完全平方数

完全平方数的性质

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…

观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是4,5,6,9,1,0。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

推论3：如果一个自然数的个位数字不是4也不是6，则它的完全平方数的十位数字一定是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

关於完全平方数的数字和有下面的性质：

性质7：完全平方数的数字和只能是0,1,4,7,9。

除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

性质8：一个正整数是完全平方数的充分必要条件是有奇数个因数(包括1和它本身)。

(二)重要结论

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

7.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

例1. 9 450乘以某个正整数，积为完全平方数．求符合条件的最小正整数．

解：∵9450＝2×33×52×7，

(2×33×52×7)×(2×3×7)＝(2×32×5×7)2是一个完全平方数．

∴所求符合条件的最小正整数为2×3×7＝42．

例2 若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。

分析与解答:

根据性质1、性质2、性质3 ：末4位数字只能是0000，4444 若是0000，则有无数解。若是4444，设4444前面的数为X

有X×10000+4444是一个完全平方数。

X×10000+4444

=4×（2500X+1111）

因为4是平方数，要求2500X+1111也是平方数，而2500X+1111末两位是11，不可能是平方数。所以末4位如果是4444，无解。只能是n×1002

例3 试证：不论a、b是怎样的整数，15a一35b＋3都不可能是一个完全平方数．

分析显然当a、b为整数时，5(3a一7b)必是5的倍数，故它的末位数字只能是0或5．由此，可推出5(3a一7b)+3的末位数字只能是3或8．根据完全平方数的性质1即可证得本命题．

例4试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。

解：设此数为aabb，则：aabb=a0b×11

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为共(2、9),(9、2),(3、8),(8、3) (4、7),(7、4) ,(5、6),(6、5)

等8组可能。其中，第2 、3、 4、 5、7、8组不成立。直接验算，可知此数为7744=88。

例5．当1444…4（共有N个4）是完全平方数时，正整数N的值有多少个？

【解析】14=2*7

144=12*12

1444=4*361=38*38

14444=4*3611

144444=4*36111

因为根据个位数字为1的平方数，十位数字必须为偶数判断361.。。111不是平方数，所以n只能取2，3两个数

例6．证明3（5n+1）不是平方数（n为自然数）。

【解析】证明：（1）假设n为奇数：不管n为哪个奇数，5n的末位数一定是5。这样，式子变成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对。（2）如果n为偶数，这样5n末位一定为0。式子现在又变成了：3×（0+1），等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。例7．已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．

【解析】由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．

解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．

∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．

也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．

例8．一个质数，它是两位数，加上6后得到的数是完全平方数，问这样的数有几个？分别是那些？

【解析】两位数的完全平方数有：16,25,36,49,64,81,100

在减6分别为：10,19,30,43,58,75,94 。其中质数为：19,43

所以答案为2个

例9．自然数的平方按从小到大排成一行：14916253649……问：第612个位置上的数字是多少？

解：解答此题时我们要考虑，自然数的平方哪些是一位数，哪些是两位数，哪些是……

平方后得一位数的有：1～3，共用数字3个；

平方后得两位数的有：4～9，共用数字6×2=12个；

平方后得三位数的有：10～31，共用数字22×3=66；

平方后得四位数的有：32～99，共用数字68×4=272；

平方后得五位数的有：100～316，共用数字217×5=1085

（612-3-6×2-22×3-68×4）÷5

=259÷5

=51 (4)

也就是一直到平方后得五位数的第52个数平方后,所得数的第四个数字.由以上分析我们知道，第52个平方后得五位数的数是151，因为151×151=22801所以第612个位置上的数字是"22801"中的数字"0"

答：第612个位置上的数字是0.

完全平方数练习题

1．求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数。

2．在12，22，32…，352这35个数中，十位数字是奇数的数共有几个？3．一个两位数，与它的平方的末两位数相同，这样的两位数是多少？

4．46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是多少？

5．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是多少？

6．把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？

7．将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：1491625364964…第11位上的数字是9，第88位上的数字是？