第十一章电磁感应、电磁场

电磁感应与电磁波

一、选择题

1. CE

2. B

3. D

4. D

5. E

6. B

7. C

8. C

9. B 10. C 二、填空题 1. dt

d m i φε-

=，磁通量随时间的变化率，阻碍磁通量的变化,i ε＝12t ＋7V

2. a

3.洛伦兹力， B v E K ?=,B v

?(或：正电荷所受洛伦兹力)，感生电场力

4. 5×10－4

Wb 5. ADCBA 绕向，ADCBA 绕向 6. ε＝l 1l 2ωB 0cos ωt 7. 垂直纸面向里，垂直

OP 连线向下 8. μnI ，μn 2I 2

／2 9. 变化的电场(位移电流)能激发磁场，变化的磁场能激

发感生电场（涡旋电场），s d t D j l d H l S c

???+=????)(

11.2 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为

t

Φ)s 100sin()Wb 10

0.8(1

5

--?=π，求在s

10

0.12

－?=t

时，线圈中的感应电动势。

解: 线圈中总的感应电动势

t

t

ΦN

)s 100cos()V 51.2(d d 1

-=-=πε

当 s 100.12

－?=t 时， ε= 2.51 V 。

11.4有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以

t

I d d 的变化率增长。若有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求

线圈中的感应电动势。 解： 穿过面元d s 的磁通量为

x x

I

x d d x I

Φd 2d )

(2d d d d 0021πμπμ-

+=

?+?=?=S B S B S B

因此穿过线圈的磁通量为 4

3ln

2d 2d )

(2d 02020π

μπμπμId

x x

Id

x d x Id

ΦΦd d

d d

=

-

+==

?

??

再由法拉第电磁感应定律，有 t I d

t Φ

d d 43ln 2d d 0??? ??=-

=π

με 11.10 如图所示，金属杆 AB 以匀速v = 2.0 m/s 平行于一长直导线移动，此导线通有电流

I = 40 A 。问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？ 解：杆中的感应电动势为

V 10

84.311ln 2d 2d )(5

01.11

.00AB

AB -?-=-

=-=??=

?

?

π

μπμεIv

x v x

I

l B v

式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高。

解法2：对于图，设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为d x 、长为y 的面元d s ，则穿过面元的磁通量为

x y x

I

Φd 2d d 0πμ=

?=S B

穿过回路的磁通量为

11

ln 2d 2d 01.11

.00π

μπμIy x y x

I ΦΦS

-

==

=

?

?

回路的电动势为

V 10

84.311ln 2d d 11

ln 2d d 5

00-?-=-

=-

==

π

μπ

μεIv

t

y I

t

Φ

由于静止的U 形导轨上电动势为零，所以

V 10

84.35

AB -?-==εε

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点A 电势较高。

11.15半径R=2.0cm 的“无限长”直截流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零，若通电电流均匀变化，使得磁感强度B 随时间的变化率dB/dt 为常量，且为正值。试求：（1）管内外由磁场变化而激发的感生电场分布；（2）如dB/dt=0.01.T ·s 1

-，

求距螺线管中心轴r=5.0cm 处感生电场的大小和方向。

解：

11.18 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L 。

解：设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图所示，由安培环路定理可求得在R B

1B

＜r ＜R B

2B

范围内的磁场分布为

x

NI

B πμ20=

由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为

1

22

00ln

2d 2d 21

R R hI

N x h x

NI

N

N

ΨS

R R ?

?

=

=?=π

μπμS B

则 1

22

0ln

2R R h

N I

ΨL π

μ=

=

。

若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为r μ，则自感将增大r μ倍。

11.19 一空心长直螺线管，长为0.50 m ，横截面积为例10.0cm P

2

P

，若螺线管上密绕线圈

3.0310?匝，问：（1）自感为多大？（2）若其中电流随时间的变化率为1s A 10-?，自感电动势的大小和方向如何？ 解：（1）长直像线管的自感为

H 10

26.22

2

2

0-?===L

S N V n L μμ

2）当

1

s A 10d d -?=t

I 时，线圈中的自感电动势为

V 226.0d d -=-=t

I L

L ε

负号表明，当电流增加时，自感电动势的方向与回路中电流I 的方向相反。 11.21有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d 。试求长为l 的一对导线的自感。（导线内部的磁通量可略去不计） 解：

在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I 时，两平行导线间r

r r d +→位置的点

的磁感强度为

()

r d I

r

I

B -+

=

πμπμ2200

穿过图中阴影部分的磁通量为

a

a d Il r Bl Φa d a

S -=

=

?=

?

?-ln

d d 0π

μS B

则长为l 的一对导线的自感为

a

a d l I ΦL -=

=

ln

0π

μ

11.27 一个直径为0.01 m ，长为0.10 m 的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Q 。求：（1）如把线圈接到电动势V 0.2=ε的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？

解：（1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感l

S N L

02

μ=，电流稳定后，线圈中电流

R

I ε

=

，则线圈中所储存的磁能为

J

10

28.32215

2

2

022

m -?==

=

lR

S N LI

W εμ

在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度3

m m m

J 17.4-?==

Sl

W w

显然，对于均匀磁场来说，m w 处处相等。

（2）自感为L ，电阻为R 的线圈接到电动势为ε的电源上，其电流变化规律

)1(t

L

R e

R

I -

-=

ε

，当电流稳定后，其最大值R

I ε

=m

按题意

??

?

??=2m

2

2

1

212

1LI LI

，则R I ε2

2=，将其代入???

?

?

?

-=-t

L R e R I 1ε中，得

(

)

s

10

56.122ln 221ln 4

-?=+=???? ??--

=R L

R L

t

11.28一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I 。试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为16/2I μ。

证：本题中电流激发的磁场不仅存在于导体内(当r ＜R 时，2

012R

Ir

B πμ=

)，而且存在于导体外(当

R r >时，r

I

B πμ202=

)。由于本题仅要求单位长度导体内所储存的磁能，故用公式?

=

V

m d V

w W m 计算为宜，取长为单位长度，半径为r ，厚为d r 的薄柱壳（壳层内w B

m B

处处相同）为体元d V ，

则该体元内储存的能量

r

r R

Ir

W d 2])2(

21

[

d 2

2

00m ππμμ=，单位长度导线内贮存的磁能为

π

μππμ16d 28d 2

00

4

2

220m

m I

r r R

r

I W

W R =

=

=

?

?

11.29 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与T

50.0-的均匀磁场中的磁场能量密度

相等，该电场的电场强度为多少？ 解：0

2

m 2

0e

2,2

1μεB

w E w =

=，按题意，当w B

e B

= w B

m B

时，有0

2

2

022

1

μεB

E

=

则

1

8

0m

V 1051.1-??==

μεB

E

11.30 设有半径R = 0.20 m 的圆形平行板电容器，两板之间为真空，板间距离 d = 0.50 cm ，以恒定电流 I = 2.0 A 对电容器充电。求位移电流密度（忽略平板电容器的边缘效应，设电场是均匀的）。

解：忽略电容器的边缘效应，电容器内电场的空间分布是均匀的，因此板间位移电流

2

d d d R

j S j I s

d π=?=

?

，由此得位移电流密度的大小为