中考数学总复习专题---翻转折叠问题
【专题点拨】
图形折叠是中考中常考题型,这种题型主要考察学生对图形的认
知,特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形
等知识综合运用。
【解题策略】
有关图形折叠的相关计算,首先要熟知折叠是一种轴对称变换,
即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称;然后根据图形折叠的性质,即折叠前、后图形的对应边和对应角相等,对应点的连线被折痕垂直
平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.
【典例解析】
类型一:三角形折叠问题
例题1:(·浙江省湖州市·3分)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得
∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是()
A.4 B. C.3D.2
【考点】翻折变换(折叠问题);四点共圆;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与性质.
【分析】只要证明△ABD∽△MBE,得=,只要求出BM、BD即可解决问题.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠DAC=∠ACD,
∴∠DAC=∠AB C,
∵∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴=,
∴=,
∴CD=,BD=BC﹣CD=,
∵∠DAM=∠DAC=∠DBA,∠ADM=∠ADB,
∴△ADM∽△BDA,
∴=,即=,
∴DM=,MB=BD﹣DM=,
∵∠ABM=∠C=∠MED,
∴A、B、E、D四点共圆,
∴∠ADB=∠BEM,∠EBM=∠EAD=∠ABD,
∴△ABD∽△MBE,
∴=,
∴BE===.
故选B.
变式训练1:
(·吉林·3分)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方
式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为(用含a的式子表示).
类型二:平行四边形折叠问题
例题2:(·湖北武汉·3分)如图,在□ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B =52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为_______.
【考点】平行四边形的性质
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠EAD,=∠DAE=20°,∠AED,=∠AED=180°-∠DAE -∠D=180°-20°-52°=108°,
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∴∠FED′=108°-72°=36°.
变式训练2:
(河北3分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°,则∠B为()
第13题图
A.66°B.104°C.114°D.124°
类型三:矩形折叠问题
例题3:(贵州毕节3分)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是()
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】正方形的性质;翻折变换(折叠问题).根据折叠的性质可得DH=EH,在直角△CEH中,若设CH=x,则DH=EH=9﹣x,CE=3cm,可以根据勾股定理列出方程,从而解出CH的长.
【解答】解:由题意设CH=xcm,则DH=EH=(9﹣x)cm,
∵BE:EC=2:1,
∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,
即(9﹣x)2=32+x2,
解得:x=4,即CH=4cm.
故选(B)
变式训练3:
(·四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
类型四:菱形折叠问题
例题4:(·四川攀枝花)如图,正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G,连结GF,给出下列结论:①∠ADG=22.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;
④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG;⑥若S△OGF=1,则正方形ABCD的面积是6+4,其中正确的结论个数为()
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】四边形综合题.
【分析】①由四边形ABCD是正方形,可得∠GAD=∠ADO=45°,又由折叠的性质,可求得∠ADG的度数;
②由AE=EF<BE,可得AD>2AE;
③由AG=GF>OG,可得△AGD的面积>△OGD的面积;
④由折叠的性质与平行线的性质,易得△EFG是等腰三角形,即
可证得AE=GF;
⑤易证得四边形AEFG是菱形,由等腰直角三角形的性质,即可得BE=2OG;
⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF,AB=GF,再由∠BAO=45°,∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形,由S△OGF=1求出GF的长,进而可得出BE及AE的长,利用正方形的面积公式可得出结论.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠GAD=∠ADO=45°,
由折叠的性质可得:∠ADG=∠ADO=22.5°,
故①正确.
∵由折叠的性质可得:AE=EF,∠EFD=∠EAD=90°,
∴AE=EF<BE,
∴AE<AB,
∴>2,
故②错误.
∵∠AOB=90°,
∴AG=FG>OG,△AGD与△OGD同高,
∴S△AGD>S△OGD,
故③错误.
∵∠EFD=∠AOF=90°,
∴EF∥AC,
∴∠FEG=∠AGE,
∵∠AGE=∠FGE,
∴∠FEG=∠FGE,
∴EF=GF,
∵AE=EF,
∴AE=GF,
故④正确.
∵AE=EF=GF,AG=GF,
,
∴AE=EF=GF=AG
∴四边形AEFG是菱形,
∴∠OGF=∠OAB=45°,
∴EF=GF=OG,
∴BE=EF=×OG=2OG.故⑤正确.
∵四边形AEFG是菱形,
∴AB∥GF,AB=GF.
∵∠BAO=45°,∠GOF=90°,∴△OGF时等腰直角三角形.∵S△OGF=1,
∴OG2=1,解得OG=,
∴BE=2OG=2,GF===2,
∴AE=GF=2,
∴AB=BE+AE=2+2,
∴S正方形ABCD=AB2=(2+2)2=12+8,故⑥错误.
∴其中正确结论的序号是:①④⑤.
故选B.
【点评】此题考查的是四边形综合题,涉及到正方形的性质、折
叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此
题综合性较强,难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意
数形结合思想的应用.
变式训练4:
(·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A 落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为﹣1 .
类型五:圆的折叠问题
例题5:(?聊城)如图,点O是圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使和都经过圆心O,则阴影部分的面积是⊙O面积的()
A. 1
2 B. 1
3
C. 2
3
D.3
5
2. 解:作OD⊥AB于点D,连接AO,BO,CO,∵OD=AO,
∴∠OAD=30°,
∴∠AOB=2∠AOD=120°,
同理∠BOC=120°,
∴∠AOC=120°,
∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积.
故选:B.
变式训练5:
(·山东省德州市·4分)如图,半径为1的半圆形纸片,按如
图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是.
【能力检测】
1.(·黑龙江龙东·3分)如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为.
2.(?湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
3.(·浙江省绍兴市·5分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,E是AB的中点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点A 恰好落在直线l上,则DF的长为.
4.(·重庆市A卷·4分)正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADO交AC于点E,把△ADE沿AD翻折,得到△ADE′,点F是DE的中点,连接AF,BF,E′F.若AE=.则四边形ABFE′的面积是多少?
5.(?咸宁)如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).
(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;
(2)如图2,双曲线y=与新函数的图象交于点C(1,a),点D 是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.
①试求△PAD的面积的最大值;
②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.
【参考答案】
变式训练1:
(·吉林·3分)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方
式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为3a (用含a的式子表示).
【解析】翻折变换(折叠问题).由折叠的性质得出BE=EF=a,DE=BE,则BF=2a,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a,即可得出△DEF的周长.
【解答】解:由折叠的性质得:B点和D点是对称关系,DE=BE,则BE=EF=a,
∴BF=2a,
∵∠B=30°,
∴DF=BF=a,
;
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a
故答案为:3a.
变式训练2:
(河北3分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点
B’处.若∠1=∠2=44°,则∠B为()
第13题图
A.66°B.104°C.114°D.124°
【解析】平行线的性质,折叠关系。
【解答】:因为AB∥CD,∠1=∠B'AB,由于折叠,
∠BAC=∠B'AC=22°,在△ABC中,∠B=180°-∠ACB-∠CAB=114°。
变式训练3:
(·四川南充)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠
2=∠4,再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3,进而得出答案.【解答】解:如图所示:由题意可得:∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°,
则NG=AM,故AN=NG,
则∠2=∠4,
∵EF∥AB,
∴∠4=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°,
∴∠DAG=60°.
故选:C.
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质,正
确得出∠2=∠4是解题关键.
变式训练4:
(·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A 落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为﹣1 .
【考点】翻折变换(折叠问题);菱形的性质.
【分析】过点M作MF⊥DC于点F,根据在边长为2的菱形ABCD
,从而得到∠FDM=60°,中,∠A=60°,M为AD中点,得到2MD=AD=CD=2
∠FMD=30°,进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可.【解答】解:如图所示:过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,
,∠FDM=60°,
∴2MD=AD=CD=2
∴∠FMD=30°,
∴FD=MD=,
∴FM=DM×cos30°=,
∴MC==,
∴EC=MC﹣ME=﹣1.
故答案为:﹣1.
变式训练5:
(·山东省德州市·4分)如图,半径为1的半圆形纸片,按如
图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是﹣.
【考点】扇形面积的计算;翻折变换(折叠问题).
【分析】连接OM交AB于点C,连接OA、OB,根据题意OM⊥AB 且OC=MC=,继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=,然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案.
【解答】解:如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,
由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=,
在RT△AOC中,∵OA=1,OC=,
∴cos∠AOC==,AC==
∴∠AOC=60°,AB=2AC=,
∴∠AOB=2∠AOC=120°,
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
=﹣××
=﹣,
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=π×12﹣2(﹣)
=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三
角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用,解答时运用轴对称的性质求解是关键.
【能力检测】
1.(·黑龙江龙东·3分)如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为.
【解析】翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质;坐标与图形
变化-平移.据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A 纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.【解答】解:解:∵△AB C是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×=+1,
横坐标为2,
∴A(2, +1),
第次变换后的三角形在x轴上方,
点A的纵坐标为+1,
横坐标为2-×1=-,
所以,点A的对应点A′的坐标是(-,+1)
故答案为:(-,+1).
2.(?湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
(1)求证:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
【解答】证明:(1)∵∠C=90°,△ACD沿AD折叠,
∴∠C=∠AED=90°,
∴∠DEB=∠C=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC;
(2)由勾股定理得,AB=10.
由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°.
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8﹣CD)2,