2的1-1000次幂

最新自然数幂次方和公式

1 2 自然数幂次方和的另一组公式 3 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任 4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给 5 出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数 6 至今仍是递推公式表达。 7 8 9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而 10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出 11 来。 12 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 13 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 111 。。。。。。（1） 14 那么同理可应有： 15 ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 1 11)1(1 1 1 16 那么： 17 ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 1 1 11 1 18

[ ]∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 19 20 ∑== p k k n k p C A n 1 21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中： 23 )1).....(1(k n n n C k n -+-= 24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 25 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有： 26 01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t 27 ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 28 （2) 29 ∑-=-=1 1t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 30 （3） 31 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 34 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。 36

底数是自然数的幂的速算法

底数是自然数，指数是2或3的幂的速算法 一、底数是自然数，指数是2的幂或者说一个自然数的平方的速算法 我们知道：自然数中数小的平方很好记，但是，我们的学习中不仅仅限于这些数。因而我在此讲授一些新方法，让大家共同探讨、研究。如下： 12=1 22=（4）=1（12中的底数1）+1（12的结果幂1）+2（22中的底数）即：22= 1+（1）+2 32=9 =2+（4）+3 42=16 =3+（9）+4 52=25 =4+ （16） +5 =4+3+（9）+ 4+5 =4+3+2+（4） +3+4+5 =4+3+2+1+（1）+2+3+4+5 n2=（n-1）+（n-2）+······+2+1+1+2+······+（n-1）+n =2［1+2+3+······+（n-1）］+n · · · 252=625 262=25+625+26

（n-1）2=······ n2=（n-1）+（n-1）2+n=（n-1）+（n-2）+··+2+1+1+2+··+（n-1）+n （n+1）2=n+ n2+（n+1）化简即为 n2+2n+1 完全平方公式 即 n项的幂 = n一1项的底数 + n一1项的幂 + n项的底数其中n为N（自然数）（n﹥2）。 对于1000以内的数我们也许能用笔很快的在纸张上算出来，但是对于10000及以上的数是不是就不方便了？ 例如：3002，我们很明显地知道等于90000，那么我们是不是很快知道3012的幂呢？用以上我们学到的这个方法来算： 即 3012=300+90000+301=90601 我们平时是用301×301等于9061，如果是10000012呢？用以上的方法是不是很简单了？ 我们从以上学到的这个方法是否能推出相差2的自然数3032等于多少呢？甚至相差3,10,13的数3032,3102,3132等于多少呢？甚而相差更大的自然数呢？下章再讲，谢谢谅解. 2013年8月1日于贵州兴仁

自然数幂求和公式的存在与规律探讨

本科毕业论文 自然数幂求和公式的存在与规律探讨 SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY 学院（部）：理学院 专业班级：08-2数学与应用数学 学生姓名：张兴刚 指导教师：范自强 2012年6 月1 日

自然数幂求和公式的存在与规律探讨 摘要 自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。 关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间

Sum formula of power of natural number 's existence and regularity Abstract Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective. Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space

斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式

斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式 将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。 例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法： )}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。 所以，6)3,4(=S 。 斯特林数),(k n S 的值列表如下： 容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1 -=-n n S ，2 )1,(2 = =-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。 把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。 两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 如果规定当1时，0),(=k n S ，则公式 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

自然数15次方和公式

自然数15次方和公式 S ＝1+2+3+4+……+n ＝n 2+n 2＝n(n+1)2 S ＝12+22+32+……+n 2＝2n 3+3n 2+n 6＝n(n+1)(2n+1)6 S ＝13+23+33+……+n 3＝n 4+2n 3+n 24 ＝n 2(n+1)24＝n 2(n+1)24 S ＝14+24+34+……+n 4＝6n 5+15n 4+10n 3-n 30＝n(n+1)(2n+1)(3n 2+3n -1)30 S ＝15+25+35+……+n 5＝2n 6+6n 5+5n 4-n 212＝n 2(n+1)2(2n 2+2n -1)12 S ＝16+26+36+……+n 6＝6n 7+21n 6+21n 5-7n 3+n 42＝n(n+1)(2n+1)(3n 4+6n 3-3n +1)42 S ＝17+27+37+……+n 7＝3n 8+12n 7+14n 6-7n 4+2n 224＝n 2(n+1)2(3n 4+6n 3-n 2-4n+2)24 S ＝18+28+38+……+n 8＝n(n+1)(2n+1)(5n 6+5n 5+5n 4-15 n 3-n 2+9n-3)90 S ＝19+29+39+……+n 9＝n 2(n+1)2(2n 6+6n 5+n 4-8n 3+n 2+6n-3)20 S ＝110+210+310+……+n 10 ＝6n 11+33n 10+55n 9-66n 7+66n 5-33n 3+5n 66 S ＝111+211+311+……+n 11 ＝2n 12+12n 11+22n 10-33n 8+44n 6-33n 4+10n 224 S ＝112+212+312+……+n 12 ＝210n 13+1365n 12+2730n 11-5005n 9+8580n 7-9009n 5+4550n 3-691n 2730 S ＝113+213+313+……+n 13 ＝30n 14+210n 13+455n 12-1001n 10+2145n 8-3003n 6+2275n 4-691n 2 420 S ＝114+214+314+……+n 14 ＝6n 15+45n 14+105n 13-273n 11+715n 9-1287n 7+1365n 5-691n 3+105n 90 S ＝115+215+315+……+n 15 ＝3n 16+24n 15+60n 14-182n 12+572n 10-1287n 8+1820n 6-1382n 4+420n 248

自然数幂次方和公式

自然数幂次方和的另一组公式 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均 可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整 表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多 项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出来。 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 1 11 。。。。。。（1） 那么同理可应有： ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 111)1(11 1 那么： ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 11 111 [] ∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 ∑== p k k n k p C A n 1 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中： )1).....(1 (k n n n C k n -+-= 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有：

01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。（2) ∑-=-=1 1 t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。（3） 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下面给出这个结论。 引理：i t i t i t i k i k i k k t C C C --=---=-∑)1() 1( 。。。。。。。（4） 证明：令：∑-=-----=-=i t j j i t j i t j i t C x x x f 0 )1() 1()( ∑-=--= =i t j j i t j C f 0 )1(0)1( 令k=i+j 的，则j=k-i ，同时两边分别乘以i t C ，那么 i k t i k t i k i k i t i t i k i k i t C C C -==------=-=∑∑)1() 1(0 。。。。。。（5） 因为有： k t i k i t i t i k i k k t i t i t i k C C C C i i k k t t i k i k k t k t C C i k t i k t i t i t k t i k i t C C =--=--=--= ----= ----所以：! )!()!(!)!(!!)!(!!!)!()!(! )!(!!)!()!()!( 因此（5）式可以变换为：

浅谈自然数幂和公式

浅谈自然数幂和公式 一、自然数幂和是什么： 所谓自然数幂和 ,系指 ) (211 N p r n n r p p p p ∈= +???++∑= (1) 在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。 二、自然数幂和是怎么来的： 公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得 n n n n n 21 212)1(212+=+= +???++ (2) 毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式 2 )12(31n n =-+???++ (3)

公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理: ])()2([3)2())(1(2 222na a a na a a a na n +???++=+???++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得 n n n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+???++ (4) 公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即 113 =(1个奇数) , 5323 +=(2个奇数) , 119733 ++=(3个奇数) , 1917151343 +++=(4个奇数） , … … … … … … )1()3()(2223-++???++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +???++21 个连续奇数 )1(,,3,12 -+???n n 之

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？ 即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1

幂数列求和公式的推导及证明

幂数列求和公式的推导及证明 我们把诸如“k 1，k 2，……，k n （k 为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n ；21，22，……，2n ；31，32，……，3n ；41，42，……，4n 等。 下面几个公式经数学归纳法证明是正确的： ++21 (2) n n 21)n(n n 2+=+=+， ++2221 (6) n 3n 2n 61)1)(2n n(n n 232++=++=+， ++3321……4n 2n n ]21)n(n [n 23423 ++=+=+， ++4421……30n 10n 15n 6n n 3454 -++=+， ++5521……12n 5n 6n 2n n 24565 -++=+， ++6621……42n 7n 21n 21n 6n n 35676 +-++=+，++7721 (24) 2n 7n 14n 12n 3n n 246787+-++=+， ++8821……903n 20n 42n 60n 45n 10n n 357898 -+-++=+， ++9921 (20) 3n 10n 14n 15n 10n 2n n 24689109-+-++=+， ++101021……665n 33n 66n 6n 655n 33n 6n n 3579101110 +-+-++=+。 我们把这几个公式叫做幂数列前n 项和公式，其中前三

个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？ 下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。 我们先看一个展开式: 6n,11n 6n n 3)2)(n 1)(n n(n 234+++=+++ 由这个展开式可得6n 11n 6n 3)2)(n 1)(n n(n n 234---+++=。 取1n =，则6116432114---???=，取2n =，则 262112654322234?-?-?-????=，…… 这些等式两端分别相加得 ++4421……+???+???=+5432432[1n 4…… 3)]2)(n 1)(n n(n ++++++-3321(6……++-+223211(1)n …… ++-+26(1)n 2……n)+ 为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算 式子+???+???+???654354324321……103102101100???+的值。 按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得+????+????+????565435543254321……5103102101100????+，这样前两项相加得65432????,再加第三项得76543????，依

幂数列求和公式的推导及证明

幂数列求和公式的推导及证明我们把诸如“k1，k2，……，k n（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n；21，22，……，2n；31，3 2，……，3n；41，42，……，4n等。 下面几个公式经数学归纳法证明是正确的： 1+2+…… 2 n(n+1)n+n +n== 22， 22 1+2+…… 32 2 n(n+1)(2n+1)2n+3n+n +n== 66 ， 33 1+2+…… 432 32 n(n+1)n+2n+n +n=[]= 24 ， 44 1+2+…… 543 4 6n+15n+10n-n +n= 30 ， 55 1+2+…… 6542 5 2n+6n+5n-n +n= 12 ， 66 1+2+…… 7653 6 6n+21n+21n-7n+n +n= 42 ， 77 1+2+…… 87642 7 3n+12n+14n-7n+2n +n= 24 ， 88 1+2+…… 98753 8 10n+45n+60n-42n+20n-3n +n= 90 ， 99 1+2+…… 1098642 9 2n+10n+15n-14n+10n-3n +n= 20 ， 1010 1+2+…… 11109753 10 6n+33n+55n-66n+66n-33n+5n +n= 66 。 我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着

幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？ 下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。 我们先看一个展开式: 432n(n+1)(n+2)(n+3)=n +6n +11n +6n, 由这个展开式可得 432n =n(n+1)(n+2)(n+3)-6n -11n -6n 。 取n=1，则41=1234-6-11-6 ，取n=2，则 4322=2345-62-112-62 ，…… 这些等式两端分别相加得 441+2+……4+n =[1234+2345+ ……+n(n+1)(n+2)(n+3)]33-6(1+2+……322+n )-11(1+2+……2+n )-6(1+2+……+n) 为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算 式子1234+2345+3456+ ……+100101102103 的值。 按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得12345+23455+34565+ ……+1001011021035 ，这样前两项相加得23456 ,再加第三项得34567 ，依此类推，加到最后一项， 得数应是100101102103104 ，故1234+2345+3456+ ……+100101102103 1=1001011021031045 （），由此猜想

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一) 《自然数平方和公式推导及其应用》 （https://www.wendangku.net/doc/4418170439.html,/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。 1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系 1.1自然数的1次幂的求和即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/2 1.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+N n(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。 当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得: 2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =N n+N n+N n+...+N n加或减去所有添加的二项式展开式数 =(1+N)N n减去所有添加的二项式展开式数。 当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得: 2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =2N n+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数 又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L