圆的面积-奥数
第3、4讲圆的面积
专题简析：
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正方形里的
最大圆的面积占所在正方形的面积的3.14
4
,而在圆内的最大正方形占所在圆
的面积的2
3.14
,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！
例题1（旋转法）。
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习1
1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
答例题2（割补法）
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
练习2
1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答
2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答
例题3。
如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相
等。求长方形ABO1O的面积。
练习3
1、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆
分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。答
2、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。答
例题4
如图所示，求图中阴影部分的面积。
练习5
1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）答
2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49
厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？答
例题6（加减法）
如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【分析】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
练习6
1、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。
以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。答
2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8
厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
答
例题7。
在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
练习7
1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
例题8。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。
但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即
扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习8
1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形
中阴影部分的面积。答
2、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以
其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。答
例题9。
在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间
的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习9
1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
答
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平
方厘米，求阴影部分的面积。答
3、如图所求,圆的周长是18.84厘米,圆的面积
与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周
π
长是厘米.)
(=
.3
14
A、割补法：
1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
图1一2
图1—1
图1—3
6
6
图1—5
4
4
图1--6 图1--7
6
6
4
8
图1--8 图1--9
16
a
B 、加减法：
2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
图
1--13
10
图
1--14
6
6
45
4 5
3 图2--6
、
8
8
图2--9
4
4 图2--10
5
4
图
2--12
6
6
C 、旋转法：
3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
图
2--13 4
4 图2--14
图2--15
图2--16
O 1
O 2
A
B
AB=17
O 1 O 2=10
=
图3--2
图3--3
2
12
12 13
13
A B A
B
O
利用r 2和r 3代换
60、正方形中，最大圆的面积占正方形面积的（—）≈（ ）%；圆中，最大正方形的面积占圆面积的（—）。
20平方厘米，求图中阴影部分的面积。
157平方厘米，求图中阴影部分的面积。 63、如图，等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求图中阴影部分的面积。
ABC 的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。
65、下图中，AOB 是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。
66、下图中，AOB 是等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50平方厘米，求圆环的面积。
67、下图中，已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
第5讲工程问题（一）
【专题解析】
有些工程问题中。工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这是我们可以考虑运用一些特殊的方法，如转化思想、综合思考等方法来解决。
【例题精讲】
例1：客车从甲地开往乙地需要12小时，货车从乙地开往甲地需要18小时。
（1）两车一小时行了全程的() ().。
（2）两车5小时行了全程的() ().。
（3）两车同行了3小时后，还剩下全程的() ().。
（4）客车4小时比货车4小时多行了全程的() ()。
例2：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成。乙队每天修10小时，6天修完。如果两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
【思考方法】
【做一做】
1、修一条路，甲队每天修6小时，4天完成。乙队每天修8小时，5天修完。如果两队合作，要求2天完成，每天需要工作几小时？
2、一项工程，甲队3人8天可以完成，乙队4人7天可以完成，现在由甲队2人和乙队7人合作，几天可以完成？
例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了14天，这件工作由甲先做了几天？
【思考方法】根据甲的工作量＋乙的工作量=工作总量列方程解答。
此题也可以用假设法来解，大家思考思考，看是否能想出办法来。
【做一做】
1、一件工作，甲独做要12天完成，乙独做要4天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了6天，这件工作由甲先做了几天？
2、一件工作，甲独做要30天完成，乙独做要40天完成，如果先由甲做一些天，然后由乙继续做完，从开始到结束一共用了35天，这件工作由甲、乙各做了几天？
例4：甲乙两队合作完成一项工程，24天可以完成。如果甲队做6天，乙队做4天，
只能完成工程的1
5
，两队单独完成工程各需多少天？
【思考方法】
答：甲队单独完成工程需60天，乙队单独完成工程需40天。【练习题】
一、填空题
1.一段公路，甲队单独修需要15天，已队单独修需要10天。
（1）两队每天修公路全长的() ()。
（2）两队3天修公路全长的() ()。
（3）两队修了4天后还剩全长的() ()。
（4）乙队每天比甲队多修() ()。
2、一项工程,甲、乙两队合作20天完成,乙丙两队合作60天完成,丙丁两队合作30完成,甲丁合作天完成?
3、甲乙两队合作一项工程,计划在24天内完成.如果甲队做6天,乙队做4天,只能做完全工程的20%,两队单独做完全工程各需要天.
4、一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了天.
5、加工一批零件,甲独做需3天完成,乙独做需4天完成,两人同时加工,完成任务时,甲比乙多做24个,这批零件共有个.
6、一项建筑工程,由甲建筑队单独承建要一年半,乙建筑队单独承建要一年零三个月,现在两队合作半年,剩下的由乙队继续完成还要个月.(假设每月实际工作天数一样)
二、解答题
7.一件工作，甲5小时完成了
4
1
，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？
8.抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙每天的工作效率相当于甲、乙二人每天工作效率之和的
5
1
;如果三人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄需多少天才能完成?
9.加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的5
2
没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共多少个？
第6讲工程问题（二）
【专题解析】
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
【例题精讲】
例1：一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
【思考方法】
例2：师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因事外出，
由徒弟接着做3天，共完成任务的
7
10
，如果每人单独做这批零件各需几天？
例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
【思考方法】
例4完成一件工作，甲乙二人合作需20小时，乙丙二人合作需28小时，丙丁二人合作需30小时，甲丁二人合作需几小时？
【思考方法】
【练习题】
一、填空题
1. 一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做天完工。
2.一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人天吃完。
3.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要天做完。
4.一项工程，甲独做要12天完成，乙独做要18天完成，二人合做天可以完成这件工程的2/3？
5.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？
6.一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去做，还要几天？
7.一项工作,甲乙两队合作9天完成,乙丙两队合作12天完成,甲丙两队合作需18天完成,现在三队合作需天完成.
8.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成.如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要做天.
二、解答题
9、一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
10、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
11、一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。三人合做期间，甲因病请假，工程6天完工，问甲请了几天病假？
第7讲假设法解题（二）
日期班级姓名
【算法积累】
(1)23456+34562+45623+56234+62345 （2）
（3）有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？
【专题学习】
一、知识与方法归纳：已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
二、学技巧——点击典例：
例1．水果店里西瓜个数是白兰瓜个数的，如果每天卖白兰瓜40个、西瓜50个，若干天后白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个。水果店里原有西瓜多少个？