双曲线1
2011年高考数学复习：8.7双曲线（1）
? 2012 菁优网
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1、（2005?福建）已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）
A、B、
C、D、5
2、（2004?辽宁）已知点F1（﹣，0）、F2（，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点P的纵坐标是时，点P 到坐标原点的距离是（）
A、B、
C、D、2
3、（2008?辽宁）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）
A、1
B、2
C、3
D、4
4、设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且?=0，则|+|=（）
A、B、2
C、D、2
5、F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）
A、1+
B、2+
C、3﹣
D、3+
6、斜率为2的直线l过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A、e
B、1＜e
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
7、A、F分别是双曲线9x2﹣3y2=1的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若∠PFA=λ?∠PAF，则λ=_________．
8、（2008?山东）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+8=0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件双曲线的标准方程为_________．
9（a＞0，b＞0）的离心率是2
_________．
三、解答题（共3小题，满分0分）
10、已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，且过点（4，．点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2；
（3）求△F1MF2面积．
11（a＞0，b＞0）的离心率l过A（a，
0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N﹣23，求直线m的方程．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1、（2005?福建）已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）
A B
C D、5
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．
解答：解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，
故满足条件的点在双曲线右支上，
则|PA|的最小值为右顶点到A的距离
故选C．
点评：本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．
2、（2004?辽宁）已知点F10）、F20），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点
P P到坐标原点的距离是（）
A B
C D、2
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：由已知题设条件得a=1，b=1，点P的轨迹为双曲线x2﹣y2=1，将
得到P点坐标，从而求出点P到坐标原点的距离．
解答：解：由已知得a=1，b=1，点P的轨迹为双曲线x2﹣y2=1，
将x2
∴
故选A．
点评：本题考查双曲线的定义和两点间距离公式，解题注意仔细审题，避免错误．
3、（2008?辽宁）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0m=
（）
A、1
B、2
C、3
D、4
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：由双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0mx﹣3y=0，再由
m．
mx﹣3y=0，
故选D．
点评：本小题主要考查双曲线的知识，解题时要注意恰当选取取公式．
4、设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且
，则（）
A B、
C D、
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：由点P在双曲线上，且?=0可知
|+|=2||=||．由此可以求出
的值．
解答：解：设F1、F2分别是双曲线x2的左、右焦点．
∵点P，
故选B．
点评：把转化为是正确解题的关键步骤．
5、F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）
A、B、
C、3
D、
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：先由△F1PF2是等腰直角三角形得|F1F2|=|PF2|，再把等量关系转化为用a，c来表示即可求双曲线C的离心率．解答：解：由△PF1F2为等腰直角三角形，又|PF1|≠|PF2|，
从而得c2﹣2ac﹣a2=0，即e2﹣2e﹣1=0，
解之得
∵e＞1，∴
故选：A．
点评：本题是对双曲线性质中离心率的考查．求离心率，只要找到a，c之间的等量关系即可求．是基础题．
6、斜率为2的直线l（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A、e
B、1＜e
C、1＜e
D、e
考点：直线的斜率；双曲线的应用。
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．
解答：解：依题意，结合图形分析可知，2，
2，
因此该双曲线的离心率
故选D．
点评：本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题．
二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
7、A、F分别是双曲线9x2﹣3y2=1的左顶点和右焦点，P是双曲线右支上任一点，若∠PFA=λ?∠PAF，则λ=2．考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：取点P1），得∠PFA=2∠PAF，从而得到λ的值．
解答：解：过F x．
取点P1），则PF=PB=1，得∠PFA=2∠PAF，故λ=2．
答案：2
点评：在解选择题或填空题时，特殊值法是的个省时省力的好方法．
8、（2008?山东）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+8=0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适
考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：计算题。
分析：先在圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+8=0的方程中令y=0得出圆C与坐标轴的交点，从而得出双曲线的a，c，b值，最后写出双曲线的标准方程即可．
解答：解：圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+8=0，
令y=0可得x2﹣6x+8=0，
得圆C与坐标轴的交点分别为（2，0），（4，0），
则a=2，c=4，b2=12，
点评：本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、双曲线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
9（a＞0，b＞0）的离心率是2
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：（a＞0，b＞0）的离心率是2，由此得
到a，b，c
解答：?a2+b2=4a2?3a2=b2，
当
点评：本题考查双曲线的离心率及其应用，解题要注意不要和椭圆弄混了．
三、解答题（共3小题，满分0分）
10、已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，且过点（4，．点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2；
（3）求△F1MF2面积．
考点：双曲线的标准方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；双曲线的简单性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）双曲线方程为x2﹣y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出?的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出
，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
解答：解：（1）∵可设双曲线方程为x2﹣y2=λ．
∵过点（4，∴16﹣10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2﹣y2=6．
（2（﹣3﹣m）（3，﹣m），
（×（3﹣+m2
=﹣3+m2，
∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，即m2﹣3=0，
．
（3）△F1MF2的底|F1F22）知
∴△F1MF2的高S△F1MF2=6．
点评：本题考查双曲线的标准方程、2个向量的数量积、双曲线的性质．
11（a＞0，b＞0）的离心率l过A（a，
0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N﹣23，求直线m的方程．
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
分析：（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．
（2）设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2y，得（1﹣
3k2）x2+6kx﹣6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．
解答：解：（1）依题意，l，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为
∴b=1，
y2=1．
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，
则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2
消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①
依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，
知x1+x2x1x2
=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）
=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1
．
﹣23，
﹣23，
当有两个不相等的实数根，
∴方程为﹣1或y=﹣1．
点评：本题是双典线的综合题，重点考查双曲线的性质及其应用，具有一定的难度．解题时要注意根与系数的关系的灵活运用．
12、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．
考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。
专题：计算题。
分析：（1）设双曲线的标准方程，进而可知a和c的值，进而求得b，双曲线方程可得．
（2）设A（x A，y A），B（x B，y B），把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式和韦达定理求得k的范围．（3）根据（1）中的x A+x B求得y A+y B的表达式，则AB的中点P的坐标可得，设出直线l0的方程，将P点坐标代入直线l0的方程求得b和k的关系是，进而根据k的范围确定b的范围．
解答：解：（1（a＞0，b＞0）．
由已知得：c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，
∴y2=1．
（2）设A（x A，y A），B（x B，y B），
将y2=1，
得（1﹣3k2）x2﹣﹣9=0．
k＜1．
∴k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
（3）由（2）得：x A+x B
=k（x A+x B）
∴AB的中点P．
设直线l0的方程为：y=，
将P点坐标代入直线l0的方程，得
k＜1，∴﹣2＜1﹣3k2＜0，
∴b＜﹣
∴b的取值范围为（﹣∞，﹣．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的关系．考查了学生综合分析问题和运算的能力．
参与本试卷答题和审题的老师有：
caoqz115588；yhx01248；zlzhan；庞会丽；qiss；zhwsd。（排名不分先后）菁优网
2012年2月15日
双曲线的简单几何性质总结归纳
双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，
双曲线几何性质 (1)
百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质 学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境 类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？ 二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完） 问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？ 问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程 图象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3） 三、归纳反思 椭圆和双曲线几何性质的比较： 椭圆双曲线定义 标准方程 图形 (顶点坐 标) (焦点坐 标) 范围 轴 对称轴 (对称中 心) 离心率 及其范围 a,b,c关系 渐近线
打印双曲线基础训练题(含答案)
: 双曲线基础训练题（一） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 8．双曲线方程为 152||2 2=-+-k y k x ，那么k 的取值范围是 （ D ） A ．k ＞5 B ．2＜k ＜5 C ．－2＜k ＜2 D ．－2＜k ＜2或k ＞5 9．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ D ） A ．x 2 －4y 2 =1 B ．x 2 －4y 2 ＝1 C ．4x 2 －y 2 =－1 D ．4x 2 －y 2 =1 10．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （C ） A ．1或5 B ． 6 C ． 7 D ． 9 11．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线 的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ） A ． 4 3 B ． 5 3 C ．2 D ． 73 — 12．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的一 个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ） A ． c a B ． c b C ． e a D ． e b 13．双曲线)1(122 >=-n y n x 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ） 《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程 抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M 双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程? 问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 . 双曲线基础练习 、选择题: 1 .已知a 3, c 5，并且焦点在X轴一上，则双曲线的标准程是（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) x y 1 ( B) x y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 .已知b 4,c 5,并且焦点在y轴 上， 则双曲线的标准方程是（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) X y 1 (B) X y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 16 9 16 9 9 16 9 16 2 2 3.. 双曲线 —J 1上P点到左焦点的距离是6,则P到右焦点的距离是（）16 9 （A）12 （B）14 （C）16 （D）18 2 2 4.. 双曲线—y 1的焦点坐标是（） 16 9 （A）（5, 0）和（-5 , 0）（B）（0, 5）和（0,-5 ） (C) (0, 5)和(5, 0) (D) (0, -5 )和(-5 , 0) 5、方程J(x 5)2y2V(x 5)2 2 y 6化简得：（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)—y 1 (B)x y 1 (C)—y 1 (D) x y 1 9 16 16 9 9 16 16 9 6.已知实轴长是6,焦距疋10的双曲线的标准方程是（ 是（) (A) . x 2y2 1和 2 x 匸1 2 2 (B) x y1和x2匸1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 2 2 2 2 2 2 2 (C)—y 1和x y 1 (D) x y 1 和x y 1 16 9 16 9 25 16 16 25 7.过点A (1,0)和 B B;2,1）的双曲线标准方程（) (A) x22y2 1 (B) 2 2 x y 1 (C) x2y2 1 (D x2 2y2 1 2 2 8. P为双曲线—y 1上一点，A、B为双曲线的左、右焦点，且AP PB，贝V PAB的 16 9 北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 2.3.1 双曲线的标准方程 【教学目标】: 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教具】：多媒体、实物投影仪 【教学过程】: 一.情境设置 (1)复习提问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题1：椭圆的定义是什么？ 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ (2)探究新知: (1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。 (2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？ ②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？ ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？ （请学生回答：应小于|F 1F 2| 且大于零，当常数等于|F 1F 2| 时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2| 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1F 2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即: （4）化简方程 由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项两边平方得 ()(), 22 22 2a y c x y c x =+-- ++()()a y c x y c x 22 22 2±=+-- ++ 课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O &下列双曲线既有相同离心率，又有相同渐近线的是（ ) 《双曲线的方程》练习 一、选择题: 1、已知动点P 到F i （-5,0）的距离与它到F 2（5,0）的距离的差等于 2 x 2 y =1 A . 9 16 2 2 C . x y = 1(x _ -3) 9 16 16 2 2 D . 1r1r 1(x -3) 2、设 j ,则方程x 2cosv y 2 sinv -1表示的曲线是（ ） 12丿 3、双曲线x 2 -y 2 = 1上一点，它与两焦点连线互相垂直，则该点的坐标是（ (屈 伍、 A . ---- , ------ 12 2 2 4、两条直线X 二 —把双曲线焦点间的距离三等分，则双曲线的离心率是（ ） C 5、方程 Ax 2 By 2 C =0( A 0,B ：： 0, C ::: 0)表示() B .焦点在x 轴上的双曲线 4 5 4 5 A . B .-- C . -— D.- 5 4 5 4 7、渐近线为 --y -0的双曲线方程- .宀曰 / 定是（ ) a b c .焦点在y 轴上的双曲线 D .椭圆 2 2 6、双曲线- —=1的两条渐近线夹的锐角的正切值是（ ） 16 25 2 2 x 2 a 2 y_ b 2 -1 2 y_ b 2 --1 C . 2 2 x_ y (ak)2 (bk)2 = 1(k =0) 2 x D .兀 a k 6,则点P 的轨迹方程是（ A ?椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 2.3 B. ■■ 3 C . 2.3 2 A .两条直线 C . D . 双曲线标准方程第一课时 ●学习目标 1掌握双曲线的定义以及有关概念 2掌握双曲线的标准方程以及类型 ●知识梳理 1双曲线的定义 2定义的变形 3双曲线的标准方程 4椭圆与双曲线的区别与联系 ●交流与展示 1。2 2 1916x y -=双曲线的焦点坐标是__________ 2。 22x y =1k 9-k k-5X 表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是_______ 3。双曲线2x 2-y 2=8的一点P 到其中一个焦点的距离为10，则P 到另外一个焦点的距离为_______ 4。求下列条件的双曲线的标准方程： 1）c=5，b=3，焦点在X 轴上 2）焦点为（0，-6），（0，6），a=3 3）以椭圆22 x y +=1169的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线 ●精讲点拨 1.已知双曲线过P 1)和P 2）两点，求双曲线的标准方程。 2.已知圆x 2+y 2-4x-9=0与y 轴的两个交点A,B 都在双曲线上，且A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等份，求双曲线的标准方程。 3。已知方程 2222x y +=1x +y =109-k k-3表示双曲线，且焦点在圆上，求实数k 的值。 ●巩固案 1.已知双曲线方程2 2 x y =1205-，那么它的焦距为______ 2.双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点为（0，3），那么k 的值为___ 322x y +=1y 15-k k-9方程 表示焦点在轴上的双曲线,则k 的范围_________ 4 22x y 121λλλ+=++表示双曲线，则的取值范围 5平面内动点P 到定点F 1（-4，0）的距离比它到定点F 2（4，0）的距离大6，则动点P 满足的方程为 6设圆过双曲线22 x y =1916-的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲 线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 7过双曲线2 2 x y =134-的焦点且与x 轴垂直的弦的长度 四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系 （二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。 双曲线练习题 1、双曲线的定义 1．设12F F ，是双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左右焦点，点P 是C 右支 上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值b C ．定值c D ．不确定，随P 点位置变化而变化 2．设双曲线 22 214x y b -=的左右焦点分别为12F F ，，过2F 的直线与该双曲线右支交于点A 、B ，且6AB =，则1ABF ?的周长为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 3．过双曲线2 2 115 y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22 PM PN -的最小值为 A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 4．如图，双曲线2 214 y x -=的左、右焦点分别是12F F ，，P 是双曲线右支上一点，1PF 与圆221 x y +=相切于点,T M 是1PF 的中点，则MO MT -= （ ） A ．1 B ．2 C ． 12 D ．32 5．已知双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是其 上一点，双曲线的离心率是2，若△F 1PF 2是直角三角形且面积为3，则双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．2 C ．2或2 D ．1或 22 6．已知双曲线C:2 2 13 y x -=的左焦点为1F ，顶点，是双曲线右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________. 7．设Ｐ是双曲线 22 1927 x y -=上一点, 12F F ，分别是左右焦点,若17PF =,则2PF =________ 8．在△ABC 中，4BC =，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且22BD CD -=，则顶点A 的轨迹方程为________． 9．设12F F ，分别为双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点.若在双曲线 左支上存在点Ｐ，满足1PF =12F F ，且1F 到直线2PF 7a ，则该双曲线的离心率e =__________． 圆锥曲线与方程（双曲线练习题） 一、选择题 1.已知方程22 121 x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ） A . B . C . D . 2.双曲线22 221(00)x y a b a b ->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与 圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A. 54 B.53 3.过双曲线22 12 y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ） 5.已知双曲线x y m 2219-=的一条渐近线的方程为y =，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线2 2 4936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 7.方程22 1()23 x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ） A.2k >或3k <- B.3k <- C.2k > D.32k -<< 二、填空题 8.过原点的直线，如果它与双曲线22 134 y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9.设为双曲线2 214 x y -=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ． 10.过双曲线 22 22 1(,0)x y a b a b -=>的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点， 以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线与圆22 420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值 范围是 ． 三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 3.2.1 双曲线 【题组一 双曲线的定义】 1．（2019·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线 B ．射线 C ．线段 D ．双曲线的一支或射线 2．（2019·上海市宜川中学高二期末）设P 是双曲线22143 y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离 之差为（ ） A ．4 B ． C ． D ． 3．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝0(|x|≥13) C ．x ＝0(|y|≥13) D ．以上都不对 4．（2020·四川内江）一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线 5．（2020·渝中）若双曲线22 :1916 x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =， 则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．6 D ．5 6．双曲线的左右焦点为F 1,F 2，过点F 2的直线l 与右支交于点P,Q ，若|PF 1|=|PQ|，则|PF 2|的值 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【题组二 双曲线定义的运用】 1．（2020·四川省遂宁市第二中学校）已知双曲线22 1259 x y -=上有一点M 到右焦点1F 的距离为18，则点M 到左焦点2F 的距离是（ ） A ．8 B ．28 C ．12 D ．8或28 2．（2020·全国高二课时练习）已知方程22 2213x y m n m n -=+-表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 A ．(–1,3) B ． C ．(0,3) D ．) 3．（2020·全国）“35m -<<”是“方程22 153 x y m m -=-+表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．（2019·绥德中学高二月考（理））方程22 111x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11k -<< B ．0k > C ．0k ≥ D ．1k >或1k <- 5．（2019·黑龙江龙凤大庆四中高二月考（文））方程22 123 x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 （ ） A ．－3＜m ＜0 B ．－3＜m ＜2 C ．－3＜m ＜4 D ．－1＜m ＜3 6．（2020·山东青岛）已知曲线C 的方程为()22 2126x y k k k -=∈--R ，则下列结论正确的是（ ） A ．当8k 时，曲线C 为椭圆，其焦距为 415+ 双曲线的几何性质（一） 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=± x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线122 22=-b y a x 的各支向 外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即0b y a x 22 22=- ⑵等轴双曲线一般可设为k y x 22=- 等轴双曲线的性质：①离心率为2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y ＝±x 且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 5.离心率： 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 双曲线 、抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是??? ??x ＝a sec φy ＝b tan φ (φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠ π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是? ?? ??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为? ??? ?x ＝2pt 2 y ＝2pt (t 为参数)． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．参数方程? ????x ＝2t 2 ， y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( ) A ．x 轴上方 B ．x 轴下方 C ．y 轴右方 D ．y 轴左方 解析：选D.原参数方程可化为y 2 ＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2 ＝4x 的参数方程的是( ) A.?????x ＝4t 2 y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝ t 2 4y ＝t ，(t 为参数) C.? ????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．? ????x ＝2t 2 y ＝2t ，(t 为参数) 解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2 ＝4x . 3．双曲线?? ?x ＝23tan α y ＝6sec α ，(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝ x 23 ，sec α＝y 6， 双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式： 1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程ｘ^2／a^２-y ＾２/b^2=1 点P(ｘ，y)在左支上 │PF1│=-(ｅx+ａ） ；│ＰＦ2│=－(ex －a) 点P(x,y ）在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-ａ 运用双曲线的定义 例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( ) A 、第一象限 Ｂ、第二象限 C 、第三象限 Ｄ、第四象限 练习1．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2． 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 ＋32 y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准 线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( ）。 (A)6x 2-4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=１ （D ）3x 2 －5 y 2=1 练习2． 离心率ｅ=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C ）充要条件 (D)不充分不必要条件 例３． 已知｜θ｜< 2 π ,直线ｙ＝－tg θ(ｘ－1)和双曲线y 2ｃo ｓ２θ－ｘ２ ＝1有且仅有一个公共点,则θ等于（ )。 (A)±6π (Ｂ）±4π （C ）±3π (D ）±12 5π 课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线 的方程为 ; 2、焦点为（0,６）,且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ） ?A.124 122 2=-y x B ． 124 122 2=-x y Ｃ． 112 242 2=-x y D. 112242 2=-y x 3. 设e 1, e ２分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率，则e １2+e 22与e 12·e 2 ２ 的大小关系是 。 ４.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双 曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A ．)+∞ B ．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ Ｄ．7 [,)4+∞ 5． 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2-4ｙ2=６0截得的弦长｜ＡB ｜＝82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=１上的任意一点，F （2，2)为一定点,l ：ｘ+y －2=0为一定直线,求证:｜PF ｜与点Ｐ到直线l 的距离d 之比等于2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为 ) ．《双曲线的参数方程》教学案2
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