2016挑战中考数学压轴题Word版

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题

例2 2015年武汉市中考第24题

例3 2015年苏州市中考第29题

例4 2015年黄冈市中考第25题

例5 2015年义乌市中考第24题

例6 2015年临沂市中考第26题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2015年重庆市中考第25题

例2 2015年长沙市中考第第26题

例3 2015年上海市虹口区中考模拟第25题

例4 2015年扬州市中考第27题

例5 2015年临沂市中考第26题

例6 2015年盐城市中考第28题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题

例2 2015年苏州市中考第29题

例3 2015年山西省中考第26题

例4 2015年广州市中考第24题

例5 2015年杭州市中考第22题

例6 2015年浙江省中考第23题

例7 2015年北京市中考第24题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2015年成都市中考第28题

例2 2015年陕西省中考第24题

例3 2015年上海市松江区中考模拟第24题

例4 2015年福州市中考第21题

例5 2015年烟台市中考第26题

例6 2015年上海市中考第24题

例7 2015年江西省中考第24题

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题

例2 2015年上海市金山区中考模拟第24题

例3 2015年上海市松江中考模拟第24题

例4 2015年衢州市中考第24题

例5 2015年义乌市中考第24题

1.6 因动点产生的面积问题

例1 2015年河南市中考第23题

例2 2015年昆明市中考第23题

例3 2015年苏州市中考第29题

例4 2015年菏泽市中考第21题

例5 2015年河南省中考第23题

例6 2015年南通市中考第28题

例7 2015年广州市中考第25题

1.7 因动点产生的相切问题

例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题

例2 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题

例3 2015年上海市杨浦区中考模拟第25题

1.8 因动点产生的线段和差问题

例1 2015年福州市中考第26题

例2 2015年广州市中考第24题

例3 2015年天津市中考第25题

例4 2015年滨州市中考第24题

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2015年呼和浩特市中考第25题

例2 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题

例3 2015年宁波市中考第26题

例4 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题

例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题

例2 2015年黄冈市中考第25题

例3 2015年菏泽市中考第21题

例4 2015年广东省中考第22题

例5 2015年河北省中考第26题

例6 2015年淮安市中考第28题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 2015年北京市中考第29题

例2 2015年福州市中考第22题

例3 2015年南京市中考第26题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例1 2015年杭州市中考第22题

例2 2015年安徽省中考第23题

例3 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题

第四部分图形的平移翻折与旋转

4.1图形的平移

例1 2015年泰安市中考第15题

例2 2015年江西省中考第11题

4.2图形的翻折

例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题

例2 2015年上海市中考第18题

4.3图形的旋转

例1 2015年扬州市中考第17题

例2 2015年上海市黄浦区中考模拟第18题

4.4三角形

例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题

例2 2015年泰州市中考第16题

4.5四边形

例1 2015年安徽省中考第19题

例2 2015年广州市中考第8题

4.6圆

例1 2015年兰州市中考第15题

例2 2015年温州市中考第16题

4.7函数图像的性质

例1 2015年青岛市中考第8题

例2 2015年苏州市中考第18题

声明

选自东师范大学出版社出版的《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。

《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。

由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．

（1）求k与m的值；

（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．

思路点拨

1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．

将点A(2, 4)代入

k

y

x

=，得k＝8．

（2）将点B(n, 2)，代入

8

y

x

=，得n＝4．

所以点B的坐标为(4, 2)．

设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．

所以点C的坐标为(0,－2)．

由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝

90°．图2

所以S△ABC＝1

2

BA BC

?＝

1

2242

2

??＝8．

（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．

由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：

①如图3，当CE AD

CA AC

=时，CE＝AD＝22．

此时△ACD≌△CAE，相似比为1．

②如图4，当CE AC

CA AD

=时，

210

21022

=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水

平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．

图3 图4

考点伸展

第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．

如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．

由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．

图5

例2 2015年武汉市中考第24题

如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在

△ABC的中位线EF上．

思路点拨

1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．

3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．

△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：

①如果BP BA

BQ BC

=，那么

510

848

t

t

=

-

．解得t＝1．

②如果BP BC

BQ BA

=，那么

58

8410

t

t

=

-

．解得

32

41

t=．

图3 图4 （2）作PD⊥BC，垂足为D．

在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝4

5

，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．

当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．

所以AC CD

QC PD

=，即

684

43

t

t t

-

=．解得

7

8

t=．

图5 图6 （3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．

又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．

因此F是BC的中点，E是AB的中点．

所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．

考点伸展

本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是BP BC

BQ BA

=，

32

41

t=．

如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是BP BA

BQ BC

=，t＝1．

如图9，当⊙H与AC相切时，直径2222

(3)(88)

PQ PD QD t t

=+=+-，半径等于FC＝4．所以22

(3)(88)8

t t

+-=．

解得

128

73

t=，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．

图7 图8 图9 图10

例3 2015年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

b

y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

4

b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝115

2428

b x b x bx ??+??=＝2b ．

解得165x =．所以点P 的坐标为(1616

,55

)．

图2 图3 （3）由2111

(1)(1)()4444

b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．

①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b

b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．

②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。 因此△OCQ ∽△QOA ． 当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA

CO OA =

，即14

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．