求各类函数的不定积分

求各类函数的不定积分

来源：文都教育

一、连续分段函数的不定积分

求此类函数的不定积分时，先分别求出各区间段的不定积分表达式，然后由原函数的连续性确定出各积分常数的关系。

例 设1,0,()1,01,2,1x f x x x x x ?

求()f x dx ?。

解 当0x <时，1

()1f x dx dx x C =?=+??； 当01x ≤≤时，

221()(1)2f x dx x dx x x C =+=++??； 当1x >时，23()2f x dx xdx x C ==+??。

根据原函数的连续性，分别考虑在点x=0,x=1处的左右极限，可知12C C =,231112C C ++=+，解之得12312C C C ==-，从而22,0,1(),01,

2

1,12

x C x f x dx x x C x x C x ??+???

二、不同类型函数乘积的不定积分 不同类型函数相乘的不定积分，一般用分部积分法来解决（有时需要联合使用分部积分法与还原积分法）。

例 求不定积分arcsin x

x e dx e

?。 解

a r c s i n a r c s i n ()a r c s i n x x x x x x x x e dx e d e e e e e ---=-=-+???

arcsin x x e e -=-+，

令t 221ln(1),21t x t dx dt t

=-=--，所以

2111111()ln 1211212t t dt dt C C t t t t -==-=+=+--++??， 从而arcsin x x e dx e ?arcsin x x e e -=-

+12C +。 三、有理函数的不定积分

分式有理函数的积分方法一般是将被积函数（如果是假分式的话）化为多项式与有理真分式的和，再把真分式分解成部分分式的和，然后分项积分。但当有理真分式的分母次数大于等于4时，用特殊的方法求解往往比较简单，常用的方法有凑微分和变量代换，特别当被积函数中的分母含有因子n x （n 为正整数，且2n ≥）时，一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子n x 。

四、三角有理式的不定积分

求三角有理式的不定积分，一般是利用“万能代换”把三角有理式化为有理函数的积分，但有时积分很繁琐，因此应尽量寻求简便的方法。

1.形如,sin cos dx dx a b x a b x ++??和sin sin dx a b x c x ++?的积分

此类型的不定积分，一般可用“万能代换”把三角有理式化为有理函数的积分。

2.形如sin cos sin cos a x b x dx c x d x ++?的积分

此类型三角有理式的不定积分，解题的一般思路为：

（1）令sin cos (sin cos )(sin cos )a x b x A c x d x B c x d x '+≡+++，求出常数A,B 。

（2）sin cos ln sin cos sin cos a x b x dxAx B c x d x C c x d x +++++?。

3.形如sin cos (,m n x xdx m n ?

为正数）的积分 对于此类型的不定积分，解题思路有下列几种：

（1）若,m n 中至少有一个是奇数（不论是正奇数还是负奇数），不妨设n 是奇数，则 1122sin cos sin cos (cos )sin (1sin )(sin )n m n m n m x xdx x x xdx x x d x --==-???。

（2）若,m n 都是正偶数，则利用公式

2211cos 21cos 2sin cos sin 2,sin ,cos 222

x x x x x x x -+=== 先将被积函数降幂，再积分。

（3）若,m n 都是负偶数，则将不定积分设法化成(tan )(tan )f x d x ?或(cot )(cot )f x d x ?的形式。

（4）若,m n 分别为正偶数和负偶数，可将被积函数中的cos x （或sin x ）化成sin x （或cos x ）的形式。

五、简单无理函数的积分

此类型的不定积分，一般应通过变量代换去掉根式，将原积分化为有理函数的积分或基本公式中的形式再解之。

六、其他形式的不定积分

8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教案

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 一、不定积分 1不定积分的概念 原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . 可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为{│ Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 ?dx x f )( 一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则 ? x a dt t f )(是的一个 原函数。 2不定积分的计算 (1)裂项积分法 例1：dx x x dx x x dx x x )1 21(1211122 242 4???++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23 3 。 例2：???+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222 22222 例3：22 22 22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++??221arctan 1dx dx x C x x x -=--++?? (2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ? ，如果凑上一个常数因子2，使成为 ()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x = ?=???C x +=2sin 2 1

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即 m m m m m n n n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++= =------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且 0,000≠≠b a ． 当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一 个真分式之和的形式．例如 1 2)1(11222 4+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ． 其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式) () (x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即 β ααα)()()()() (1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=- λ ββ) ()(21 112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+ - μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++ ++++++++++ - s rx x S x R s rx x S x R +++++++++ -2 122 2)(μμμ ． （2）

分段函数的原函数与导函数论文

数学与统计学学院 中期报告 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月1日

目录 摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2. 分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3] (4) 3. 关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2 函数在分界点处连续的情况 (5) 结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)

浅谈无理函数不定积分的求解方法

浅谈无理函数不定积分的求解方法 摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。 本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。为无理函数不定积分的求解提供一种思路。 关键字：无理函数不定积分计算方法 Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider. This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems. key words:irrational function indefinite integral method

计算不定积分应该注意的几个问题

arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13

计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题 来源：文都教育 2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！ 一、解题思路分析 求分段函数的原函数（不定积分） 先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之： （1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。 （2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x a ?=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=?，其中C 为任意常数。 如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。 二、例题解析 例1 已知()?? ???>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ?. 解析：由题意得： 因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。 综上所述，()?????>+≤<++<+=?,1, ,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f 因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。于是有 ()()()() ,2lim lim 3lim lim 34112311C x x F C x x x F x x x x +==++=++--→→→→ 即223652134C C C +=-+=。 综上所述，()?????>++≤<++<+=?, 1,65,10,3,0,24231x C x x C x x x C x dx x f 其中1C 与2C 是两个独立的常数。

74简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

§7.4简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ， 转化为有理函数的不定积分。 例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根） 分两种情况讨论： （1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总 摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。 一．不定积分的概念与性质 定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。 定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I） 简单的说就是，连续函数一定有原函数 定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则 （1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数； （2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。 定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上 的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C 其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。 性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx. 性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx. 二．换元积分法的定理

如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du. 如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式 ?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C. 第一类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分?f[?(x) ?’(x)dx化为?f(u)du.但有些积分需要用到形如x=?(t)的变量代换，将积分?f(x)dx化为?f[?(t)] ?’(t).在求出后一积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1-(X)带回去，这就是第二类换元法。即 ?f(x)dx={?f[?(t)] ?’(t)dt})(1X . =? t- 为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=?1-（x）存在的条件，给出下面的定理。 定理 2 设x=?(t)是单调，可导的函数，并且?‘（t）≠0.又设f[?(t)] ?’(t)具有原函数F（t）,则?f(x)dx=?f[?(t)] ?’(t)dt=F(t)+C=F[?1-(x)]+C 其中?1-（x）是x=?（t）的反函数。 三．常用积分公式 1 基本积分公式

不定积分公式

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??????-=+-≠++=+1 ln 11 11 μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ? +-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22

②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e x x x x +-=-=??? ? ?-???ln 21ln 2121ππππ ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22 ⑧???++-=??? ? ?++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1即 例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分

简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分 一、简单无理函数的不定积分 对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。 下面总假设),(y x R 表示关于变量y x ,的有理函数。 1．??? ? ??++n d cx b ax x R ,型函数的不定积分。其中0≠-bc ad 解法：作变量替换n d cx b ax t ++=，即dt t dx t ct a b dt x n n )(,)(φφ'==--=,于是 []??'=??? ? ??++dt t t t R dx d cx b ax x R n )(),(,φφ， 转化为有理函数的不定积分。 例1．求 ?++dx x x x x 14 158217 1 分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。 ()2 14 7 7 1x x x = = ，()7 14 2 1x x x = =，() 16 14 7 8 7 8x x x = = ，() 15 14 14 15x x = 作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分。 解：作变量替换14x t =，即dt t dx t x 1314 14,==，则 =++=?++=++???dt t t dt t t t t t dx x x x x 111414513 15167214 1582 1 71 例2．求 ? -?+-dx x x x 2 3 ) 2(1 22 解：设,223t x x =+- 则33122t t x +-=，dt t t dx 2 32 ) 1(12+-=，所以 ??? =-=+-???? ? ??+--?=-?+- dt t dt t t t t t dx x x x 323223323 1 43) 1(1212221)2(122 2．() c bx ax x R ++2,型函数的不定积分，其中042≠-ac b （即方程02 =++c bx ax 无重根） 分两种情况讨论： （1）042 >-ac b 时，方程02 =++c bx ax 有两个不等的实数根α、β

有理函数的不定积分

§7.3 有理函数的不定积分 (一) 教学目的： 会求有理函数的不定积分． (二) 教学内容： 化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式, 有理函数的不定积分． (三) 教学建议： 通过讲练结合,掌握拆分分项分式, 从而掌握求有理函数不定积分的方法. 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 m m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P ++++++=-- 110110)()( 其中n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 为常数，且00≠a ，00≠b 。 如果分子多项式)(x P 的次数n 小于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为真分式；如果分子多项式)(x P 的次数n 大于分母多项式)(x Q 的次数m ，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 1 111223++=+++x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式)(x Q 总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： v s l k h rx x q px x b x a x b x Q )()()()()(220++++--= 定理2 （部分分式展开定理） v v v s l l k k h rx x H x R h rx x H x R h rx x H x R q px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P b x B b x B b x B a x A a x A a x A x Q x P )()() ()()()()()()()()()(222222112112222211221221++++++++++++++++++++++++++++-++-+-++-++-+-=

原函数与不定积分的概念

【导语】 我们知道，已知距离与时间的关系()S S t =，要求速度()v t ，就是求距离关于时间的导数()S t '；反过来，如果已知每时刻的速度()v t ，要求从时刻t a =到时刻t b =的距离，也就是要求一个函数()S S t =，使得()()S t v t '=，则()()S b S a -就是要求的距离。类似的问题还有许多，例如已知曲线()y f x =在每点(,())x f x 处切线的斜率()f x '，要求曲线的方程()y f x =等。 本节将从考虑微分运算的逆运算入手引入原函数的概念，并介绍微分方程的基本概念和一类最基本的一阶微分方程的解法． 本讲将介绍原函数与不定积分的概念、性质。 【正文】 §4.10 原函数与微分方程初步（1） 一、原函数的概念 在初等数学中，已接触过许多互为逆运算的运算，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、指数和对数等。函数的原函数是通过考虑函数的微分运算的逆运算得到的．求一个未知函数，使其导函数恰好是某个已知函数． 1．原函数的定义 定义8 设()f x 是定义在区间I 上的一个函数．如果存在函数()F x ，对于任意的x I ∈，都有 ()()F x f x '=， 则称()F x 是()f x 在I 上的一个原函数． 例1 求()cos f x x =在(,)-∞+∞上的一个原函数． 解 因为在(,)-∞+∞内，有 (sin )cos x x '=， 所以()sin F x x =是()cos f x x =在),(+∞-∞上的一个原函数． 显然sin 1,sin x x C ++（C 为任意常数）也是()cos f x x =的原函数．