12

1314

15设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面

的夹角为（）. 6π4π3π2

π

函数()22arcsin y x z +=的定义域为（）.

(){}10,22

≤+≤y x

y x .(){}

10,22<+

()??????≤+≤20,22πy x y x .()??????<+<20,2

2πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. .4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为（）. .1 C 1

-21设223y xy x z ++=，则()

=??2,1x

z （）.

.7 C 若几何级数∑∞

=0

n n ar 是收敛的，则（）.

1≤r 1≥r 1

=+01的收敛域为（）.

[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞

=1

4sin n n

na 是（）.

A.条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.

cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题（4分?5）

1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线??

?

??-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为

__________________________.

2.函数xy e z =的全微分为___________________________.

3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.

4.2

11x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11

==x y

条件下的特解为

______________________________. 三.计算题（5分?6）

1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a

? 2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求

.,y z x z ???? 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求

.,y

z x z ???? 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.

5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分?2）

1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.

2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提

示：g dt

x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dt dx =）

试卷2参考答案

一.选择题CBABACCDBA.

二.填空题

1.211212+=

-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞

=-021n n n

x .

5.3x y =. 三.计算题

1.k j i

238+-. 2.

()()()

y y x y y y y x y

z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=??. 3.

22,z xy xz

y z z xy yz x z +-=??+-=??. 4.

??

? ??-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221. 四.应用题 1.3

16. 2.0022

1

x t v gt x ++-=.

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式2-3的值为（）

45

A 、10

B 、20

C 、24

D 、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k

3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、5

4、函数z=xsiny 在点（1，4

π

）处的两个偏导数分别为（） A 、

,22,22B 、,2

2

22-C 、22-22-D 、22-

,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则y

z

x z ????,分别为（） A 、

z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z

y

z R x ,--D 、

z

y

z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）

A 、R 2A

B 、2R 2A

C 、3R 2A

D 、A R 221

7、级数∑∞

=-1

)1(n n

n

n x 的收敛半径为（）

A 、2

B 、

2

1

C 、1

D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）

A 、∑∞

=-0)1(n n

)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞

=-0

)1(n n

)!12(12--n x n

9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶

10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2，-1B 、2，1C 、-2，1D 、1，-2

二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1

3

21___________。 直线L 3：

之间的夹角为与平面06232

1221=-+=-+=-z y x z

y x ____________。 2、（）的近似值为________,sin100的近似值为___________。 3、二重积分??≤+D

y x D d 的值为1:,22σ___________。

4、幂级数的收敛半径为∑∞

=0

!n n

x n __________，∑∞

=0!n n

n x 的收敛半径为__________。

5、微分方程y`=xy 的一般解为___________，微分方程xy`+y=y 2的解为___________。

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

3、计算??===D

x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.

4、问级数∑∞

=-1

1

sin )1(n n ？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗

5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为k ）已知t=0时，铀的含量为M 0，求在衰变过程中铀含量M （t ）随时间t 变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D

2、C

3、C

4、A

5、B

6、D

7、C

8、A

9、B 10,A 二、填空题 1、21

8

arcsin

,182cos

ar 2、， 3、л4、0，+∞ 5、y

cx ce y x 11,2

2

-== 三、计算题 1、-32-8

解：△=2-53=（-3）×-53-2×23+（-8）2-5=-138

17-57-51-5

172-8

△x=3-53=17×-53-2×33+（-8）×3-5=-138

27-57-52-527

同理： -317-8

△y=233=276,△z=414

1 2-5

所以，方程组的解为3,2,1-=?

?=-=??==??=

z z y y x x 2、解：因为x=t,y=t 2,z=t 3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2， 所以x t |t=1=1,y t |t=1=2,z t |t=1=3 故切线方程为：

3

1

2111-=-=-z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=6

3、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以

D ： 1≤y ≤2

y ≤x ≤2

故：??

???=-==21

2

1

328

11)22(][dy y y dy xydx xyd y

D

σ

4、解：这是交错级数，因为

。，。n ，n ，n

n ，x ，x ，x n 。

，，n

Vn ，Vn ，n Vn n n n n 原级数条件收敛所以发散从而发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以∑∑∑∞=∞

=∞→∞===?+?=1

111sin 1111sin lim ~sin 01sin 01

sin lim ,101sin 5、解：因为)

,(!

1

!31!21132+∞-∞∈?

??++???+++

+=x x n x x x e n w 用2x 代x ，得：

6、解：特征方程为r 2+4r+4=0 所以，（r+2）2

=0

得重根r 1=r 2=-2，其对应的两个线性无关解为y 1=e -2x ,y 2=xe -2x 所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x 四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 则2（xy+yz+zx ）=a 2 构造辅助函数

F （x,y,z ）=xyz+)222(2a zx yz xy -++λ 求其对x,y,z 的偏导，并使之为0，得： yz+2λ(y+z)=0 xz+2λ(x+z)=0 xy+2λ(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z 均不等于零 可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a 2=0得x=y=z=

6

6a 所以，表面积为a 2

而体积最大的长方体的体积为36

63

a xyz V ==

2、解：据题意

《高数》试卷4（下）

一． 选择题：03103'=?'

１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．

（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程222=+y x 表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点是 ．

（Ａ）（０,０）（Ｂ）（０,１）（Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１） ４．二重积分的积分区域Ｄ是4122≤+≤y x ，则=??D

dxdy ．

（Ａ）π （Ｂ）π4 （Ｃ）π3 （Ｄ）π15 ５．交换积分次序后=??x

dy y x f dx 010),( ．

（Ａ）x d y x f dy y ??1

1

0),( （Ｂ）??1010),(dx y x f dy （Ｃ）??y

dx

y x f dy

10),( （Ｄ）

??1

),(dx

y x f dy x

６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ． （Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１

７．对于ｎ元线性方程组，当r A r A r ==)~

()(时,它有无穷多组解,则 ． （Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定 ８．下列级数收敛的是 ． （Ａ）∑

∞

=-+-11

1

)1(n n n n （Ｂ）∑∞

=12

3n n

n

（Ｃ）∑∞

=--1

1

)1(n n n （Ｄ）∑

∞

=1

1n n

９．正项级数∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 满足关系式n n v u ≤，则 ．

（Ａ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞=1

n n v 收敛 （Ｂ）若∑∞=1

n n v 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛

（Ｃ）若∑∞=1

n n v 发散，则∑∞=1

n n u 发散 （Ｄ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n v 发散

１０．已知：

+++=-2111x x x ，则

2

11

x +的幂级数展开式为 ． （Ａ） +++421x x （Ｂ） +-+-421x x （Ｃ） ----421x x （Ｄ）

-+-421x x

二． 填空题：0254'=?'

１． 数)2ln(12222y x y x z --+-+=的定义域为 ． ２．若xy y x f =),(，则=)1,(x

y

f ．

３．已知),(00y x 是),(y x f 的驻点，若a y x f y x f y x f xy yy xx

=''=''=''),(,12),(,3),(00000,0则 当 时，),(00y x 一定是极小点． ４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式=A 3

５．级数∑∞

=1n n u 收敛的必要条件是 ．

三． 计算题(一)：0356'=?' １． 已知：y x z =，求：

x

z

??，y z ??． ２． 计算二重积分σd x D

??-24，其中}20,40|),{(2≤≤-≤≤=x x y y x D ．

３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝????

?

?-10

2

121

，Ｂ＝?

???

? ??-100210321，求未知矩阵Ｘ． ４．求幂级数∑

∞

=--1

1

)1(n n

n n

x 的收敛区间．

５．求x e x f -=)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）． 四．计算题(二)：02201'=?'

１． 求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程． ２．

设方程组??

???=++=++=++111

z y x z y x z y x λλλ，试问：λ分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无

穷多组解．

参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

二．１．{}21|),(22<+≤y x y x ２．x

y

３．66<<-a ４．２７ ５．0lim =∞→n n u

四． 1．解：y x y

z

yx x z y y ln 1=??=??-

2．解：316

34)4(442

32

022

040

222

=??????-=-

=

-=

-

?????-x x dx

x dy x dx d x x D

σ

3．解：???? ??-=????

?

??--=--1542201,10021072111

AB B .

４．解：,1=R 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得∑

∞

=--1

1

)1(n n n 收敛，

当1-=x 时，得∑

∑∞

=∞

=--=-1

1121

)1(n n n n n 发散，所以收敛区间为]1,1(-. ５．解：.因为∑∞

==0!n n x

n x e ),(+∞-∞∈x ,所以n n n n n x x n n x e ∑∑∞=∞=--=-=00!

)1(!)(),(+∞-∞∈x . 四．1．解：.求直线的方向向量:k j i k

j i s

531

12121++=--=,求点:令z=0,得y=0,x=2,

即交点为(2,,所以交线的标准方程为:.5

312z

y x ==- 2．解：

????

? ??-+---→????? ??-----→????? ??→????? ??=λλλλλλλλλλλλλλλλλλ1)2)(1(00011011111100110111

111111111111111111~

2A (1)当2-=λ时,3)~

(,2)(==A A r ,无解;

(2)当2,1-≠≠λλ时,3)~

()(==A A r ,有唯一解:λ

+=

==21

z y x ; (3)当1=λ时,1)~

()(==A A r ,有无穷多组解:??

???==--=21

2

11c

z c y c c x (21,c c 为任意常数)

《高数》试卷5（下）

一、 选择题（3分/题）

1、已知j i a +=，k b -=，则=?b a （）

A0B -C +D +-

2、空间直角坐标系中122=+y x 表示（）

A 圆

B 圆面

C 圆柱面

D 球面

3、二元函数x

xy

sin z =在（0，0）点处的极限是（）

A1B0C ∞D 不存在

4、交换积分次序后dy )y ,x (f dx x

??1

1

=（）

A dx )y ,x (f dy ??1

1

B dx )y ,x (f dy x

??1

1

C dx )y ,x (f dy y

??1

1

D dx )y ,x (f dy y

??0

1

5、二重积分的积分区域D 是1≤+y x ，则??=D

dxdy （）

A2B1C0D4

6、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）

A0B1CnDn!

7、若有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列可运算的式子是（）

A AC

B CB

C ABC

D AC AB -

8、n 元线性方程组，当r )A ~

(r )A (r ==时有无穷多组解，则（）

Ar=nBrnD 无法确定

9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（）

A 必等于零

B 必不等于零

C 可以等于零，也可以不等于零

D 不会都不等于零 10、正项级数∑∞

=1n n u 和∑∞

=1

n n v 满足关系式n n v u ≤，则（）

A 若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛B 若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛

C 若∑∞=1

n n v 发散，则∑∞

=1

n n u 发散D 若∑∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n v 发散

二、 填空题（4分/题）

1、空间点p （-1，2，-3）到xoy 平面的距离为

2、函数286422++-+=y x y x )y ,x (f 在点处取得极小值，极小值为

3、A 为三阶方阵，3=A ，则=-A

4、三阶行列式0

0z

y z x y x

---= 5、级数∑∞

=1

n n u 收敛的必要条件是

三、 计算题（6分/题）

1、已知二元函数x y z 2=，求偏导数

x

z

??，y z ?? 2、求两平面：22=+-z y x 与42=-+z y x 交线的标准式方程。 3、计算二重积分dxdy y x D

??

2

2

，其中D 由直线2=x ，x y =和双曲线1=xy 所围成的区域。

4、求方阵???

?

????--=121011322A 的逆矩阵。

5、求幂级数∑∞

=-1

51n n

n

)x (的收敛半径和收敛区间。 四、 应用题（10分/题） 1、判断级数p n n n

)

(1

11

1-∞

=∑-的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。 2、试根据λ的取值，讨论方程组???

??=++=++=++1

11321

321321x x x x x x x x x λλλ是否有解，指出解的情况。

参考答案

一、选择题（3分/题） DCBDAACBCB

二、填空题（4分/题）

1、3

2、（3，-1）-11

3、-3

4、0

5、0=∞

→n n u lim

三、计算题（6分/题）

1、y ln y x

z

x 22=??，122-?=??x y x y z 2、

50

3012-=

-=-z y x 3、4

9

4、???

? ??-----=-4613513411

A

5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6） 四、应用题（10分/题）

1、当0

10≤

p 时绝对收敛

2、当1≠λ且2-≠λ时，3)()~

(==A r A r ，0≠A ，方程组有唯一解； 当2-=λ时，2)(3)~

(=≠=A r A r ，方程组无解； 当1=λ时，31)()~

(<==A r A r ，方程组有无穷多组解。