代数找规律专项练习60题(有答案)
代数找规律专项练习60题（有答案）
1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：
（1）18×891= _________ ×_________ ；（2）24×231= _________ ×_________ ．
2．观察下列算式：
①1×3﹣22=3﹣4=﹣1
②2×4﹣32=8﹣9=﹣1
③3×5﹣42=15﹣16=﹣1
④_________
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；_________
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；_________ ．
3．观察下列等式
9﹣1=8
16﹣4=12
25﹣9=16
36﹣16=20
…
这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n（n为正整数）的等式表示这个规律_________ ．
4．小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：
挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 …
对应所得分数（分） 2 6 12 20 30 …
①那么：挪动珠子7颗时，所得分数为_________ ；
②当对应所得分数为132分时，挪动的珠子数为_________ 颗．
5．观察下列一组分式：，则第n个分式为_________ ．
6．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是_________ ．
7．观察表格，当输入8时，输出_________ ．
输入 1 2 3 4 5 6 …
输出 3 4 5 6 7 8 …
8．观察下列各式，2=，3=，= _________ ，请你将发现的规律用含自然数n（n≥2）的式子表示为_________ ．
9．观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：
_________ ．
10．观察这组数据：，，，，…，按此规律写出这组数据的第n个数据，用n表示为_________ ．
11．一列小球按如下图规律排列，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是_________ 个．
12．观察下列各个算式：1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；根据上面的规律，请你用一个含n（n＞0的整数）的等式将上面的规律表示出来_________ ．
13．观察下列各式，你会发现什么规律1×3=12+2×1，2×4=22+2×23×5=32+2×3，4×6=42+2×4，…请你将猜到的规律用正整数n表示出来：_________ ．
14．观察下列式子：
（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
（x2+x+1）（x﹣1）=x3﹣1
（x3+x2+x+1）（x﹣1）=x4﹣1
（x4+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x5﹣1
…
请你根据以上式子的规律计算：1+2+22+23+…+262+263= _________ ．
15．观察下列各式：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；…
将你猜想到的规律用含有字母n（n为正整数）的式子表示出来：_________ ．
16．观察下列算式：
4×1×2+1=32
4×2×3+l=52
4×3×4+l=72
4×4×5+1=92
用代数式表示上述的规律是_________ ．
17．观察如图所示的三角形阵：则第50行的最后一个数是_________ ．
18．已知，依据上述规律，则a9=
_________ ．
19．下列各式是个位数为5的整数的平方运算：
152=225；252=625；352=1225；452=2025；552=3025；652=4225；…；
观察这些数都有规律，如果x2=9025，试利用该规律直接写出x为_________ ．
20．观察下列各式：22﹣1=1×3，32﹣1=2×4，42﹣1=3×5，52﹣1=4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_________ ．
21．观察上面的一系列等式：
32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…
则第n个等式为_________ ．
22．已知一列数，，…那么是第_________ 个数．
23．已知…，按照这种规律，若
（a、b为正整数）则a+b= _________ ．
24．观察下列各式：
2×2=2+2，，，，…
用含有字母n （其中n为正整数）的等式表示你发现的规律：_________ ．
25．观察下面数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16…
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17…
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19…
位于第2行和第2列的数为3，位于第3行和第1列的数为3，由此推知位于第n+2行和第n列的数是
_________ ．（请用含n的代数式表示，n为正整数）
26．观察下列一组数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…顺次写下去，写到第2011个数是_________ ．
27．大于或等于2的自然数的3次方有如下的分拆规律：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…根据上述的分拆规律，则53= _________ ．
28．观察下列各等式：．根据以上各等式成立的规律，若使等式成立，则m= _________ ，n= _________ ．
29．观察下列等式：
第1个等式：42﹣12=3×5；
第2个等式：52﹣22=3×7；
第3个等式：62﹣32=3×9；
第4个等式：72﹣42=3×11；
…
则第n（n是正整数）个等式为_________ ．
30．如图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第n个圆中的m= _________ （用含n的代数式表示）．
31．体育馆的某个区域的座位，第一排是20个座位，以后每增加一排，座位就增加2个．如果用字母a n表示每排的座位数，用n表示排数．请填写表格，并回答问题：
（1）填写下表：
排数n 1 2 3 4 5 …
座位数a n20 …
（2）第10排有多少个座位？
（3）第n排有多少个座位？
（4）其中某一排的座位是118个，那么它是第几排？
32．观察下列两组算式，回答问题：
第一组第二组
①0+1=12①0=
②1+3=22②1=
③3+6=32③3=
④6+10=42④6=
⑤_________
⑥_________
…
（1）根据第一组①→④式之间和本身所反映出的规律，继续完成第⑤⑥式（直接填在横线上）；（2）学习第二组对第一组各式第一个数的分析，寻找规律，将第一组的第n个式子表示出来．
33．研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52
…
（1）请你找出规律井计算7×9+1= _________ =（_________ ）2
（2）用含有n的式子表示上面的规律：_________ ．
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：= _________ ．34．树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）
（1）用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度a n；
（2）生长了11年的树的高度是多少？
35．将2007减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，再减去余下的，最后减去余下的，问此时余下的数是多少？
36．观察下列等式：32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…
（1）根据上面规律，若a2﹣b2=8×10，则a= _________ ，b= _________ ；
（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_________ ．
37．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：
（1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？
（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；
（3）十字框中五个数的和能等于2007吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．
38．计算并填写下表：
n 1 2 3 4 5 10 100 1000
1﹣
（1）请你描述一下所填的这一列数的变化规律；
（2）当n 非常大时，的值接近什么数？
39．观察下列各式：
﹣1×=﹣1+
﹣×=﹣+
﹣×=﹣+
…
（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）
（2）试运用你发现的规律计算：
（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）
40．（1）有自然数列：0，1，2，3，4，5，6，…
①按顺序从第2个数数到第6个数，共数了_________ 个数；
②按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m），共数了_________ 个数；
（2）对于奇数数列：1，3，5，7，9，…
按顺序从数3数到数19，共数了_________ 个数；
（3）对于整百数列：100，200，300，400，500，…
按顺序从数500数到数2000，共数了_________ 个数．
41．仔细观察下列四个等式
1×2×3×4+1=25=52
2×3×4×5+1=121=112
3×4×5×6+1=361=192
4×5×6×7+1=841=292
（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．
（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程
（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．
42．观察下列等式，并回答有关问题：
；
；
；
…
（1）若n为正整数，猜想13+23+33+…+n3= _________ ；
（2）利用上题的结论比较13+23+33+…+1003与50002的大小．
43．观察下面三行数：
①2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；
②0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…；
③1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．
44．下列各组算式，观察它们的共同特点：
7×9=63 11×13=143 79×81=6399
8×8=64 12×12=144 80×80=6400
从以上的计算过程中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性．
45．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
…
由上面的规律：
（1）求25+24+23+22+2+1的值；
（2）求22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字．
（3）你能用其它方法求出+++…++的值吗？
46．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，…观察上述式子的规律：
（1）把写成两个单位分数之和；
（2）把表示成两个单位分数之和（n为大于1的整数）．
47．观察下列各式，并回答问题
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
（1）请你写出第10个式子；
（2）请你用含 n 的式子表示上述式子所表述的规律；
（3）计算1+3+5+7+9…+1003+1005+…+2009+2011；
（4）计算：1005+1007+…+2009+2011．
48．观察下列等式12×231=132×21
13×341=143×31
23×352=253×32
34×473=374×43
62×286=682×26
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反应的规律填空，使式子称为“数字对称等式”．
①52×_________ = _________ ×25
②_________ ×396=693×_________
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9则等式右边的两位数可表示为
_________ ，等式右边的三位数可表示为_________ ；
（3）在（2）的条件下，若a﹣b=5，等式左右两边的两个三位数的差；
（4）等式左边的两位数与三位数的积能否为2012？若能，请求出左边的两位数；若不能，请说明理由．
49．从2开始，将连续的偶数相加，和的情况有如下规律：
2=1×2，
2+4=6=2×3，
2+4+6=12=3×4，
2+4+6+8=20=4×5，
2+4+6+8+10=30=5×6，
2+4+6+8+10+12=42=6×7，
…
按此规律，（1）从2开始连续2011个偶数相加，其和是多少？
（2）从2开始连续n个偶数相加，和是多少？
（3）1000+1002+1004+1006+…+2012的和是多少？
50．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数n的个数和S
1 2=1×2
2 2+4=6=2×3
3 2+4+6=12=3×4
4 2+4+6+8=20=4×5
5 2+4+6+8+10=30=5×6
……
当n个最小的连续偶数（从2开始）相加时，它们的和与n之间有什么样的关系，请用公式表示出来，并由此计算：
①2+4+6+…+202的值；
②126+128+130+…+300的值．
51．探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= _________ ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）= _________ ；
（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．
52．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3…+100=？，经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3…+n=，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
2×3=（2×3×4﹣1×2×3）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20
读完这段材料，请尝试求（要求写出规律）：
（1）1×2+2×3+3×4+4×5=？
（2）1×2+2×3+…+100×101=？
（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=？
53．按一定规律排列的一列数依次为，，，…
（1）请写出这列数中的第6个数；
（2）如果这列数中的第n个数为a n，请用含有n的式子表示a n；
（3）分数是否为这列数当中的一个数，如果是，请指出它是第几个数，如果不是，请找出这列数中与它最接近的那个数．
54．观察下列等式，你会发现什么规律：
1×3+1=22
2×4+1=32
3×5+1=42
4×6+1=52
…
请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来，并说明它的正确性．
55．观察下面的一列数：
…
（1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征；
（2）利用（1）题中的规律计算：．
56．观察下面一列数，探求其规律：
（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？
（2）第2004个数是什么如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
57．有一列数，第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，从第三个数开始依次为x3，x4，…x n，从第二个数开始，每个数是左右相邻两个数和的一半，如：．
（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；
（2）根据（1）的结果，推测x9= _________ ；
（3）探索这些户一列数的规律，猜想第k个数x k= _________ ．
58．观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2，
2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2，
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，
4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，
…
（1）根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果；
（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方？并说明理由．
59．（1）若2x﹣3y=8，6x+4y=19，求16x+2y的值；
（2）观察下列各式：
×2=（+1）×2=+2，
×3=（+1）×3=+3，
×4=（+1）×4=+4，
×5=（+1）×5=+5，
…
①想一想，什么样的两数之积等于两数之和；
②设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律．
60．（1）观察：1=12，1+3=22，1+3+5=32…
可得1+3+5+…+（2n﹣1）= _________ ．
如果1+3+5+…+x=361，则奇数x的值为_________ ．
（2）观察式子：；；…
按此规律计算1+3+5+7+…+2009= _________ ．
代数找规律专项练习60题参考答案
1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：（1）18×891= 198 ×81 ；（2）24×231= 132 ×42 ．
2．（1）①1×3﹣22=3﹣4=﹣1，
②2×4﹣32=8﹣9=﹣1，
③3×5﹣42=15﹣16=﹣1，
④4×6﹣52=24﹣25=﹣1；
故答案为：4×6﹣52=24﹣25=﹣1；
（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
故答案为：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．
3．∵上述各等式可整理为：32﹣12=2×4；
42﹣22=3×4；
52﹣32=4×4；
62﹣42=5×4；
从而可得到规律为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）
4．∵n=2时，y=2，即y=1×2；
n=3时，y=6，即y=2×3；
n=4时，y=12，即y=3×4；
n=5时，y=20，即y=4×5；
n=6时，y=30，即y=5×6；
n=7时，y=6×7=42，
…
n=n时，y=（n﹣1）n．
∴当y=132时，132=（n﹣1）n，
解得n=12或﹣11（负值舍去）．
故答案分别为：42，12．
5. 观察题中的一系列分式，
可以发现奇数项分式的前面有负号，可得每项分式的前面有（﹣1）n，
从各项分式的分母可以发现分母为na，
从各项分式的分子可以发现分子为b n，
综上所述，可知第n个分式为：
6．5小时后是25+1=33个．
故答案为：33
7．由表格中上行输入的数据1 2 3 4 …n
下行输出相对应的数据分别为3 4 5 6 …n+2
∴当输入8时，输出8+2=10．
8．由题意可知自然数n（n≥2）的式子表示为，
则=
9．第七个等式是152+1122=1132
10．由题可知：
分子的规律是12，22，32， (2)
分母的规律是：n（n+3），
∴第n个数据为
11．由题可找规律：1个白球分别和1个、2个、3个…黑球组成1组，所以20个白球即是第20项，20=1+（n﹣1）×1，即n=20，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是19个
12．规律为n（n+2）+1=（n+1）2．
13．∵1×3=12+2×1，
2×4=22+2×2，3×5=32+2×3，
4×6=42+2×4，
∴n（n+2）=n2+2n
14．由下列式子：
（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
（x2+x+1）（x﹣1）=x3﹣1
（x3+x2+x+1）（x﹣1）=x4﹣1
（x4+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x5﹣1
…规律为：（x n+…+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x n+1﹣1，故x n+…+x3+x2+x+1=；
所以1+2+22+23+…+262+263=．即得答案
15．因为各式：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31都为9乘以一个变化的数加上一个变化的数等于第一个变化的数乘以10，再加1，
故此当为n时有：9?（n﹣1）+n=（n﹣1）?10+1；
答案为：9?（n﹣1）+n=（n﹣1）?10+1
16．∵4×1×2+1=（2×1+1）=32，
4×2×3+l=（2×2+1）=52，
4×3×4+l=（2×3+1）=72，
4×4×5+1=（2×4+1）=92，
∴规律是：4a（a+1）+1=（2a+1）2．
故答案为：4a（a+1）+1=（2a+1）2．
17．第n行的最后一个数是1+2+3+…+n=，
当n=50时，原式=1275．
故答案为：1275．
18．由已知通过观察得：
a1=+=，即a1=+=；
a2=+=，即a2=+=；
a3=+=，即a3=+=；
…，
∴a n=+=，
所以a9=+=，
即a9=+=，
故答案为：a9=+=．
19．根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n×（n+1），
n×（n+1）=90，
得n=9，
所以x=95，
故答案为：95
20．∵22﹣1=1×3，32﹣1=2×4，42﹣1=3×5，52﹣1=4×6，…，
∴规律为（n+1）2﹣1=n（n+2）．
故答案为：（n+1）2﹣1=n（n+2）
21．∵32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…
∴第n个等式为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．
故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n
22．∵分母为1的数有1个：；
分母为2的数有2个：，；
分母为3的数有3个：，，；
…
∴前面数的个数为1+2+3+…+9=45，
∴是第45+7=52个数．
故答案为52
23．由已知等式的规律可知，a=8，b=82﹣1=63，
∴a+b=71．
故答案为：71
24．∵2×2=2+2，
，
，
，
…
∴第n个式子为?（n+1）=+（n+1）．
故答案为+（n+1）．
25．第n+2行的第一个数是n+2，后边的数一次大1，则第n列的数是 2n+1．
故答案是：2n+1
26．第1个数：1=（﹣2）0，
第2个数：﹣2=（﹣2）1，
第3个数：4=（﹣2）2，
第4个数：﹣8=（﹣2）3，
第5个数：16=（﹣2）4，
…
第n个数：﹣2=（﹣2）n﹣1，
第2011个数是（﹣2）2010．
故答案为：（﹣2）2010
27．由已知23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…观察可知，
（1）几的三次方就有几个奇数组成，
（2）依次得到的第一个奇数是前一个关系式的最后一个奇数后的奇数，
因此53=21+23+25+27+29．
故答案为：21+23+25+27+29
28．+=2，+=2，+=2，+=2，
…
∵1+7=8，2+6=8，3+5=8，10+（﹣2）=8，
∴19+n=8，
解得n=﹣11，
∴m=n=﹣11．
故答案为：﹣11，﹣11
29．等式左边是平方差公式，即（n+3）2﹣n2=3（2n+3），
故答案为（n+3）2﹣n2=3（2n+3）．
30．∵3=2×1+1，14=（1+3）2﹣2，
5=2×2+1，47=（2+5）2﹣2，
7=3×2+1，98=（3+7）2﹣2，
∴n右边的数是2n+1，
m=（n+2n+1）2﹣2=（3n+1）2﹣2．
故答案为：（3n+1）2﹣2
31．（1）如图所示：
排数n 1 2 3 4 5 …座位数a n20 22 24 26 28 …（2）第10排的座位数为：20+2×9=38；
（3）第n排的座位数为20+2×（n﹣1）=18+2n；
（4）由题意18+2n=118，
解得n=50．
答：是50排
32．（1）⑤10+15=52，
⑥15+21=62；
（2）第n个式子为：+=n2．
故答案为：10+15=52；15+21=62
33．（1）7×9+1=64=82；
（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1=n2+2n+1=（n+1）2．（3）原式==．
故答案为：64，8；n（n+2）+1=（n+1）2；
34．（1）a n=100+5n；
（2）a n=100+5n=100+5×11=155厘米．
35．依题意得
第一次余下的数是原数2007的，即×2007；
第二次余下的数是第一次余下的数的，即××2007；
第三次余下的数是第二次余下的数的，即×××2007；
最后余下的数是第2005次余下的数的，
即××××××2007=1．
36．（1）根据分析可知：a2﹣b2=8×10=（2×10+1）2﹣（2×10﹣1）2，∴a=21，b=19；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．
故答案为：（1）a=21，b=19
37．（1）十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍；
（2）有这种规律．
设框正中心的数为x，则其余的4个数分别为：x+2，x﹣2，x+12，x﹣12，
所以十字框中五个数的和是x+x+2+x﹣2+x+12+x﹣12=5x，
即十字框中五个数的和是框正中心的数的五倍．
（3）不能．
∵5x=2010，
∴x=402．
∵402不是奇数，故不存在
38．填表：0，，，，，，，；
（1）这一列数随着n值的变大，代数式的值越来越小；
（2）当n变得非常大时，的值接近于﹣1
39．（1）﹣×=﹣+；
（2）（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）=﹣1+﹣+﹣++﹣+﹣+=﹣1+=﹣．
40．（1）①6﹣2+1=5个，
②（n﹣m+1）个；
（2）（19﹣3）÷2+1=9个；
（3）（2000﹣500）÷100+1=16个．
41．（1）都是完全平方数…（3分）；
（2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）；
仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：
1×2×3×4+1=（1×4+1）2
2×3×4×5+1=（2×5+1）2
3×4×5×6+1=（3×6+1）2
4×5×6×7+1=（4×7+1）2
5×6×7×8+1=（5×8+1）2
…
因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2．
即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2…（8分）
（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．
（112+3×11+1）2=（121+33+1）2=1552=24025．
∴11×12×13×14+1=（112+3×11+1）2．
猜想正确
42．（1）根据所给的数据可得：
13+23+33+…+n3=．
故答案为：．
（2）13+23+33+ (1003)
=
=50502＞50002，
则13+23+33+…+1003＞50002
43．（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；
∴第①行数是：﹣（﹣2）1，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2）3，﹣（﹣2）4，
（2）第②行数比第①行数相应的数少2．即：﹣（﹣2）1﹣2，﹣（﹣2）2﹣2，﹣（﹣2）3﹣2，﹣（﹣2）4﹣2，…[答案形式不唯一]，
第③行数的是第①行数数的．即：﹣（﹣2）1×0.5，﹣（﹣2）2×0.5，﹣（﹣2）3×0.5，﹣（﹣2）4×
0.5，…[答案形式不唯一]；
（3）第①行第8个数是：﹣（﹣2）8，
第②行第8个数是：﹣（﹣2）8﹣2，
第③行第8个数是：﹣（﹣2）8×0.5．
所以这三个数的和是：
﹣（﹣2）8+[﹣（﹣2）8﹣2]+[﹣（﹣2）8×0.5]
=﹣256﹣258﹣128
=﹣642
44．∵7×9=63 11×13=143 79×81=6399
8×8=64 12×12=144 80×80=6400
∴可得：（n﹣1）（n+1）=n2﹣1；
∵利用平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
当a=n，b=1时，有（n﹣1）（n+1）=n2﹣1成立，故此规律正确
45．（1）由题可知：
原式=（2﹣1）（25+24+23+22+2+1）=26﹣1=64﹣1=63；
（2）原式=（2﹣1）（22011+22010+22009+22008+…+2+1…）=22012﹣1，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，
∴2n（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性．
∴2012÷4=503×4，
∴22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字是6﹣1=5；
（3）设S=+++…++，
则2S=1++++…+，
所以，S=1﹣．
46．（1）根据已知，，…，
∴=+；
（2）根据（1）中结果得出：=+
47．（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121=112；
（2）1+3+5+7+9+…+2n+1=（n+1）2；
（3）1+3+5+7+9…+1003+1005+…+2009+2011=10062；
（4）原式=10062﹣5022=760032
48．（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36；
（2）右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；
（3）[100b+10（a+b）+a]﹣[100a+10（a+b）+b]=99（b﹣a）．
∵a﹣b=5，
∴99（b﹣a）=﹣495，即等式左右两边的三位数的差为﹣495；
（4）不能，理由如下：
∵等式左边的两位数与三位数的积=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]
=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）
=11（10a+b）（10b+a），
而2012不是11的倍数，
∴等式左边的两位数与三位数的积不能为2012
49．（1）2=1×2，
2+4=6=2×3=2×，
2+4+6=12=3×4=3×，
2+4+6+8=20=4×5=4×，
2+4+6+8+10=30=5×6=5×，
2+4+6+8+10+12=42=6×7=6×，
…，
∵从2开始的连续的第2011个偶数为2×2011=4022，
∴从2开始连续2011个偶数相加=2011×=4 046 132；
（2）2+4+6+8+…+2n==n（n+1）；
（3）∵1000÷2=500，2012÷2=1006，
∴1000+1002+1004+1006+…+2012=1006×（1006+1）﹣499×（499+1）=1 013 042﹣249 500=763 542 50．观察表格，得当n个最小的连续偶数（从2开始）相加时，和=2+4+6+…+2n=n（n+1）．
①2+4+6+…+202=101×102=10302；
②126+128+…+300=150×151﹣62×63=18744
51．（1）1+3+5+7+9+…+19=102=100；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=n2；
（3）103+105+107+…+2003+2005
=（1+3+5+7+9+...+2005）﹣（1+3+5+7+9+ (101)
=10032﹣512
=1003408
52．（1）原式=×4×5×6=40，
（2）原式=×100×101×102=343400；
（3）原式=n（n+1）（n+2）
53．（1）观察数列可得其分母为2不变，第一个数分子为3，且以后每个数的分子比前一个数的分子大4，故可得第6个数的分子为3+4×5=23；故第6个数为．
（2）由（1）可得a n=，
（3）∵71=4×18﹣1，
∴=，
∴为数列当中第18个数
54．n（n+2）+1=（n+1）2．
证明如下：
左边=n2+2n+1=（n+1）2=右边，
∴等式成立．
55．1）；
（2）
=+（﹣）+（）+（﹣）+…+（﹣）（互相抵消）
=1﹣
=
56．（1）∵第n个数是（﹣1）n，
∴第7个，第8个，第9个数分别是﹣，，﹣．
（2），最后与0越来越接近．
57．根据上面的分析（1）x3=2x2﹣x1=2×3﹣1=5；x4=2x3﹣x2=2×5﹣3=7；x5=2x4﹣x3=2×7﹣5=9；
（2）解：x9=17；
（3）解：2x k﹣1﹣x k﹣2．
58．（1）观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2，2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2，
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3×n+1）2（n≥1），
8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；
（2）根据（1）得出的结论得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2
59．（1）16x+2y=4x﹣6y+12x+8y=2（2x﹣3y）+2（6x+4y）=2×8+2×19=54．
（2）①所有分子比分母大1的分数与分子的积等于这两数之和；
②表达式为（）（n+1）=+（n+1）
60．（1）1+3+5+…+（2n﹣1）表示n个式子相加，因而1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；
361=192，则x=2×19﹣1=37；
（2）1+3+5+7+…+2009
=
=1010025．
故答案是：n2，37；1010025