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2020年高考数学模拟试卷3(附详细答案)

开始

输出k

结束 S 10

S ←1

Y N

S ←S k （第

5题） k ←k ＋2

k ←1 （第11题） 2020年高考数学模拟试卷（3）（附详细解析）

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则A B =U ． 2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则22a b +的值为．

3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60则应从丁专业抽取的学生人数为．

4．从1个黑球，1个黄球，3相同的概率是．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为．

6. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 2

9＝1的顶点到其渐近线的距离

为．

7. 各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为． 8. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则72S S +的值为．

9．已知实数x ，y 满足条件?????2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，

则y

z x =的最大值与最小值之和为．

10．已知函数2()||2

x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是．

11．将函数()π3sin 4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()

π3sin 4

y x ?=+（π?<）

的图象（如图），点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ?θ-的值为．

12．已知正实数,x y 满足

111x y +=，则3411

x y

x y +

--的最小值为． 13．已知AB 是圆C :2

x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2

r x c

=与x 轴垂直,过圆

C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2

OM ON

r ?u u u u r u u u r 的

值为 .

14.若方程

2 |

21|

-=有四个不同的实数根

1234

,,,

x x x x，且

1234

x x x x

<<<，则4132

2()()

x x x x

-+-的取值范围是 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．

（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；

（2）求证：AD∥EF．

16．(本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知π1

sin()cos

C C

+-=．（1）求角C；

（2）若a＋b＝4，设D为AB的中点，求线段CD长的最小值．

17．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，圆O：224

x y

+=，直线l：43200

x y

+-=．43

()

A，为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．

（1）若MN∥l，求△PMN的面积．

（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．

（第15题）

18．（本小题满分16分）

中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．

（1）试用x ，y 表示L ；

（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？

19．（本小题满分16分）

已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调增区间；

（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <．

（ⅰ）若213t t =，求a 的值；

（ⅰ）若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．

26cm

30cm

图1

图2

20．(本小题满分16分)

在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n n

n a a n λ

++=++，λ为常数，*n ∈N ．（1）求λ的值；（2）设n

n a b n

，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？

若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．

2018年高考模拟试卷（3）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD AB ⊥于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：OBP CQP ∠=∠．

（第21-A ）

B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知a b ∈R ，，向量11??=????α是二阶矩阵24a b ??

=????

A 的属性特征值3的一个特征向量，求直线:230l x y --=在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线l '的方程．

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知直线l 的方程为()

πcos 24

ρθ-=，圆C 的方程为4sin 2cos ρθθ=-，试判断直线l 与圆C 的位置关系．

D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

对任意实数t ，不等式|3||21||21||2|t t x x -++-++≥恒成立，求实数x 的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）

某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0

中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．

（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，

若X ≤3的概率为7

，求P 0；

（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择

何种方案抽奖，累计得分的均值较大？

23．（本小题满分10分）

( 第23题 )

A B

如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，π3ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，

平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动，且EM EF λ=u u u u r u u u r

．

（1）当12

λ=时，求异面直线DE 与BM 所成角的大小；

（2）设平面MBC 与平面ECD 所成二面角的大小为θ（π02

θ<≤），求cos θ的取值范围

2020年高考数学模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．答案：{}|0x x > 解析：由并集定义可得A B =U {}|0x x >．

2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方，且25

34a bi i

+，所以2225

534a bi a b i

=+=+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6，所以 100名学生中丁专业抽取人数为6

601820

?=人. 4．答案：

解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种，其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为

310

. 5．答案：7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =；第三次，1510S =>，

7k =．

6. 答案：12

解析：顶点坐标为()4,0±，渐近线方程为34

x y =±

，由对称性不妨取顶点()4,0，渐近线方程为34y x =，故顶点到其渐近线的距离为12

d =.

7.2

解析：方法一：正四棱柱的体积为82，底面积为4，故体

26，即2m =

方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，

所以体积之比为1

2122

332h h ==

8. 答案：80解析：因为137,,a a a 成等比数列，所以2

17a a a =?.又26a =，设公差为d , 故()()()2

6665d d d +=-?+，即22d d =，又公差不为零，故2d =.即42210a a d =+=. 所以72421780S S a a a +=++=. 9. 答案：

解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.y z x =的几何意义为可行域中

的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A 处取到最大值.又()2,6A ，故max 3z =.在点C 处取到最小值.又()4,3C ,故min 34z =

.所以z 的最大值与最小值之和为315

344

10．答案：(02)，解析：10()4102x f x x x ??

=?--

≥，，，，所以)(x f 在(0)-∞，上单调递增，在[0)+∞，上为常数函数，则2

2220x x x

x x ?-<-??-

，解得20<

．答案：2-

解析：将函数()

π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数

()

π3π44y x =+,

所以(

)(

3π,,2,3,,4M OM N ON MN ?=-===

由余弦定理可得，5cos π6θθ==， ()()

35tan tan ππ46?θ=-=-

35tan πtan π462351tan πtan π46

-==-++?. 12

．答案：7+解析：方法一：因为111x y +=，所以1111

1,1x y y x

-=-=.

又

3434

3411

1111x y y x x y x y

+=+=+----，

所以()11343434772743y x y x

y x x y x y x y ??++=+

+≥+?=+ ???

当且仅当23x =时取等号.

方法二：因为11

1x y

+=，所以xy x y =+，即()()111x y -?-=.

故

()()313414343434

77274311111111

x y x y x y x y x y x y -+-++=+=++≥+?=+--------当且仅当23x =时取等号.

方法三：因为

()343433

4741111111

1x y x x x x x y x x x y

+=+=+=++-------，所以3474311x y x y +≥+--23x y =时取等号.

13．答案：1

解析：设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2

αβ+=

∴tan tan 1αβ=，记直线l :2

r x c

=与x 轴的交点为H ,

()()OM ON OH HM OH HN ?=+?+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，则2

(,0)r H c ,

0,0OH HN OH HM ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u u r

Q ,

∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ?=+?=-?u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r

224

22|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ?==+-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r Q

∴242222()()r r OM ON r r c c

?=--=u u u u r u u u r .即2

OM ON

r ?u u u u r u u u r 的值为1 14.【答案】(8,5]

【解析】方程2

|21|0x x t ---=有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数

2()|21|f x x x =--与函数()g x t =的图象如下图所示，所以14,x x 是方程2

21x x t --=的

两根，23,x x 是方程2

21x x t --=-的两根，由求根公式得

413222,22x x t x x t -=+-=-，且02t <<，所以

41322()()2(222)x x x x t t -+-=++-，令()2(222)f t t t =++-，

由2

2(222)

()04t t f t t --+'=

=-得65t =

，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6

[,2)5

递减，又6(0)62,()45,(2)85

f f f ===，

所以所求函数的取值范围是(8,.

二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）

证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD BC ⊥．因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥．

因为CD PD D =I ，,CD PD ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为BC ?平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ．（2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，因为BC ?平面PBC ，AD ?平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ．

因为AD ?平面ADFE ，平面ADFE I 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． 16．（本小题满分14分）

解：（1）因为π1sin()cos 62

C C +-=11

cos 22C C -=，

所以π1sin()62C -=．又因为0πC <<，所以π3

C =．

（2）法一：因为D 是AB 中点，所以1()2

CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r

，

所以222

1(2)4CD CA CA CB CB =+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2221()4

CD a b ab =++，

所以224()CD a b ab =+-23()124a b +=≥，当且仅当2a b ==时等号成立．

所以CD

法二：在ABC △中，由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-??，

可设222

14cos b c CD A bc

+-=．在ABC △中，由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-??，

可设222cos 2b c a A bc

+-=．

所以222222

142b c CD b c a bc bc +-+-=，所以2221()4CD a b ab =++．

下同法一．

法三：以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以3(0)()2a a A b B ，

，，，所以3()42a a b D +，，所以2221()4CD a b ab =++，下同法一．

17．（本小题满分14分）

解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=，由条件得，4343055c ?+?+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．

因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ?=-，即OA MN ⊥，

所以22423MN OA =-=．又因为直线MN 与直线l 间的距离2

343

d =

=+，即点P 到直线MN 的距离为3，

所以△PMN 的面积为1233332??=．（2）直线PM 与圆O 相切，证明如下：设00()M x y ，，则直线MN 的斜率00

00353

54545

y y k x x --==--，

因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为0054

x y ---，

所以直线OP 的方程为0054

x y x y -=-

-．

联立方程组00545343200x y x y x y -?=-?

-??+-=?

，，

解得点P 的坐标为()

0000004(53)4(54)4343y x y x y x ---

--，， C A B

所以()

00000000

4(53)4(54)4343y x PM x y y x y x --=---u u u u r --，，

由于

()00OM x y =u u u u r ，，22

004x y +=，所以22

00000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --?=---u u u u r u u u u r --

0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=

--00

12164043x y y x -+=-=-，

所以PM OM ⊥u u u u r u u u u r

，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证．

18．（本小题满分16分）

解：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152

x m x -==-cm ，

竖直方向每根支条长为26132

y y n -=

cm ．

从而，所需木料的长度之和

L 2(15)4(13)82y

x =-+-+

=822()x y ++cm ．

（2）由题意， 1

132xy =，即260

y x =，又由152,

132,2

x y

--??

???≥≥可得1301311x ≤≤．

所以260822()L x x

=++

．

令260t x x =+，其导函数2

26010x -<在

1301311

x ≤≤上恒成立，

故260t x x

在130[,13]11

上单调递减，所以可得372[33,

]11t ∈．

则26082()]L x x =+-+

82]t =+-

=82+．

因为函数y =

y =

在372[33,

]11

t ∈上均为增函数，

所以82L =+在372[33,

]11

t ∈上为增函数，故当33t =，

即13,20x y ==时L

有最小值16+．

答：做这样一个窗芯至少需要16+cm 长的条形木料．

19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2

(6)12(2)12(+1)a a ?=---=．

①当1a -≤时，0?≤，()0f x '≥恒成立，

所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分

②当1a >-时，由()0f x '>，得x <

x >

所以()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞． 3分

综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；

当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分

（2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2

[3(2)]0x x x a -+-=，

由题意1t ，2t 是方程2

3(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分

故123t t +=，122t t a =-，且判别式2

1(3)4(2)0a ?=--->，得1

a >-

．由213t t =，得134t =

，29

4t =， ………………………………………8分故1227216t t a =-=，所以5

a =．………………………………………9分

（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立．因为123t t +=，12t t <，所以123

t t <<，所以120t t <<或120t t <<．

①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤，所以016a ≤-，所以16a ≤．

又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分

②当120t t <<时，2

()36(2)f x x x a '=-+-，

由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，

，且1x =

（方法1）由题得32

1111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，

将1x =

(72a +，解得11a ≤．…14分

又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分综上，a 的取值范围是1(2)(211]4

-U ，，．………………………………………16分

（方法2）2

11362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，将2

11362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，

得11x -≥，故110x -<≤，

因为2

11362a x x =-+在1[10)x ∈-，上递减，故(211]a ∈，．

综上，a 的取值范围是1(2)(211]4

-U ，，． ……………………………………16分 20．（本小题满分16分）

解：（1）将1n =代入111(1)n n n

n a a n ++=++λ

，得2122a a =+λ，由11a =，283a =，得3=λ．

（2）由111(1)3n n n n a a n ++=++，得1113n n n a a n n +-=+，即113n n

b b +-=．当2n ≥时，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+???+-

111[1()]

n --=-111223n -=-?，因为1

111a b =

=，所以131223

n n b -=-?．因为11b =也适合上式，所以131223n n b -=-?．

（3）由（2）知，3()23n n

a n =-．假设存在正整数r s t ，，且r s t <<，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列，则2r t s +=且2r t s a a a +=，即()()()

33322333r t s r t s r t s -+-=-，

整理得2333

r t s

r t s +=，（*）

设3n n n c =，*n ∈N ，则111

1120333n n n

n n n n n c c ++++--=-=< 所以{}n c 单调递减数列． ① 若1r =，当3s ≥时，则2293

s ≤，所以()*左边13>，右边29≤，显然等式不成立，

当2s =时，得3

13933t t ==，解得3t =，所以1r =，2s =，3t =符合题意． ② 若2r ≥，因为s r >，所以1s r +≥，所以1s r c c +≤，

所以()11

2122033333r s

r r r r r s r r +++---=≥≥，所以03t t ≤，所以t 不存在，即2r ≥时，不存在符合题意的r s t ，，．

综上，存在1r =，2s =，3t =，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以1

BOD AOD AOB ∠=∠=

∠，又1

ACB AOB ∠=

∠，所以ACB DOB ∠=∠，又因为180BOP DOP ∠=-∠o ，180QCP ACB ∠=-∠o

，所以BOP QCP ∠=∠，

所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意，3=A αα，即2113411a b ??????

=????????????

，

所以2343a b +=??+=?，，解得11a b ==-，，所以1214??

=??-??

A ．设l 上一点()P x y ，在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y '''，，则1214x x y y '??????=??????'-??????，即24x x y y x y '=+??'=-+?

，

，所以1(2)31()6x x y y x y ?''=-???''=+?，

，

代入直线:230l x y --=，得75180x y ''--=，即直线l '的方程为75180x y --=. C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由()

πcos 24

ρθ-=

cos sin 2θθ+=，

所以直线l

直角坐标方程为0x y +-=．由4sin 2cos ρθθ=-，得24sin 2cos ρρθρθ=-，所以圆C 的直角坐标方程为22240x y x y ++-=，

即()()2

125x y ++-=． …… 8分

所以圆心到直线的距离2d =

所以直线l 与圆C 相交． D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ?-+<-???

=+-??

->???

，，，≤≤，，

，

所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．

当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32

x -≥，矛盾；

当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；

当12x >时，不等式即为7(21)(2)2

x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤．

综上，实数x 的取值范围是1526

x -≤≤．

B C D

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23

，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．

记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“X ＝5”．因为P (X ＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝79

，

所以P 0＝1

．

（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案B 抽奖的中奖次数为X 2，

则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．

由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，P 0)，所以E (X 1)＝2×23＝4

3，E (X 2)＝2P 0，

从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝8

，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0．

若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0?0

若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0?P 0＝4

．

综上所述，当0

9时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；

当4

9时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．

23．（本小题满分10分）

解：（1）在△ABC 中，1AB =，2BC AD ==，

π3

ABC ∠=，则3AC 222AB AC BC +=，即90BAC ∠=o ．

因为四边形ACEF 为矩形，所以FA AC ⊥，

因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF I 平面，平面，

所以FA ⊥平面ABCD ． …… 2分

建立如图所示的空间直角坐标系，

则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，3,0)C ，(3,0)D -，

E ，(0,0,1)

F ，

当12λ=时，12

EM EF =u u u u r u u u r

，所以M ．

所以(BM =-u u u u u r ，(1,0,1)DE =u u u r

，

所以(1,0,1)(0BM DE ?=?-=u u u u u r u u u r

，

所以BM DE ⊥u u u u u r u u u r ，

即异面直线DE 与BM 所成角的大小为90o ．（2）平面ECD 的一个法向量1(0,1,0)=n ，设000(,,)M x y z ，

由

000(0,,1)(0,,0)(EM x y z λ==-=-u u u u r ，

得000

0)1x y z λ=??

=-??=?，，，

即),1)M λ-，

所以(),1)BM λ--=u u u u u r

，(BC =-u u u r

．

设平面MBC 的法向量2(,,)x y z =n ，

因为22,,BC BM ?⊥??⊥??u u u r u u u u r n n

即0,)0,x x y z λ?-=??

--+=?? 取1y =

，则x

z =，

所以平面MBC

的一个法向量2)=n ，因为π02θ<≤

，所以1212cos θ?==?n n n n

因为01λ≤≤，所以1cos 2θ?∈?

，