排列与组合习题
1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70
[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36
A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.
2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()
A.36种B.48种C.72种D.96种
[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.
3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()
A.6个B.9个C.18个D.36个
[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人
[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.
5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()
A.45种B.36种C.28种D.25种
[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.
6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()
A.24种B.36种C.38种D.108种
[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).
7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()
A.33 B.34 C.35 D.36
[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.
8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144
[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)
故共有72+36=108个.
9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()
A.50种B.60种C.120种D.210种
[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.
10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.
11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)
[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.
12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).
[解析]先将6名志愿者分为4组,共有
C26C24
A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:
C26·C24
A22·A
4
4
=1 080种.
13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).
[解析]5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.
14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有
(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有
种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有
种方法,共
有
种,故选B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有
A. 504种
B. 960种
C. 1008种
D. 1108种
解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4
414222A A A ?种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43
313134422A A A A A +种方法
故共有1008种不同的排法
16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m
解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m
①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,322
32A A =24个
②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共322
22A A =12个
算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个
答案:C
17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10
B.11
C.12
D.15
18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
A .152 B.126 C.90 D.54
【解析】分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有233318C A ?=;若有1人从事司机工作,则方案有123
343108
C C A ??=种,所以共有18+108=126种,故B 正确
19. 甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )
(A )150种 (B )180种 (C )300种 (D)345种
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112
536225C C C ??=种选法;
(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D
20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为
.18A .24B .30C .36D
【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ,顺序有3
3A 种,而甲乙被分在同一个班的有
33
A 种,所以种数是23343330C A A -= 21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法
的种数是
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ,(A 共有62
223=A C 种不同排法)
,剩下一名女生记作B ,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A 、B 之间(若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻,只有把男生乙排在A 、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A 左B 右和A 右B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法。
解法二;同解法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ,(A 共有62
223=A C 种不同排法)
,剩下一名女生记作B ,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:
第一类:女生A 、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有2
2226A A =24种排法;
第二类:“捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生B 和男生甲只有一种排法,此时共有2
26A =12种排法 第三类:女生B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。
此时共有2
26A =12种排法
三类之和为24+12+12=48种。
22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]
A 85
B 56
C 49
D 28
【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有:12
27C C 42?=,另一类是甲乙都去的选法有2127C C ?=7,所以共有42+7=49,即选C 项。
23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法
的种数是
A. 360
B. 188
C. 216
D. 96
解析:6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有3322
2242333=A A C A 种,其中男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A ,符合条件的排法故共有188
解析2:由题意有2221122222322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。
24. 12个篮球队中有3个强队,将这12个队任意分成3个组(每组4个队),则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )
A .
155
B .
355
C .
14
D .
13
解析因为将12个组分成4个组的分法有444
12843
3
C C C A 种,而3个强队恰好被分在同一组分法有31443984
22C C C C A ,故个强队恰好被分在同一组的概率为314424443
99842128433
C C C C A C C C A =
55
。 25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答).
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有37A 种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有1237C A 种,因
此共有不同的站法种数是336种.
26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取
4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( )
A .891
B .2591
C .4891
D .60
91
【解析】因为总的滔法4
15,C 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按
1.1.2;1,2,1;2,1,1三类,故所求概率为
112121211
6546546544
1548
91
C C C C C C C C C C ??+??+??= 27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
【解析】分两步完成:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有211
421
2
2
C C C A ??;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有3
3A
所以满足条件得分配的方案有
2113
42132
2
36C C C A A ???= 28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子
的编号,则不同的放球方法有( )
A .10种
B .20种
C .36种
D .52种
解析:将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒
子的编号,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有1
44C =种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有246C =种方法;则不同的放球方法有10种,选A .
29. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 (A )30种 (B )90种 (C )180种 (D )270种
解析:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1
人,另两组都是2人,有12542
2
15C C A ?=种方法,再将3组分到3个班,共有3
31590A ?=种不同的分配方案,选B. 30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
解析:某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去
或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有2454C A ?=240种选法;②甲、丙同不去,乙去,有34
54C A ?=240种选法;③甲、乙、丙都不去,有45120A =种选法,共有600种不同的选派方案.
31. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答).
解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组
成33212A ?=个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2
224
A ?=个五位数;③ 若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则
有222(2)A ??=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。
32.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种?
[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,共有C 36种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有C 36×2×2×2=160(种).
33.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?
(1)各组人数分别为2,4,6个;(2)平均分成3个小组;(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间. [解析]
(1)C 212C 410C 6
6=13 860(种);(2)C 412C 48C 4
4A 33
=5 775(种);
(3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有C 412C 48C 44A 33
·A 33=C 4
12·C 48·C 44=34 650(种)不同的分法.
34.6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
(3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?
[解析] (1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·
A 4
7种不同排法.
(2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有A 99种排法,若甲不在末位,则甲有A 1
8种排法,乙有A 18种排法,其余有A 8
8种排法,
综上共有(A 99+A 18A 1
8·A 88)种排法.
方法二:无条件排列总数 A 1010-?????
甲在首,乙在末A 8
8甲在首,乙不在末A 99-A 88
甲不在首,乙在末A 99-A 88
甲不在首乙不在末,共有(A 1010-2A 99+A 8
8)种排法.
(3)10人的所有排列方法有A 1010种,其中甲、乙、丙的排序有A 33种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、
乙、丙排序一定的排法有A 1010
A 33
种.
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有1
2A 1010
种排法.
35. 已知n m ,是正整数,n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中x 的系数为7, (1) 试求)(x f 中的2
x 的系数的最小值
(2) 对于使)(x f 的2
x 的系数为最小的n m ,,求出此时3
x 的系数
(3) 利用上述结果,求)003
.0(f 的近似值(精确到0.01) 解:根据题意得:71
1=+n m C C ,即7=+n m (1)
2
x 的系数为2
2)1(2)1(2222
n
m n m n n m m C C n
m --+=-+-=+ 将(1)变形为m n -=7代入上式得:2
x 的系数为4
35)2
7(2172
2
+
-=+-m m m 故当时,
或43=m 2
x 的系数的最小值为9 (1) 当时,或3,44,3====n m n m 3
x 的系数为为53
433=+C C
(2) 02.2)003
.0(≈f
计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A
例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 例77名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法? 例8计算下列各题: (1) 215 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). 例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). 例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?
排列组合问题经典题型与通用方法 1. 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 例1. A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 A,B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 2. 相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几 个元素全排列,再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端 ? 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 3. 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在A 的右边(A, B 可以不相邻)那么不同的排法有 ( ) 4. 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上, 可 先把某个元素按规定排入, 第二步再排另一个元素, 如 此继续下去,依次即可完成 ? 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有( ) A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 5. 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法 例5.( 1 )有甲乙丙三项任务,甲需 2人承担,乙丙各需一人承担,从 10人中选出4人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 6. 全员分配问题分组法: 例6.( 1)4名优秀学生全部保送到 3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、 120 种 4人,则不同的分配方案有( 4 4 4 C 12C 8C 4 种 4 4 3C 12C 8C C 、 C 12C 8 A 3 种
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题: 1. 从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( ) A.男同学2人,女同学6人 B. 男同学3人,女同学5人 C.男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有() A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案:1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人,则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题: 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这 些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题: 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法? 1
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
排列组合》 一、排列与组合 1. 从9 人中选派2 人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有90 种不同的方案,那么男、女同学的人数是 A.男同学2人,女同学6人 B.男同学3人,女同学5人 C. 男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 5.用0,1 ,2,3,4,5 这六个数字, (1 )可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于1000 的自然数? (5)可以组成多少个大于3000,小于5421 的数字不重复的四位数? 二、注意附加条件 1.6 人排成一列(1 )甲乙必须站两端,有多少种不同排法? (2)甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法? 2. 由1 、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是6 的倍数的五位数? 3. 由数字1 ,2,3,4,5,6,7 所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379 个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157 4. 设有编号为1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在
圆梦教育中心 排列组合专项训练 1.题1 (方法对比,二星) 题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法 (2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法 解析:“名额无差别”——相同元素问题 (法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配, 可将名额分给2所学校、1所学校,共两类: 2 1 33C C +(种) (法2——挡板法) 相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共: 246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每 个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别) 同类题一 题面: 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案 答案:6 9C 详解: 因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板 方法对应一种分法共有69C 种分法。 同类题二 题面: 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案:36. 详解: 将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。 2.题2 (插空法,三星) 题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要 求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48 同类题一 题面: 6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法 答案:A 66·A 47种. 详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 47种不同排法. 同类题二 题面: 有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A .36种 B .48种 C .72种 D .96种 答案:C. 详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个 空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72 种排法,故选C. 3.题3 (插空法,三星) 题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位. 1]没有坐人的7个位子先摆好, [2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有: 58A =6720种排法. (法2)[1]5个男生先排好:55A ; [2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,
高考排列组合典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得:)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个.
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 A个; 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2 8181 4 A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9 A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; ' (3)111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 " 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; ) (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空
排列组合典型题大全 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看 作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住 店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法 (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果 (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法 【解析】:(1)43(2)34(3)34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法 【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38 B、83 C、38A D、38C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠 军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种 不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法 2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况 3、4个同学参加3项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果 (2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果 4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种 6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种 7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种 8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种 思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种 二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把,A B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,4 424 A 种
排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……,做第n 步有n m 种不同的方法;那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法. 特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,n m <时叫做选排列,n m =时叫做全排列. 4.排列数:从n 个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P 表示. 5.排列数公式:)、(+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质:11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒: 规定0!=1
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有() A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是() A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有() A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是() A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有() A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为() A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种? (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题: 1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的案,那么男、女同学的人数是() A.男同学2人,女同学6人 B.男同学3人,女同学5人 C. 男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4.一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增加n个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有() A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 2221322 选C. 二、相邻问题: 1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列,若A、B必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1.24 2448 A A= (2) 选 B 325 3251440 A A A= 三、不相邻问题: 1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法? 2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个?
3.4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有( ) A.2880 B.1152 C.48 D.144 4.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法? 5.8椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种? 6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法? 7. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位,有多少种不同坐法? 8. 在一次文艺演出中,需给舞台上安装一排彩灯共15只,以不同的点灯式增加舞台效果,要求设计者按照每次点亮时,必须有6只灯是熄灭的,且相邻的灯不能同时熄灭,两端的灯必须点亮的要求进行设计,那么不同的点亮式是 ( ) A.28种 B.84种 C.180种 D.360种 答案:1.43451440A A = (2)3434144A A = (3)选B 444421152A A = (4)3424A = (5)4245480A A =(6)333424A C = (7)3334144A A = (8)选A 6828C = 四、定序问题: 1. 有4名男生,3名女生。现将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,有多少种排法? 2. 书架上有6本书,现再放入3本书,要求不改变原来6本书前后的相对顺序,有多少种不 同排法? 答案:1.7733840A A = 2.9 966 504A A = 五、分组分配问题: 1.某校高中二年级有6个班,分派3名教师任教,每名教师任教两个班,不同的安排法有多少 种? 2. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人一本、二本、三本的不同分法有多少种? 3.8项工程,甲承包三项,乙承包一项,丙、丁各承包二项,不同的承包案有多少种? 4. 6人住ABC 三个房间,每间至少住1人,有多少种不同住宿案?
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例1.D C B A ,,,五人并排站成一排,如果B A ,必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有多少种? 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个 元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是多少种? 3.定序问题等机会法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(B A ,可以不相邻)那么不同的排法有多少种? 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继 续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字 均不相同的填法有多少种? 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同 的选法种数有多少种? (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有多少种? 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法有多少种? 7.名额分配问题隔板法: 例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少种? (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺 序)共有多少种? (3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-? 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的 参赛方案? 11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
经典题库-排列组合练习题 注:排列数公式m n P 亦可记为m n A 。 一、选择题 1.从0,1,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有( ) A 、24个 B 、36个 C 、48个 D 、54个 2.某学生制定了数学问题解决方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解 决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有( ) A.50种 B.51种 C.140种 D.141种 3.有10件不同的电子产品,其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试,直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好3次就结束测试的方法种数是( ) A .16 B .24 C .32 D .48 4.一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1、2、3、4、5、6,现从中随机取出3个球,以X 表示取出球的最大号码. 则X 所有可能取值的个数是( ) A .6 B .5 C .4 D .3 5.在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( ) A .60个 B .36个 C .24个 D .18个 6.将A ,B ,C ,D ,E 排成一列,要求A ,B ,C 在排列中顺序为“A,B ,C”或“C,B ,A”(可以不相邻),这样的排列数有( ) A .12种 B .20种 C .40种 D .60种 7.将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中,每个笔筒中至少放2支,则不同的放法有( ) A .56种 B .84种 C .112种 D .28种 8.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为( ) A .48种 B .36种 C .24种 D .12种 【答案】C 【解析】爸爸排法为2 2A 种,两个小孩排在一起故看成一体有2 2P 种排法.妈妈和孩子共有3 3P 种排法,∴排 法种数共有22A 22A 3 3A =24种.故选C . 9.运动会举行.某运动队有男运动员6名,女运动员4名,选派5人参加比赛,则至少有1名女运动员的选派方法有( ) A .128种 B .196种 C .246种 D .720种 【答案】C 【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.从10人中任选5人,有5 10C 种选法,其中全是男运动员的选法有5 6C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法有5 10C -5 6C =246种.