打包下载：高中数学全一册学案(共13套)新人教A版选修4_1Word版含答案

2．1.2 演绎推理

[提出问题]

看下面两个问题：

(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；

(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．

问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？

提示：都说的是一般原理．

问题2：第二句又说的是什么？

提示：都说的是特殊示例．

问题3：第三句呢？

提示：由一般原理对特殊示例作出判断．

[导入新知]

1．演绎推理的概念

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．

2．三段论

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

(1)大前提——已知的一般原理；

(2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

“三段论”可以表示为：

大前提：M是P.

小前提：S是M.

结论：S是P.

[化解疑难]

演绎推理的三个特点

(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．

(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．

(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．

[例1]

(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．

(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.

(3)菱形对角线互相平分．

(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．

[解] (1)一切奇数都不能被2整除，(大前提)

75不能被2整除，(小前提)

75是奇数．(结论)

(2)三角形的内角和为180°，(大前提)

Rt△ABC是三角形，(小前提)

Rt△ABC的内角和为180°.(结论)

(3)平行四边形对角线互相平分，(大前提)

菱形是平行四边形，(小前提)

菱形对角线互相平分．(结论)

(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，(大前提)

通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，

a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)，(小前提)

通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)

[类题通法]

三段论的推理形式

三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b?c，a?b，则a?c”．其中，b?c为大前提，提供了已知的一般性原理；a?b为小前提，提供了一个特殊情况；a?c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．

[活学活用]

把下列推断写成三段论的形式：

(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．

解：(1)三角函数是周期函数， 大前提

y ＝sin x (x ∈R)是三角函数， 小前提 y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 结论

(2)两个角是对顶角，则这两个角相等， 大前提 ∠1和∠2是对顶角， 小前提 ∠1和∠2相等． 结论

[例2] 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角△ABC 中，AD ，

BE 是高，D ，E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD .

[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，(小前提) ∴△ABD 为直角三角形．(结论) 同理△ABE 也为直角三角形．

∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)

M 是直角△ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，(小前提)

∴DM ＝1

2AB .(结论)

同理EM ＝1

2

AB .

∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)

DM ＝12AB ，EM ＝12

AB ，(小前提)

∴ME ＝MD .(结论) [类题通法]

三段论在几何问题中的应用

(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．

(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．

[活学活用]

如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .

证明：三角形的中位线平行于底边，大前提

点E，F分别是AB，AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，

则这条直线与此平面平行，大前提

EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提

所以EF∥平面BCD.结论

[例3] 已知函数f(x)＝a x＋

x＋1

(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[证明] 如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，(大前提)

∵a>1，∴f′(x)＝a x ln a＋

3

x ＋

>0，(小前提)

∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论)

[类题通法]

使用三段论应注意的问题

(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．

(2)证明中常见的错误：

①条件分析错误(小前提错)．

②定理引入和应用错误(大前提错)．

③推理过程错误等．

[活学活用]

已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明b

a

＜

b＋m

a＋m

.

证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提)

所以，mb＜ma.(结论)

因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)

mb＜ma，(小前提)

所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)

因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)

b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提)

所以，

b a ＋m a a ＋m ＜a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋m

a ＋m

.(结论)

2.混淆三段论的大小前提而致误

[典例] 定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f (x )是偶函数．

证明：令x ＝y ＝0，

则有f (0)＋f (0)＝2f (0)×f (0)． 又因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0， 则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )， 所以f (－y )＝f (y )， 因此，f (x )是偶函数．

以上证明结论“f (x )是偶函数”运用了演绎推理的三段论，其中大前提是：________________________________________________________________________.

[解析] 通过两次赋值先求得“f (0)＝1”，再证得“f (－y )＝f (y )”，从而得到结论“f (x )是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f (－y )＝f (y )”，结论是“f (x )是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数”．

[答案] 若对于定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数 [易错防范]

解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f (x )是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．

[成功破障]

所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．

①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好． ②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪． ③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．

④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡． 解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．

答案：④

[随堂即时演练]

1．“四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )

A ．正方形的对角线相等

B ．矩形的对角线相等

C ．等腰梯形的对角线相等

D ．矩形的对边平行且相等

解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”． 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 1

3x 是对数函数(小前提)，

所以y ＝log 1

3

x 是增函数(结论)．”上面推理错误的原因是( )

A ．大前提错导致结论错

B ．小前提错导致结论错

C ．推理形式错导致结论错

D ．大前提和小前提都错导致结论错

解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数． 3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．

解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0. 答案：log 2x －2≥0

4．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1

x

在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程

补充完整：

①________________________________________________________________(大前提) ②_________________________________________________________________(小前提) ③____________________________________________________________________(结论)

答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则

f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．

②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝

x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2

，由于1

＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．

③函数f (x )＝x ＋1

x

在(1，＋∞)上为增函数．

5．将下列推理写成三段论的形式．

(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；

(3)0.332·

是有理数．

解：(1)向量是既有大小又有方向的量，……………………………大前提 零向量是向量，……………………………小前提 零向量也有大小和方向．……………………………结论 (2)每一个矩形的对角线相等，……………………………大前提 正方形是矩形，……………………………小前提 正方形的对角线相等．……………………………结论

(3)所有的循环小数都是有理数，……………………………大前提

0．332·

是循环小数，……………………………小前提

0．332·

是有理数．……………………………结论

[课时达标检测]

一、选择题

1．给出下面一段演绎推理：

有理数是真分数，……………………………大前提 整数是有理数，……………………………小前提 整数是真分数．……………………………结论 结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误

D ．非以上错误

解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．

2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A ．演绎推理

B ．类比推理

C ．合情推理

D ．归纳推理

解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠

B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°

B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C ．由三角形的性质，推测四面体的性质

D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12? ?

???a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式

解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．

4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )

A ．正方形都是对角线相等的四边形

B ．矩形都是对角线相等的四边形

C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D ．矩形都是对边平行且相等的四边形

解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B. 5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ?平面α，直线a ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .结论显然是错误的，这是因为( )

A ．大前提错误

B ．小前提错误

C ．推理形式错误

D ．非以上错误

解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．

二、填空题

6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．

解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误． 答案：大前提

7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形．”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．

解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形．

小前提：△ABC 的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52

.结论：△ABC 是直角三角形． 答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形

8．若不等式ax 2

＋2ax ＋2＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为?. ②a ≠0时需有???

??

a ＞0，Δ≤0

??????

a ＞0，

4a 2

－8a ≤0

??????

a ＞0，

0≤a ≤2，

所以0＜a ≤2.

综上可知，实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2] 三、解答题

9．如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：

(1)平面AD 1E ∥平面BGF ； (2)D 1E ⊥AC .

证明：(1)∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点， ∴D 1F 綊BE ，

∴四边形BED 1F 是平行四边形， ∴D 1E ∥BF .

又∵D 1E ?平面BGF ，BF ?平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .

∵F ，G 分别是D 1D 和DA 的中点， ∴FG 是△DAD 1的中位线， ∴FG ∥AD 1.

又∵AD 1?平面BGF ，FG ?平面BGF ， ∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF . (2)连接BD ，B 1D 1，

∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .

∵D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵D 1E ?平面BDD 1B 1， ∴D 1E ⊥AC .

10．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *

.

(1)证明数列{}a n －n 是等比数列． (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .

(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *

皆成立． 解：(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *

. 又a 1－1＝1，

所以数列{}a n －n 是首项为1，且公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4

n －1

，

于是数列{}a n 的通项公式为a n ＝4

n －1

＋n .

所以数列{}a n 的前n 项和S n ＝4n

－13＋

n

n ＋

2

.

(3)证明：对任意的n ∈N *

， S n ＋1－4S n ＝

4

n ＋1

－13

＋n ＋n ＋

2

－44n

－13＋

n n ＋2

＝－12

(3n 2

＋n －4)≤0.

所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *

皆成立．

2．2.1 综合法和分析法

[提出问题]

阅读下面证明过程，回答问题．

求证：π是函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π4的一个周期． 证明：因为f (x ＋π)＝sin ?

?

????x ＋π

＋π4＝sin ? ????2x ＋2π＋π4＝sin ?

????2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ?

??

??

2x ＋π4

的一个周期．

问题1：本题的条件和结论各是什么？

提示：条件：f (x )＝sin ? ????2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期． 问题2：本题的证明顺序是什么？ 提示：从已知利用诱导公式到待证结论． [导入新知] 1．综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

2．综合法的框图表示

P ?Q 1―→Q 1?Q 2―→Q 2?Q 3―→…―→Q n ?Q

(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) [化解疑难]

综合法的特点

(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．

(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.

[提出问题]

阅读下面证明过程，回答问题．

求证：6＋7≥22＋ 5.

证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．

问题1：本题证明从哪里开始？

提示：从结论开始．

问题2：证明思路是什么？

提示：寻求每一步成立的充分条件．

[导入新知]

1．分析法的定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

2．分析法的框图表示

Q?P1―→P1?P2―→P2?P3―→…―→得到一个明显成立的条件

[化解疑难]

分析法的特点

(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．

(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．

[例1] 已知a，b a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.

[证明] ∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，

∴a(b2＋c2)≥2abc.①

同理，b(c2＋a2)≥2abc，②

c(a2＋b2)≥2abc.③

∵a，b，c不全相等，

∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2

≥2ab 三式中不能同时取到“＝”． ∴①②③式相加得

a (

b 2＋

c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .

[类题通法]

综合法的证明步骤

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． [活学活用]

已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1

b

≥9.

证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b

＝

a ＋

b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a

b ＋1 ＝5＋4b a ＋a

b

≥5＋2

4b a ×a

b

＝5＋4＝9.

当且仅当4b a ＝a

b

，

即a ＝2b 时“＝”成立.

[例2] 设a ，b [证明] 当a ＋b ≤0时，∵a 2

＋b 2≥0， ∴a 2

＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时， 用分析法证明如下： 要证a 2

＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2

≥??

??

??22a ＋b 2

， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2

≥2ab .

∵a 2

＋b 2

≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2

＋b 2

≥

2

2

(a ＋b )成立．

综上所述，不等式得证． [类题通法]

分析法的证明过程及书写形式

(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．

(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．

[活学活用]

在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.

证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B

cos A cos B ＞1.

∵A ，B 均为锐角， ∴cos A ＞0，cos B ＞0. 即证sin A sin B ＞cos A cos B ， 即cos A cos B －sin A sin B ＜0， 只需证cos(A ＋B )＜0. ∵△ABC 为锐角三角形， ∴90°＜A ＋B ＜180°，

∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.

[例3] A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

.

[证明] 法一：(分析法)

要证(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

， 即证

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

， 只需证

a ＋

b ＋

c a ＋b ＋a ＋b ＋c

b ＋c

＝3， 化简，得

c a ＋b ＋

a

b ＋c

＝1，

即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2

＋a 2

＝b 2

＋ac .

因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2

，

即a 2

＋c 2

－b 2

＝ac 成立．

∴(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

成立． 法二：(综合法)

因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.

由余弦定理，有b 2

＝c 2

＋a 2

－2ac cos 60°， 所以c 2

＋a 2

＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得

c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，

两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得

c

a ＋

b ＋

a

b ＋c

＝1，

所以? ????c a ＋b ＋1＋? ??

?

?a b ＋c ＋1＝3， 即

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

， 所以(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

. [类题通法]

综合法与分析法的适用范围

(1)综合法适用的范围

①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围

分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． [活学活用]

设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b . 求证：a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

. 证明：法一：(分析法) 要证a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

成立，

即需证(a ＋b )(a 2

－ab ＋b 2

)＞ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b ＞0，

故只需证a 2

－ab ＋b 2＞ab 成立，

即需证a 2－2ab ＋b 2

＞0成立， 即需证(a －b )2

＞0成立． 而依题设a ≠b ， 则(a －b )2

＞0显然成立． 由此命题得证． 法二：(综合法)

a ≠

b ?a －b ≠0?(a －b )2＞0?a 2－2ab ＋b 2＞0

?a 2

－ab ＋b 2

＞ab .

∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0， (a ＋b )(a 2

－ab ＋b 2

)＞ab (a ＋b )． ∴a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

.

2.综合法、分析法的综合应用

[典例] (12分)设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)的图象与f (x )的图象关于y 轴对称．

求证：f ? ??

??x ＋12为偶函数．

[解题流程]

[规范解答]

法一：要证f ? ??

??x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，(2分) 即只需证－b 2a －1

2

＝0，只需证a ＝－b ，(4分)

由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与f (x )的对称轴x ＝－b

2a 关于y 轴对称，

(8分)

∴－b 2a －1＝－－b

2a

，

∴a ＝－b ，(10分)

∴f ? ????x ＋12为偶函数．(12分) 法二：要证f ? ??

??x ＋12为偶函数， 只需证f ? ????x ＋12＝f ? ????－x ＋12.(2分) 令x ＋12＝t ，则x ＝t －1

2，

∴只需证f (t )＝f (－t ＋1)，(6分) 即证f (x )＝f (－x ＋1)．

因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 所以函数y ＝f (x )上任一点(x ，f (x ))，

关于y 轴的对称点(－x ，f (x ))在y ＝f (x ＋1)上， 即f (－x ＋1)＝f (x )，(10分)

所以f ? ??

??x ＋12为偶函数．(12分) [名师批注]

用分析法证明，将问题转化为证明a ＝－b .此处易找错对称轴而导致解题错误

利用综合法，将函数图象的对称问题转化为两条轴关于y 轴对称．此处易出现找不到此关系式而导致问题无法证明的情况

由偶函数的定义可知，若f ? ????x ＋12为偶函数，则有f ? ????－x ＋12＝f ? ????x ＋12成立．此处易误

认为f ?

????－x －12＝f ? ????x ＋12成立而导致错误

以

上

是

用

分

析

法

证

明

的

以下是用综合法证明的

此处易发生不会利用f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称这一条件，而造成问题无法证明

[活学活用]

已知a ≥－12，b ≥－1

2，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.

证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22， 只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2. 因为a ≥－12，b ≥－1

2，

所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤a ＋

＋

b ＋

2

＝

a ＋

b ＋

2

＝2，

即2a ＋1·2b ＋1≤2成立， 因此原不等式成立．

[随堂即时演练]

1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2

＋(b －c )2

＋(c －a )2

≠0； ②a >b 与a

D ．3

解析：选C 由于a ，b ，c 不全相等中含有a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正确．

2．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2

＜(6－8)2

B ．(3－6)2

＜(5－8)2

C ．(3＋8)2

＜(6＋5)2

D ．(3－5－6)2

＜(－8)2

解析：选C 要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2

＜(6＋5)2成立．

3．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，

求证：? ????1a

－1? ????1b

－1? ??

??1c

－1≥8.

证明过程如下：

∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，

∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c

＞0，

∴? ????1a

－1? ????1b

－1? ??

??1c

－1＝b ＋c a

·a ＋c b

·a ＋b c

≥2bc ·2ac ·2ab abc

＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．

解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法． 答案：综合法

4．将下面用分析法证明

a 2＋

b 2

2

≥ab 的步骤补充完整：要证

a 2＋

b 2

2

≥ab ，只需证a 2

＋

b 2≥2ab ，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．

解析：用分析法证明a 2＋b 2

2

≥ab 的步骤为：

要证

a 2＋

b 2

2

≥ab 成立，只需证a 2

＋b 2

≥2ab ，

也就是证a 2

＋b 2

－2ab ≥0，即证(a －b )2

≥0. 由于(a －b )2

≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a 2

＋b 2

－2ab ≥0 (a －b )2

≥0 (a －b )2

≥0 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：

a b ＋b

a

≥ a ＋b .(要求用两种方法证明) 证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0， 所以

a b ＋b a

－a －b ＝? ????a b －b ＋? ????

b a －a

＝a －b b ＋b －a a

＝(a －b )·? ????

1b －1a

＝

a －b

2

a ＋b

ab

≥0，

所以

a b ＋b

a

≥a ＋b . 法二：(分析法)要证

a b ＋b

a

≥ a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，

即证(a －b )(a －b )≥0. 因为a ＞0，b ＞0，

所以a －b 与a －b 符号相同， 不等式(a －b )(a －b )≥0成立， 所以原不等式成立．

[课时达标检测]

一、选择题

1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

解析：选C ①②③⑤正确．

2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )

A ．f (x )＝1x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝? ??

??1x ′

＝－1

x

2＜0，

∴f (x )＝1

x

在(0，＋∞)上为减函数．

3．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b

的等比中项，则1a ＋1b

的最小值为( )

A ．8

B ．4

C ．1 D.1

4

解析：选B

3是3a 与3b 的等比中项?3a ·3b ＝3?3

a ＋b

＝3?a ＋b ＝1，

因为a ＞0，b ＞0， 所以ab ≤

a ＋

b 2＝1

2?ab ≤1

4

， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1

1

4

＝4.

4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )

高中数学选修2-3知识点汇编 (2)

高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x成立”，记作“x ?∈M，() p x”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x成立”，记作“x?∈M，() p x”． 10、全称命题p：x ?∈M，() p x，它的否定p ?：x?∈M，() p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 12 F F）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 原命题逆命题否命题逆否命题真真真真 真假假真 假真真真 假假假假

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案(23套,含答案)

1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④

高中数学选修2-3答案

选修2-3课本例题习题改编 1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第四题）改编1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁 也 不 能 相 邻 ， 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法 （ ）A ．336 B ．408 C ．240 D ．264 解：方法数为：选 改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同 时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ． B ． C ． D ． 解：若同学甲坐在四角的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在四边（不在角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在中间（不在四边、角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；故所求概率为答 案选 2.原题（选修2-3第二十七页习题 1.2A 组第九题）改编 1 在正方体 的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成 直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为_________． 解：如图，分别为相应棱上的中点，容 易证明正六边形，此时在正六边形上有条，直 线与直线垂直；与直线垂直的平面还有平面、平面、 平面、平面，共有直线条．正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线（每条棱上如直线其实 为一条），故对角线垂直的概率为 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A ） （B ） （C ） （D ） 解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意 625224 6252242336,A A A A A A -+=.A ????276119272 119136119138119 42112208194211220819119 ,2423138 ?+?+?=?.D 1111ABCD A B C D -1BD ,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 1BD ⊥EFGHIJ 2 615C =1BD 1BD ACB NPQ KLM 11A C B 2 3412C ?=1111ABCD A B C D -22 20312(1)166C C -?-=,,AE ED AD 1BD 151227 .166166 +=1752753754 75 ???? ?B C D E F 图4

高中数学选修1-1第一章复习题

数学选修1-1复习资料 第一章 知识要点: 1、命题的概念及四种命题的关系 要求：（1）会判断命题的真假；（2）会写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题； （3）了解四种命题的关系。 2、充分条件和必要条件 3、逻辑联结词“且”、“或”、“非”。 4、含有一个量词的命题的否定。 5、用反证法证明命题。 一．选择题： 1、下列语句中不是命题．．．． 的是（ ） A 、空集是任何集合的真子集 B 、若整数a 是素数，则a 是奇数 C 、x>2 D 、12>6 2、有下列命题：①2 0ax bx c ++=是一元二次方程；②四条边相等的四边形是正方形；③若,a b R ∈，且ab>0，则a>0且b>0；其中真命题．．．的个数．．为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 3、一个命题的否命题．．．为真，则这个命题的逆命题．．．（ ） A ．一定为假 B.一定为真 C.可能为假 D. 不能确定 4、命题“方程2 1x =的解是1x =±”，使用逻辑联结词的情况是（ ） A ．使用了逻辑联结词“非” B.使用了逻辑联结词“或” C ．使用了逻辑联结词“且” D.没有使用逻辑联结词 5、“1 4 m =- ”是直线mx+(m+1)y+1=0与直线(m-2)x+3my-2=0相互垂直的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、p ：三角形全等； q ：三角形面积相等； 则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 7、设p, q 是两个命题，若p q ∧为真，则（ ） A ．p 真，q 真 B 、p 真，q 假 C 、p 假，q 真 D 、p 假，q 假 8、设p, q 是两个命题，若p q ∨为真，且p ?为真，则（ ） A ．p 不一定是假命题 B 、q 一定是真命题 C 、q 不一定是真命题 D 、p 与q 同为真 9、“用反证法证明命题“如果x5 1y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、5 1 x ＝51 y B 、51x <51 y C 、51x ＝51y 或51x <51 y D 、51x ＝51y 或51x >5 1y

高中数学选修2-2-2-3知识点

-可编辑- 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割 线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ', 即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 考点：导数的求导及运算 ★1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ， 4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19.3 16 .3 13.3 10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4 1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2 932 y x = +与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】

4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学选修11人教A教案导学案充分条件与必要条件

1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）

高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结

第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的 方法，在第二类办法中有M 2种不同的方 法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的 方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要 分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的 方法，做第二步有M 2不同的方法，……， 做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件 事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元 素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个 元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+

7、二项式定理 ：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 9.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2n n C -，1 2n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L 第二章 随机变量及其分布 知识点： （3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着 试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、 Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 （4）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于随机变量X 可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量．

人教版高中数学选修2-3学案 全册

§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） ※学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m 1 种不同的方法，做 第2步有m 2种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？ 2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：分类计数原理 问题1：P2思考题1 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用，有___ 种方法; 第二类方法用，有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法，那么，完成这件工作共有n 试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是. 反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理 问题2：P3思考题2 分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个. 新知：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法，那么，完成这件工作共有n 试试：P4例2

高中数学选修2-1学案：1.1.1命题

1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.

知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故

高中数学教材选修2-3知识点

高中数学选修2-3知识点汇总 目录 第一章计数原理 (2) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 (2) 二项式定理 (2) 第二章随机变量及其分布 (3) 第三章统计案例 (6)

高中数学选修2-3知识点总结 第一章计数原理 知识点： 分类加法计数原理 做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 二项式定理 ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101()

最新人教版高中数学选修11知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1 F ， 2 F 的距离之和等于常数（大于 12 F F ）的点的轨迹称为 椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

高中数学教材选修2-2知识点

高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)

高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式

常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

高中数学必修4全套学案

第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类：

1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360°

课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、

高中数学 选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.