2009年考研数学一真题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）
()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 1
1,6
a b =-=.
（2）如图，正方形
(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为
四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k
k D I y xdxdy =??，
则{}14
max k k I ≤≤=（ ）
()A 1I .
()B 2I . ()C 3I .
()D
I （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为（ ）
()A .
()B .
x
()C .
()D .
（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞
=，则（ ）
()A 当1
n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞
=∑收敛.
()B 当1n n b ∞=∑发散时，1
n n n a b ∞
=∑发散.
()C 当
1
n
n b
∞
=∑收敛时，
221
n n
n a b
∞
=∑收敛.
()D 当1
n
n b ∞
=∑发散时，
221
n n
n a b
∞
=∑发散.
（5）设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基，则由基12311
,
,23
ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）
()A 101220033??
?
? ???
. ()B 120023103??
?
? ???
.
()C 1
112461112461112
4
6??- ? ? ?
- ? ? ?- ???
.
()D 1112221114
441116
6
6??-
? ? ?- ? ? ?- ???
. （6）设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块
矩阵O A B O ??
???
的伴随矩阵为（ ）
()A **32O B A O ?? ???.
()B **
23O
B A O ??
???. ()C **32O A B
O ?? ???.
()D **
23O A B
O ??
???
.
（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ
???
，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）
()A 0.
()B 0.3. ()C 0.7.
()D 1.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）
()A 0.
()B 1. ()C 2.
()D 3.
二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）
（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则
2z
x y
?=?? 。 （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+，则非
齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = 。
（11）已知曲线(2
:0L y x x =≤≤，则L
xds =? 。
（12）设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=
++≤，则2z dxdydz Ω
=??? 。
（13）若3维列向量,αβ满足2T
αβ=，其中T
α为α的转置，则矩阵T
βα的非零特征值
为 。
(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本
均值和样本方差。若2X kS +为2
np 的无偏估计量，则k = 。
三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分9分）求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。
（16）（本题满分9分）设n a 为曲线n
y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记
12211
1
,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑，求1S 与2S 的值。
（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22
143
x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点
()4,0且与椭圆22
143
x y +=
相切的直线绕x 轴旋转而成。
（Ⅰ）求1S 及2S 的方程
（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积。 （18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在
(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且
()0lim x f x A +
→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=。
（19）（本题满分10分）计算曲面积分()
3
2
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=
∑
++??
ò，其中
∑
是曲面
222224x y z ++=的外侧。
（20）（本题满分11分）
设11111
1042A --?? ?=- ? ?--?? 1112ξ-?? ?
= ? ?-??
（Ⅰ）求满足21A ξξ=的2ξ. 2
31A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.
（Ⅱ）对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关。 （21）（本题满分11分）
设二次型()()2
2
2
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
12y y +，求a 的值。
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，
以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求{}
10p X Z ==；
（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布。
（23）（本题满分11 分）
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-?>=??其他
，其中参数(0)λλ>未知，1X ，
2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本
(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量
2009年考研数学一真题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）
()A 11,6a b ==-
. ()B 1
1,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 1
1,6
a b =-=.
【答案】 A
【解析】2
()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则
222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx
→→→→→---==-?---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax
a
→==-=-? 36a b ∴=- 故排除,B C 。 另外2
01cos lim
3x a ax
bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D 。
所以本题选A 。 （2）如图，正方形
(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为
四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k
k D I y xdxdy =??，
则{}14
max k k I ≤≤=（ ）
()A 1I .
()B 2I . ()C 3I .
()D
I 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的
奇函数，所以240I I ==;
13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是
关于x 的偶函数，所以{}1(,),012
cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>??
； {}
3(,),012
cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=
.所以正确答案为A.
x
（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为（ ）
()A .
()B .
()C .
()D .
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：
①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。 ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。
③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。
④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D 。
（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞
=，则（ ）
()A 当1
n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞
=∑收敛.
()B 当1n n b ∞=∑发散时，1
n n n a b ∞
=∑发散.
()C 当1
n
n b
∞
=∑收敛时，
221
n n
n a b
∞
=∑收敛.
()D 当1
n
n b ∞
=∑发散时，
221
n n
n a b
∞
=∑发散.
【解析】 方法一：
举反例 A
取(1)
n
n n a b ==- B 取1n n a b n ==
D 取1
n n a b n
==
故答案为（C ） 方法二：
因为lim 0,n n a →∞
=则由定义可知1,N ?使得1n N >时，有1n a <
又因为
1
n
n b
∞
=∑收敛，可得lim 0,n n b →∞
=则由定义可知2,N ?使得2n N >时，有1n b <
从而，当12n N N >+时，有22n n
n a b b <，则由正项级数的比较判别法可知221
n n
n a b
∞
=∑收敛。
（5）设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基，则由基12311
,
,23
ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ）
()A 101220033??
?
? ???
. ()B 120023103??
?
? ???
.
()C 1112461112461112
4
6??- ? ? ?
- ? ? ?- ???
.
()D 1112221114441116
6
6??-
? ? ?- ? ? ?- ???
. 【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=L L ，则A 称为基12,,,n αααL 到12,,,n
ηηηL 的过渡矩阵。 则由基12311
,
,23
ααα到122331,,αααααα+++的过渡矩阵M 满足 ()1223311
2311,,,,2
3
M ααααααααα??
+++= ??
?
12310111,,22023033ααα??
?? ?
= ? ??? ?
??
所以此题选()A 。
（6）设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块
矩阵O A B O ??
???
的伴随矩阵为（ ） ()A **32O B A O ?? ???.
()B **
23O
B A O ??
???. ()C **32O A B
O ??
???.
()D **
23O A B
O ??
???
. 【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
== 分块矩阵00A B ??
?
??的行列式22
012360
A A
B B ?=-=?=（），即分块矩阵可逆
1
1
1100
66000100B B
A A A
B B B
B
A
A A
**
---*?
? ??????? ?=== ? ? ? ???????
?
??
10023
613002
B B A
A ***
*?? ?
??
== ? ? ???
???
故答案为（B ）
（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ
???
，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ）
()A 0.
()B 0.3. ()C 0.7.
()D 1.
【答案】()C
【解析】因为()()10.30.72x F x x -??
=Φ+Φ
???
， 所以()()0.710.322x F x x -??
'''=Φ+
Φ ???
， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞
+∞
-∞
-∞
?-?
??'''=
=Φ+Φ ??????
??
?
()10.30.352x x x dx x dx +∞
+∞
-∞
-∞
-??
''=Φ+Φ ???
?
?
而
()0x x dx +∞
-∞
'Φ=?
，()()11221222x x x dx u u u du +∞
+∞-∞
-∞--?
?''Φ=+Φ= ???
?
? 所以00.3520.7EX =+?=。
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()
Z F z 的间断点个数为（ ）
()A 0.
()B 1. ()C 2.
()D 3.
【答案】 B 【解析】
()()(0)(0)(1)(1)1
[(0)(1)]21
[(00)(1)]2
Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==?≤=+≤=
,X Y Q 独立
1
()[(0)()]2
Z F z P X z P X z ∴=?≤+≤
（1）若0z <，则1
()()2Z F z z =Φ
（2）当0z ≥，则1
()(1())2
Z F z z =+Φ
0z ∴=为间断点，故选（B ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则
2z
x y
?=?? 。 【答案】"'"
12222xf f xyf ++ 【解析】"'"
12222xf f xyf ++
''12z
f f y x
?=+??， 2"'""'"
1222212222z xf f yx f xf f xyf x y
?=++?=++??
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+，则非
齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = 。
【答案】2x
y xe x =-++
【解析】由12()x
y c c x e =+，得121λλ==，故2,1a b =-=
微分方程为''2'y y y x -+=
设特解*
y Ax B =+代入，',1y A A ==
220,2
A Ax
B x
B B -++=-+==
∴ 特解 *
2y x =+
∴ 12()2x
y c c x e x =+++
把 (0)2y = ， '(0)0y =代入，得120,1c c ==- ∴ 所求2x
y xe x =-++
（11
）已知曲线(2:0L y x x =≤≤，则L
xds =? 。
【答案】
136
【解析】由题意可知，2
,,0x x y x x ==≤≤
，则
ds =
=
，
所以
()2
1148
L
xds x ==
+?
11386
==
（12）设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω
=??? 。
【答案】
415
π 【解析】 方法一：
21
2
2220
sin cos z dxdydz d d d π
πθ?ρ?ρ?ρ=????
??
()21
240
cos cos d d d ππθ??ρρ=-???
30
cos 1423
515
d π
?
π?π=?-
?=?
方法二：由轮换对称性可知
2
z dxdydz Ω
=???2
x dxdydz Ω
=???2
y dxdydz Ω
???
所以，
()2122224
00011sin 33z dxdydz x y z dxdydz d d r dr ππ?θ?Ω
Ω
=++=????????? 1
40
02214sin sin 3
3515
d r dr d π
ππ
ππ
????=
??=
?
??
（13）若3维列向量,αβ满足2T
αβ=，其中T
α为α的转置，则矩阵T
βα的非零特征值
为 。 【答案】2
【解析】2T
αβ=Q
()2T T βαββαββ∴==?, T βα∴的非零特征值为2.
(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均
值和样本方差。若2X kS +为2
np 的无偏估计量，则k = 。 【答案】1-
【解析】2X kS -
+Q 为2
np 的无偏估计 2
2
()E X kX np -
∴+=
2(1)1(1)(1)11
np knp p np k p p
k p p k ∴+-=∴+-=∴-=-∴=-
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。 【解析】
2(,)2(2)0x f x y x y '=+= 2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=
故1
0,x y e
= =
221
2(2),2,4xx
yy xy
f y f x f xy y
''''''=+ =+ =
则
12(0,)1(0,)1(0,)1
2(2)0xx
e
xy e yy
e
f e
f f e
''=+''=''=
0xx
f ''>Q 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e
=-
（16）（本题满分9分）设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记
12211
1,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑，求1S 与2S 的值。
【解析】由题意，n
y x =与n+1
y=x 在点0x =和1x =处相交，
所以1
121
11111
a ()()0012
12n
n n n n x
x
dx x x n n n n +++=
-=-=-
++++?， 从而111
1111111
S lim lim(-)lim()23122+22N
n n
N N N n n a a N N N ∞
→∞→∞→∞===
==-++=-=++∑∑L 2211
1
11111111111
=)22+1232N 2N+123456
n n n S a n n ∞
∞
-====--++-=-+-+∑∑L （
）（ 由2(1)1(1)2n n x x n
-++-+L L ln(1+x)=x- 取1x =得 22111
ln(2)1()11ln 2234
S S =--+=-?=-L
（17）（本题满分11分）椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。
（Ⅰ）求1S 及2S 的方程
（Ⅱ）求1S 与2S 之间的立体体积。
【解析】（I ）1S 的方程为222
143x y z ++=， 过点()4,0与22143x y +=的切线为122y x ??
=±- ???
， 所以2S 的方程为2
2
2
122y z x ??
+=- ???
。
（II ）记11
22y x =-，由
22143x y +=
，记2y = 则4
2
4
22
2221
2
00001324344V y dx y dx x x dx x dx ππππ??
??=-=-+-- ? ????
?????
42
32300114431243x x x x x πππ???
?=-+--=???????
?
（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，则存在
(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0
lim x f x A +
→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=。
【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()
()()()()f b f a x f x f a x a b a
?-=--
--，易验证()x ?满足：
()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且
''()()
()()f b f a x f x b a
?-=-
-。
根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'
()0?ξ=，即
'()f ξ'()()
0,()()()()f b f a f b f a f b a b a
ξ--
=∴-=--
（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；
在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在
()()0
00,0,x x ξδ∈?，使得()0
'00()(0)
x f x f f x ξ-=
-……()*
又由于()'
lim x f x A +
→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：
()()
000000'''0
000()00lim lim ()lim ()0
x x x x x f x f f f f A x ξξξ+
+++→→→-====- 故'
(0)f +存在，且'(0)f A +=。
（19）（本题满分10分）计算曲面积分()
3
2
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=
∑
++??
ò，其中
∑
是曲面
222224x y z ++=的外侧。
【解析】2223/2()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑
++=
++??ò，其中222
224x y z ++= 222
2223/22225/2
2(),()()x y z x x x y z x y z ?+-=?++++Q ① 2222223/22225/22(),()()y x z y y x y z x y z ?+-=?++++② 222
2223/22225/22(),()()z x y z z x y z x y z ?+-=?++++③ ∴①+②+③=
2223/22223/22223/2()()()0()()()
x y z
x x y z y x y z z x y z ???++=?++?++?++ 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）
222211
:.016
x y z R R ∑++=<<
有 1
1
3
2223/233313434()3xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy R dV x y z R R R ππ∑
∑∑Ω++++====?=++????
?????乙?
（20）（本题满分11分）
设11111
1042A --?? ?=- ? ?--?? 1112ξ-??
?
= ? ?-??
①求满足21A ξξ=的2ξ. 2
31A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.
②对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关。
【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=
()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------??????
? ? ?
=-→→ ? ? ? ? ? ?---??????
()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =
故21101021k ξ???? ? ?
=-+ ? ? ? ?????
，其中1k 为任意常数
解方程2
31A ξξ=
2220220440A ?? ?=-- ? ???
()2
11110
22012,2201000044020000A ξ-?
? ?
-?? ? ?=--→
? ? ? ??? ?
??
故有两个自由变量，令21x =-，由2
0A x =得131,0x x ==
求特解21200η?? ? ?= ? ?
?
?? 故 321121000k ξ?? ??? ? ?=-+ ? ?
? ??? ???
，其中2k 为任意常数
（Ⅱ）证明：
由于121212*********
2
11
1
2(21)()2()(21)22
221
k k k k k k k k k k k k k -+
--=+++-+-+-+
1
02
=
≠ 故123,,ξξξ 线性无关.
（21）（本题满分11分）设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22
12y y +，求a 的值。
【解析】（Ⅰ） 0
101111a A a a ?? ?
=- ? ?--??
0110||01
()
1
111
1
1
1
a
a
a
E A a
a a a λλλλλλλλ-----=
-=---+---+
222()[()(1)1][0()]
()[()(1)2]()[22]
19
(){[(12)]}
24
()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--
123,2,1a a a λλλ∴==-=+
（Ⅱ） 若规范形为22
12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。则
1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合
3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =
（22）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以
,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（Ⅰ）求{}
10p X Z ==；
（Ⅱ）求二维随机变量(),X Y 概率分布。
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
12113324
(10)9
C P X Z C C ?∴====?
（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故
()()()()()()()()()1111332311116666111
2231111
6666112211661122116611
0,0,1,046111
2,0,0,13631
1,1,2,10
91
0,29
1,20,2,20
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========
????========???=======??====
?======
（23）（本题满分11 分）
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-?>=??其他
，其中参数(0)λλ>未知，1X ，2X ,…
n X 是来自总体X 的简单随机样本
(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量
【解析】 （1）由EX X -
而2202
2?x EX x e dx X X
λλλ
λ+∞
-==
=?=?为总体的矩估计量 （2）构造似然函数
()()1
211
1
L ,.....,;;n
i
i n
n
x n
n i i i i x x f x x e
λ
λλλ=-==∑==??∏∏
取对数1
1
ln 2ln ln n n
i i i i L n x x λλ===+-∑∑
令1
1
1ln 222
001n i n n
i i i i i d L n n x d x x n λλλ====?-=?==∑∑∑ 故其最大似然估计量为2X
λ''=