二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一：面积问题

【例 1】如图 2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S△PAB 9

S△CAB，

＝8若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

y

C

B

D

1

O1A x

图 2

【变式练习】

1.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为(－2，0)，连结 OA，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转

120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

y

B

A O x

2. 如图，抛物线y =ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、 B（2，0），与 y

1

轴交于点 C，顶点为 D．E（1，2）为线段BC的中点， BC的垂直平分线与x 轴、 y 轴分别交于F、 G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线

EF 上求一点，使△的周长最小，并求出最小周长；

y

H CDH D

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，C

△EFK的面积最大？并求出最大面积．G E

A

F O B x

3．如图，已知：直线y x 3 交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、

B、 C（ 1， 0）三点 .

（ 1）求抛物线的解析式;

（ 2）若点 D 的坐标为（ -1 ，0），在直线y x 3 上有一点P,使ABO与ADP相似，求出点 P 的坐标；

（ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

题型二：构造直角三角形

【例 2】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠ 0）的对称轴为x＝ 1，且抛物线经过A（－ 1，0）、C（ 0，－ 3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点 M，使点 M到点 A的距离与到点C的距离之和最小，

并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点 P 的坐标．

E

【变式练习】

1．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点 C．

（1）求点 A、 B 的坐标；

（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ ACD的面积等于△ ACB 的面积时，求点D

的坐标；

（3）若直线 l 过点 E（ 4， 0），M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作的直角三角形

有且只有三个时，求直线 l 的解析式．

3

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= a( x 1)2c(a 0) 与x轴交于A、B两点(点A 在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为y kx 3 ,与x

轴的交点为 N，且 COS∠BCO＝3 10

。10

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；

（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线

与线段 NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度 ?

y

1

O1x

3.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （ x2+x﹣ 1）的图象交于点A（ 1， k）和点 B（﹣ 1，﹣ k）．

（1）当 k=﹣ 2 时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ ABQ是以 AB为斜边的直角三角形时，求k 的值

4

4. 如图（ 1），抛物线 y x 2 x 4与 y 轴交于点 A ， E （ 0，b ）为 y 轴上一动点，过点 E 的

直线

y x b

与抛物线交于点

、 .

B C

（1）求点 A 的坐标；

（2) 当 b =0 时（如图（ 2））， ABE 与 ACE 的面积大小关系如何？当 b 4 时，上述关

系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的 b ，使得 BOC 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b ；若不存在，

说明理由 .

y

y

C

C

E

E

B O

x

O

x

B

A A 图（ 1）

图（ 2）

第 26 题

5

题型三：构造等腰三角形

【例 3】如图，已知抛物线

2

3

）与 x 轴交于点

y ax bx

a

A(1

，

0)

B (

3

0)

，

（ ≠

和点 － ， 与 y 轴交于点 C ．

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得△ ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P ，使△ CMP 为等腰三

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点

P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1．如图，在平面直角坐标系中，点

A 的坐标为（ m ， m ），点

B 的坐标为（ n ，﹣ n ），抛物线

经过 A 、 O 、 B 三点，连接 OA 、OB 、AB ，线段 AB 交 y 轴于点 C ．已知实数 m 、 n （ m ＜ n ）分别

是方程 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 的两根．

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O 、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D 、 E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD 、 BD ．

①当△ OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；

②求△ BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．

6

2. 如图，抛物线y ax25ax 4 经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥ x 轴，点 A 在x轴上，点 C 在y轴上，且AC=BC．

（1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（ 2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由．

y

C B

1

A

0 1

x

3．已知抛物线y ax2bx c(a0) 顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，5

作垂线，垂足为M，连 FM（如图） .

y）向直线y

4

（1）求字母 a， b，c 的值；（2）在直线 x＝1 上有一点F (1,3

)，求以 PM为底边的等腰三角形PFM的 P 点的坐标，并证4

明此时△ PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点 N（ 1，t ），使 PM＝ PN恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .

7

题型四：构造相似三角形

【例 4】如图，已知抛物线经过A（﹣ 2，0）， B（﹣ 3， 3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四

边形，求点 D 的坐标；

（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 P、 M、A 为顶点的三角形△ BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1.如图，已知抛物线经过 A（4， 0）， B（ 1， 0），C（ 0， -2 ）三

点．（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△ DCA的面积最大？若存在，求出

点 D 的坐标及△ DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3） P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过P 作 PM⊥ x 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以 A、P、 M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8

2.如图，二次函数的图象经过点D(0 ，7

3 ) ，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截

9

得的线段AB的长为 6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD最小，求出点 P 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△ QAB与△ ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例 5】如图，已知抛物线y=错误！未找到引用源。x2 -错误！未找到引用源。(b+1)x+ 错误！未找到引用源。（ b 是实数且b＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点C．

（1）点 B的坐标为，点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且△ PBC是以

点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△ QCO，△ QOA 和△ QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

9

【变式练习】

1. 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段 AB 绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线 BC 与 x 轴的交于点D．

（1）试求出点 D 的坐标；

（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，y 并写出其顶点 E 的坐标；

（3）在（ 2）中所求抛物线的对称轴上找点 F ，使得B A 以点 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与△ ACD相似．

1

O 1x

(图 7)

2．已知直线y 1 x 1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90，

2

使点落在点，点落在点，抛物线y ax2bx c A D C AB

A C

B D过点、、，其对称轴与直线

交于点，

P

（1）求抛物线的表达式；

（2）求∠POC的正切值；y

（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M

的坐标。

1

O1x

10

2

3．如图，二次函数y=ax +bx+c 的图象交x 轴于 A（﹣ 1， 0），B（ 2，0），交 y 轴于 C（ 0，﹣2），过 A， C 画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；

（3）点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H．

①若 M 在 y 轴右侧，且△ CHM ∽△ AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；

②若⊙ M 的半径为，求点M的坐标．

11

题型五：构造梯形

【例 6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C

的坐标为，直线2

(0，2)y x与边相交于点．

BC D

（1）求点D的坐标；

3

（2）抛物线y ax 2bx c 经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1. 已知平面直角坐标系

xOy 中，抛物线

y

＝

ax

2－( ＋1)

x

与直线

y

＝

kx

的一个公共点为A(4 ，

a

8) ．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（ 1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最

大值；

（3）记（ 1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的

坐标及梯形 AOMN的面积．

2. 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点

12

P，与 x 轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（2）如图 1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点

D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图 2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M作直线 MN// x 轴，交 PB于点 N．将△ PMN沿直线 MN对折，得

到△ P1MN．在动点 M的运动过程中，设△ P1MN与梯形 OMNB的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式．

3. 如图 1，二次函数y x2px q( p 0) 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（0，－ 1），△的面积为5

．

ABC4（1）求该二次函数的关系式；

（2）过

y 轴上的一点（0，）作

y

轴的垂线，若该垂线与△的外接圆有公共点，求

m M m ABC

的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若

存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

13

题型六：构造平行四边形

【例 7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（— 1， 0）， B（ 3， 0），C（ 0，— 1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 Q在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标。

【变式练习】

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数（m为常数）的图象与x 轴交于点

2

A（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C．以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax +bx+c（ a，b，c 为常数，且a≠0）经过 A ，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B ．

（1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；

（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F．是否存在

这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若 P 是抛物线对称轴上使△ ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1（ x1， y1）， M 2（ x2， y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．

14

2. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过( － 4,0)、 (0,－ 4) 、 (2,0) 三点．

A B C

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m，△ MAB的面积为 S，求 S 关

于 m的函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、

、、

O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点

Q

的坐标．

Q B

3.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣ 3，0），点 B（ 1，0），交 y 轴于点 E（ 0，﹣ 3）．点C是点 A 关于点 B 的对称点，点F是线段 BC的中点，直线l 过点 F 且与 y 轴平行．直线y=﹣x+m过点 C，交 y 轴于 D

点．（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 K 为线段 AB上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD交于点 H，与抛物线交于点 G，求

线段 HG长度的最大值；

（3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C， M， N 为顶点的四边形是平行四边

形，求点 N 的坐标．

15

【例 8】已知平面直角坐标系

（如图 1），一次函数 3 的图像与 y 轴交于点

，

xOy

yx 3

A

4

点 M 在正比例函数

y

3

x 的图像上，且 MO ＝ MA ．二次函数

2

y ＝ x 2＋ bx ＋ c 的图像经过点 A 、M ．

（ 1）求线段 AM 的长；

（ 2）求这个二次函数的解析式；

（ 3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函 数的图像上，点 D 在一次函数 y

3

x 3 的图像上，且四边形

ABCD 是菱形，求点 C 的坐标．

4

【变式练习】

1. 将抛物线 c 1： y 3x 2 3 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c 2，如图 1 所示．

（1）请直接写出抛物线 c 2 的表达式；

（2）现将抛物线 c 1 向左平移 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为

，与 x 轴的交

m

M

点从左到右依次为 A 、 B ；将抛物线 c 2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶 点为 ，与 x 轴的交点从左到右依次为 、 ．

N

D

E

①当 B 、 D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；

②在平移过程中，是否存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，

A N E M

请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由．

16

题型七：线段最值问题

【例 9】如图，抛物线 y=x2+bx﹣ 2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C点，且 A（﹣ 1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

（2）判断△ ABC 的形状，证明你的结论；

（3）点 M（ m， 0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD的值最小时，求 m的值．

【变式练习】

2

1.如图，已知抛物线 y＝ ax ＋bx＋ c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于 B(1，0)、C(5，

0) 两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点

P自的中点出发，先到达x轴上的某点（设为点），再到达抛物线

OA M E

的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的

坐标，并求出这个最短总路径的长．

y

A

O B C x

2.如图13，抛物线y=ax2＋ bx＋c(a ≠0) 的顶点为（1,4 ），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其

17

中B 点的坐标为（ 3,0 ）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为2，若

直线 PQ为抛物线的对称轴，点G为 PQ上一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小. 若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理

由.

（3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M作直线 MN ∥BD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使△ DNM∽△ BMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由 .

18

【能力提升】

1. 已知 , 如图 11, 二次函数 y ax2 2 ax3a(a 0)图象的顶点为H ,与x轴交于 A 、 B 两点( B在A点右侧 ), 点H、B关于直线l: y 3 x 3 对称.

3

（1）求A、B两点坐标 , 并证明点A在直线l上 ;

（2）求二次函数解析式 ;

（3）过点B作直线BK∥AH交直线 l 于K点 , M、 N 分别为直线AH和直线 l 上的两个动

点,连接 HN、 NM 、MK,求HN NM MK 和的最小值.

y y

l l

H H

K K

A O B

x A O B x

图 11备用图

2.如图．在直角坐标系中，已知点A(0 ．1． ) ， B( 4． 4) ．将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转

90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．

(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标；

(2) 抛物线上一动点P．设点 P 到 x 轴的距离为d1，点P到点A的距离为 d2，试说明

d2d11；

(3)在 (2) 的条件下，请探究当点 P 位于何处时．△PAC的周长有最小值，并求出△ PAC的周

长的最小值。

19

【例 10】如图，已知直线1

yx 1

与

y

轴交于点

A D

2，与 x 轴交于点，抛物线

1

y x2bx c 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点 P 在轴上移动，当△ PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使| AM MC | 的值最大，求出点M的坐标。

【变式练习】

1．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥ AD ，∠ BAD=90 °，BC 与 y 轴相交于点M ，且 M 是 BC 的中点， A 、 B、 D 三点的坐标分别是 A （﹣ 1， 0）， B

（﹣ l ，2），D（ 3，0）．连接 DM ，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON．若抛物线 y=ax 2

+bx+c

经过点 D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得 PA=PC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明

理由．

（3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有 |QE﹣ QC|最大？并求出最大值．

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二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

中考数学中二次函数压轴题分类总结

中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x

7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0N ，0>P C. 0>M ，0P D. 0N ，0

x 时，求使y ≥2的x 的取值围.

初中二次函数计算题专项训练与答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交 图2

于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

二次函数培优专项练习

学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由

中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例１】(２０09湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C （1,4),交ｘ轴于点A (３，0),交 y 轴于点B . （1)求抛物线和直线ＡB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高ＣD 及S △CAB ； (3）设点Ｐ是抛物线(在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ,使Ｓ△ＰＡB = 8 9 S △C ＡＢ，若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 １.(2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-２,0)，连结OA ，将线段O Ａ绕原点Ｏ顺时针旋转１20°,得到线段OB ． （1)求点B 的坐标; （2）求经过A 、O 、Ｂ三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B ＯC 的周长最小？若存在,求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由． （4)如果点P 是(２)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由． 图2

2.(2０１0绵阳)如图，抛物线y ＝ a ｘ2 ＋ bx + ４与x 轴的两个交点分别为A （-4,0)、 Ｂ(2，０）,与y 轴交于点Ｃ,顶点为D .E (１，２）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、ｙ轴分别交于F 、G . （1）求抛物线的函数解析式,并写出顶点Ｄ的坐标; (２)在直线ＥF 上求一点Ｈ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在ｘ轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3.（2０１2铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A,交y 轴于点B,抛物线ｙ=ax 2 +b ｘ+ｃ经过Ａ、B 、C （1，0)三点. (1）求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; （3）在（２）的条件下，在ｘ轴下方的抛物线上，是否存在点E,使ΔADE 的面积等于四边形APC Ｅ的面积？如果存在，请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由 . C E D G A x y O B F

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

初中二次函数计算题专项训练及答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 姓名：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

2017二次函数应用题专题训练

作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内

二次函数压轴题分类精选---取值范围

1．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO= （1）求二次函数的解析式； （2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标； （3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q点坐标即可． （3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣ ＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可． 【解答】解：（1）如图1，连接AC，

， ∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4）， ∵tan∠ACO=， ∴， 又∵OC=4， ∴OA=1， ∴A点的坐标为（1，0）， 把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4， 可得0=1+b﹣4， 解得b=3， ∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4． （2）如图2，

， ∵y=x2+3x﹣4， ∴抛物线的对称轴是：x=﹣， ∵Q为抛物线对称轴上的一点， ∴设点Q的坐标为（﹣，n）， ∵抛物线的对称轴平行于y轴， ∴∠CQP=∠OCQ， 又∵∠OQC=∠CQP， ∴∠OQC=∠OCQ， ∴OQ=OC， ∴， ∴， 解得n=±， ∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）． （3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，∵y的取值范围为≤y≤，

人教版初中数学九年级上册 二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11，抛物线与轴 相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物 线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）. (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛 物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与 △APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的 坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、 A（1，0） 设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 （2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时，PM的最大值为92 ②M1（0，6） M2（-14，678） 2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P， A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另 一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l 交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在 点D的位置． (1) (3分) 求直线l的函数解析式； 图9 (2) (3分) 求点D的坐标； (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

全国中考二次函数压轴题集锦

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A

中考二次函数大题综合训练(附答案)

2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式； （2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 . 2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ， 使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 二次函数综合训练 6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM

y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出 发，以每秒 向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点， 形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面 积为 运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐 标．（ 1 分） 2）当 0

二次函数复习专项练习

二次函数专项练习 一、二次函数图像及其性质有关 1、经过原点的抛物线是（） A y=2x 2+x B 2 21) y x =+ （ C y=2x2-1 D y=2x2+1 2、已知反比例函数 x k y=的图象如图所示，则二次函数2 2 2k x kx y+ - =的图象大致为 （） 4．在反比例函数y= x k 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2＋2kx的图 象大致是（） 5．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（） 6二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（） 7在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=x b 的图象大致是图中的（） y O x y O x y O x y O x y O x A B C D

8图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） 9．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 10．函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ） 二、与移动有关 1、抛物线y= 2 1x 2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 A 、y= 2 1 (x －3)2－2 B 、y= 21(x －3)2+2 C 、y=21(x+3)2－2 D 、y=2 1 (x+3)2+2 2．将抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（ ） A ．y=2（x ＋1）2＋3 B ．y=2（x －1）2 －3 C ．y=2（x ＋1）2－3 D ．y=2（x －1）2 ＋3 3．将抛物线y=3x 2 －2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ） A ．y=3（x ＋2）2＋1 B ．y=3（x －2）2 －1 C ．y=3（x ＋2）2－5 D ．y=3（x －2）2 －2 4．抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式 为 ．

(完整版)2018二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a