三角函数模块高考题

三角函数模块高考题

一、选择题

1. （2009辽宁8）已知函数()f x =Acos （x ω?+）的图象如图所示，2

()2

3

f π

=-

，则(0)f =（ ）

A.23-

B. - 12

C.23

D.1

2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案：C

2.（2009宁夏5）有四个关于三角函数的命题：

1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12

2p : ?x 、y ∈R, sin （x-y ）=sinx-siny

3p : ?x ∈[]0,π=sinx 4p : sinx=cosy ?x+y=2π

其中假命题的是（ ） A.

1p ，4p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p

答案：A

解析：1p ：?x ∈R, 2

sin

2x +2cos 2x =12

是假命题；2p 是真命题，如x=y=0时成立；3p 是真命题，

?

x ∈

[]0,π,sin 0sin sin x x x ≥===，

=sinx ；4p 是假命题，2

2

π

π

π≠

如x=

,y=2时，sinx=cosy,但x+y .选A.

3.（2009全国一8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么||?的最小值为（ ） A.

6π B.4π C.3π D. 2

π

答案：A 解析： 函数

()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称

4232k ππφπ∴?

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

π

φ=.

4.（2009全国二3）已知ABC ?中，12

cot 5

A =-， 则cos A =（ ）

A.

1213

B.

513

C.513-

D. 1213

-

答案：B

解析：已知ABC ?中，12cot 5A =-

，(,)2

A π

π∴∈

. 12cos 13

A ===-

5.（2009全国二8）若将函数()tan 04y x πωω??

=+

> ??

?

的图像向右平移

6

π

个单位长度后，与函数tan 6y x πω?

?=+ ??

?的图像重合，则ω的最小值为（ ）

A ．

1

6

B.

1

4

C.

13

D.

12

答案：D

解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π

ππππωωω???

?=+→=-=+ ?

+? ????向右平移个单位

164()662k k k Z π

π

ωπωπ+=

∴=+∈∴

-

，又min 1

02

ωω>∴=

6.（2009陕西5）若3sin cos 0αα+=,则21

cos sin 2αα

+的值为（ ）

A.103

B.53

C.23

D. 2- 答案：A

解析：22222

1

3sin cos 0cos 0tan 3

1cos sin 1tan 10

cos sin 2cos 2sin cos 12tan 3

ααααααααααααα+=?≠?=-

++===+++

7.（2009山东3） 将函数y=sin 2x 的图像向左平移4

π

个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（ ）

A. y=cos 2x

B. y=2

2cos x C. y=1+sin 24x π??

+ ??

?

D. y=2

2sin x 答案：B

解析：将函数sin 2y x =的图象向左平移

4

π个单位,得到函数s i n 2()4y x π

=+即

sin(2)cos 22

y x x π

=+

=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为

21cos22cos y x x =+=

8.（2009江西4）

若函数

()(1)cos f x x x =，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为（ ）

A ．1

B ．2 C

1 D

2

答案：B

解析：.

因为()(1)cos f x x x =

=cos x x =2cos()3

x π

-

当3

x π

=时，函数取得最大值为2.

9.（2010全国二7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）

A. 向左平移个长度单位

B. 向右平移个长度单位

C. 向左平移个长度单位

D. 向右平移个长度单位

答案：B

解析：=，=，所以将的图像向右平移

个长度单位得到的图像，故选B.

10.（2010江西7）,E F 是等腰直角ABC ?斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）

A ．16

27

B ．

23

C

D ．

34

答案：D

11.（2010辽宁5）设ω>0,函数y =sin （ωx +

3

π）+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω

的最小值是（ ）

A.

23 B. 43 C. 3

2

D. 3 答案：C

12.（2010全国一4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0

角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）

sin(2)3y x π=-sin(2)6

y x π

=+4π4π

2π2

π

sin(2)6

y x π

=+

sin 2()12x π+

sin(2)3y x π=-sin 2()6x π=-sin(2)

6

y x π

=+4

πsin(2)3y x π

=-

答案：C

13.（2010全国一9）若4

cos 5

α=-

，α是第三象限的角，则1tan 21tan

2

αα

+=-（ ）

A. 12

- B.

12

C. 2

D. -2

答案：A

14.（2010四川6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动

10

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A.

sin(2)10y x π

=-

B. sin(25y x π=-

C. 1sin()210y x π

=- D. 1sin(220

y x π

=-

答案：C

解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动

10

π

个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin （x －

10

π

），再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210

y x π

=-.

15.（2010重庆6）已知函数2

||,0)(sin(π

?ω?ω<>+=x y 的部分图象如题（6）图所示，则（ ）

A. 6

,1π

?ω==

B. 6,1π

?ω-==

C. 6

,2π

?ω==

D. 6

,2π

?ω-==

答案：D

16.（2010陕西3）对于函数f （x ）=2sin x cos x ，下列选项中正确的是 （ ） A. f （x ）在,42ππ??

??

?上是递增的 B. f （x ）的图象关于原点对称

C. f （x ）的最小正周期为2π

D. f （x ）的最大值为2

答案：B

解析：f （x ）=2sinxcosx=sin2x ，周期为π的奇函数 17.（2009北京6）“2()6

k k Z π

απ=

+∈”是“1

cos 22

α=

”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当2()6k k Z π

απ=

+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ?

?=+== ??

?， 反之，当1cos 22α=

时，有()2236

k k k Z ππ

απαπ=+?=+∈， 或()223

6

k k k Z π

π

απαπ=-

?=-

∈，故应选A.

18.（2009安徽8）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻

交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A ．5[,],1212

k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C. [,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈答案：C

解析：()2sin()6

f x x π

ω=+

，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=， 由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

得，,3

6

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈，故选C

19.（2009湖北4）函数cos(2)26

y x π

=+

-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),

y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于（ ）

.(,2)6

A π

-

- .(,2)6B π

-

.(,2)6

C π- .(,2)6

D π

答案：B

解析：直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=v ，根据定义cos[2()]26

y y x x π

''-=-+-，根

据y 是奇函数，对应求出x '，y '.

20.（2009福建1）函数()sin cos f x x x =最小值是 （ ）

A ．-1 B. 12- C. 1

2

D.1 答案：B 解析：∵1()sin 22f x x =

∴min 1

()2

f x =-.故选B 21.（2009湖南3）将函数y=sinx 的图象向左平移?(0

≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()

6

x π

-

的图象，则?等于（ ） A ．

6

π B ．56π C. 76π D.116π

答案：D

解析：由函数sin y x =向左平移?的单位得到sin()y x ?=+的图象，由条件知函数sin()y x ?=+可

化为函数sin()6

y x π

=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+

sin()6

x π

=-，所以选D 项.

22.（2010福建1）计算sin 43°cos 13°-

cos 43°sin 13°

的结果等于（ ） A ．

1

2

B

．

3

C

．

2 D

．2

答案：A

23．（2009四川4）.已知函数()sin()()2

f x x x R π

=-

∈，下面结论错误．．

的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,2π??

?

???

上是增函数 C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数 答案：D

二、填空题 1.（2009江苏4）函数

sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，

0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则

ω= .

答案：3

解析：32T π=，2

3

T π=，所以3ω=

2.（2009宁夏14）已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）

的图像如图所示，则?=________________

答案：

910

π 解析：由图可知，

()544,,2,125589,510T x πωπ?ππ????

=

∴=+ ???

??

+∴=

???

把代入y=sin 有：1=sin

3.（2009全国一16）若4

2

x π

π

<<

，则函数

3tan 2tan y x x =的最大值为 .

答案：-8

解析：令tan ,x t =14

2

x t π

π

<<

∴>

,

443

22

24222tan 2222

tan 2tan 81tan 1()244

x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------4.（2009上海6）函数2

2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .

答案：15.（2009上海12）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列

{}n a 满足??

?

??-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+?++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .

答案：14

6.（2010浙江11）

函数2()sin(2)4

f x x x π

=--的最小正周期是__________________ .

答案：π

7.（2010江苏10）定义在区间??

?

?

?

20π,

上的函数y =6co s x 的图像与y =5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =s inx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______ _____. 答案：线段P 1P 2的长即为s inx 的值，且其中的x 满足6co s x =5tanx ，解得s inx =

23.线段P 1P 2的长为23

8.（2010年江苏13）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b

a C a

b +

=，则t a n t a n t a n t

a n C C

A B +

=____ _____.

答案：（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性.

当A=B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =

，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+

，tan 22

C =，

1tan tan tan 2

A B C

==

=tan tan tan tan C C

A B

+= 4. （方法二）22

6cos 6cos b a C ab C a b a b +=?=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-?=++=

2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B +++=?=?=?由正弦定理，得：上式=2222

2214113cos ()662

c c c c C ab a b =?===+? 9.（2009湖南11）若x ∈（

0, 2π）则2tanx+tan （2

π

-x ）的最小值为 答案：解析：由(0,

)2

x π

∈，知1

tan 0,tan(

)cot 0,2

tan π

αααα

>-==

>所以 1

2tan tan()2tan 2tan παααα+-=+≥当且仅当tan 时取等号，即最小值是

10.（2009湖北14）已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4

f π

的值为 .

答案：1

解析：因为'()'()sin cos 4f x f x x π=-?+所以'()'()sin

cos

44

4

4

f f πππ

π

=-?+

'()14f π?=故()'()cos sin ()144444f f f πππππ

=+?=

三、解答题

1.（2009江苏15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；

（2）求||+b c 的最大值;

（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .

解析：由a 与2-b c 垂直，(2)20?-=?-?=a b c a b a c ，

即4sin()8cos()0α

βαβ+-+=，tan()2αβ+=；

(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c

222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+

1730sin cos ββ=-1715sin2β=-，最大值为32，所以||+b c 的最大值为由

tan tan 16

αβ=得

sin sin 16cos cos αβαβ=，即

4

c o s 4αβαβ

?-=，

所以a ∥b . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.（2009山东17）设函数()2cos(2)sin 3

f x x x π

=++.

（Ⅰ）求函数

()f x 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ?的三个内角，若11

cos ,()324

c B f =

=-，且C 为锐角，求sin A . 解析：（1）f （x ）=cos （2x+3π

）+sin 2

x.=

1cos 21cos 2cos

sin 2sin

23

3

222x x x x π

π

--+

=-

所以函数f （x ）的最大值为

13

2

+,最小正周期π.

（2）()2c f =

12C =－41, 所以sin C =

, 因为C 为锐角, 所以3C π=, 又因为在?ABC 中, cosB=

31, 所以 2

s i n

33

B =, 所以

11

sin sin()sin cos cos sin 23A B C B C B C =+=+=

+=

.

3．（2010江西17）已知函数2

()(1cot )sin sin()sin()44

f x x x m x x π

π

=+++-．

（1）当0m =时，求()f x 在区间3[

,]84

ππ

上的取值范围；

（2）当tan 2α=时，3

()5

f α=，求m 的值． 答案：（1）当0m =时，

2()sin sin cos f x x x x =+

111(sin 2cos 2))22242

x x x π=

-+=-+

又由3[

,]84

x ππ

∈得52[0,

]4

4x π

π-

∈，所以sin(2)[4x π-∈，

从而1())42f x x π=

-+∈. （2）2

()sin sin cos cos 22m f x x x x x =+-

1cos 21sin 2cos 2222

x m

x x -=+- 11[sin 2(1)cos 2]22

x m x =-++ 由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4

sin 2sin cos 1tan 5

ααααααα===++，

222222

cos sin 1tan 3

cos 2sin cos 1tan 5

ααααααα--===-++， 所以

31431

[(1)]52552

m =+++，得2m =-．

4．（2010上海19）已知02

x π

<<

，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)2

4

x

x x x x π

?+-+-

-+．

答案：原式=lg （sin x +cos x ）+lg （cos x +sin x ）-lg （sin x +cos x ）2=0．

5．（2010四川19）

（Ⅰ）证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβ

αβαβαβ++=-；

由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβ

αβαβαβ++=+.

（Ⅱ）已知△ABC 的面积1,32

S AB AC =?= ，且3

cos B =，求cosC .

解：（1）①如图，在执教坐标系xOy 内做单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于P 4.

则P 1（1,0）,P 2（cosα,sinα）

P 3（cos （α＋β）,sin （α＋β））,P 4（cos （－β）,sin （－β））

由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得

[cos （α＋β）－1]2＋sin 2（α＋β）＝[cos （－β）－cosα]2＋[sin （－β）－sinα]2 展开并整理得：2－2cos （α＋β）＝2－2（cosαcosβ－sinαsinβ） ∴cos （α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分

②由①易得cos （

2π－α）＝sinα,sin （2π

－α）＝cosα sin （α＋β）＝cos [2π－（α＋β）]＝cos [（2π

－α）＋（－β）]

＝cos （2π－α）cos （－β）－sin （2

π

－α）sin （－β）

＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 （2）由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c 则S ＝

12bcsinA ＝1

2

AB AC ?

＝bccosA ＝3＞0

∴A ∈（0,

2

π

）,cosA ＝3sinA

又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sinA cosA 由题意，cosB ＝

35,得sinB ＝4

5

∴cos （A ＋B ）＝cosAcosB －sinAsinB ＝

故cosC ＝cos [π－（A ＋B ）]＝－cos （A ＋B ）＝－

…………………………12分

6．（2010天津17）已知函数

2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π??

?

???

上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ??

=

∈????

，求0cos 2x 的值.

答案：（1）解：由

2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得

2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6

f x x x x x x x π

=+-=+=+

所以函数()f x 的最小正周期为π

因为()2sin 26f x x π??

=+

??

?

在区间0,

6π??????上为增函数，在区间,62ππ??

????

上为减函数，又 (0)1,2,

162f f f ππ??

??===- ? ?????，所以函数()f x 在区间0,2π??

????

上的最大值为2，最小值为-1

（2）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π??

=+

??

?

又因为06()5f x =

，所以03sin 265x π?

?+= ??

? 由0,42x ππ??

∈

????，得0272,636x πππ??+∈????

从而04cos 265x π??

+

==- ??

? 所以

00003cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ??-?????

?=+-=+++=

? ? ???????????

7.（2010重庆16）设函数R x x

x x f ∈++=,2

cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；

（Ⅱ）记ABC ?的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若

3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.

解：（Ⅰ）1cos 32sin sin 32cos

cos )(++-=x x x x f ππ

1s i n 2

3

c o s 21+-=

x x 1)65s i n (++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[. （Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)6

5

sin(=+πB ，又因π<

π

=

B .

解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232

=+-a a ，解得1=a 或2.

解法二：由正弦定理

C c B b sin sin =，得3

,23sin π==C C 或32π

. 当3π

=

C 时，2π

=

A ，从而222=+=

c b a ；

当32π=C 时，6π=A ，又6

π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.

1cos sin 2

3

cos 21++--=x x x

8．（2010江苏17）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC

高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H 的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可 以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大

分析：此题关键要找出C 点的位置，清楚α-β最大时tan （α-β）也最大 解：（1）因为： tan ,tan AE AE BC

BA DA DB

αβ=

==，AE H = 则：tan H

BA α=

，tan H DA β=，4tan DB β

= 因为 DA DB BA =+ 所以

4tan tan tan H H

ββα

=+ 带入tanα=1.24,tanβ=1.20 得

41.20 1.20 1.24

H H

=+，所以H=124m （2）由题意知：125tan d α=，4

tan DB

β=

因为BC DB DB AE DA DB BA ==+所以4125DB DB d =+则4121d DB =121

tan d

β?= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+125121

125121

1d

d d d -

=+=4125121d d

?+

≤

0d >）当且仅当125121d d ?=时，

即d =时tan()αβ-最大，

因为02

π

αβ<-<，所以αβ-也取最大值

所以，d

=时，αβ-取最大值

B

A

E

D

小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题.

总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视.虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题.所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用.

9．（2010山东17）

已

知

函

数

)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2π??π??<<+-+=

x x x f ，其图象过点).2

1,6(π （Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

2

1

，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]4

,0[π

上的最大值和最小值.

答案：（Ⅰ）因为211()sin 2sin cos cos sin()(0)222

f x x x π

????π=+-+<< 所以11cos 21

()sin 2sin 2cos cos 222

x f x x ???+=+

- 11

sin 2sin cos 2cos 22x x ??=+ 1

(sin 2sin cos 2cos )2x x ??=+ 1

cos(2).2

x ?=-

又函数图象过点1

(,)62

π

所以

11cos(2)226π?=?-，

即cos()1,3π

?-= 又0?π<< 所以.3

π?=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

()c o s (2)2

2

f x

x π

=-

，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

12

，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知

1()(2)cos(4),23

g x f x x π==

- 因为[0,

]4

x π

∈

所以4[0,]x π∈

因此24[,]3

33

x π

ππ

-∈-

故1cos(4)123

x π

-

≤-≤ 所以()[0,

]4

y g x π

=在上的最大值和最小值分别为

12和1

.4

-

10．（2009广东16）已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中(0,)2

π

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值；

（2）若sin()2

π

θ??-=

<<，求cos ?的值． 解：（1）∵与互相垂直，则0cos 2sin =-=?θθ

，

即θθc o s 2s i n =，代入1cos sin 2

2=+θθ得55cos ,552sin ±=±

=θθ，又(0,)2πθ∈，∴5

5

cos ,552sin =

=θθ. （2）∵2

0π

?<

<，

2

0π

θ<<，∴2

2

π

?θπ

<

-<-

，则10

10

3)(sin 1)cos(2

=

--=-?θ?θ，∴cos ?2

2

)sin(sin )cos(cos )](cos[=

-+-=--=?θθ?θθ?θθ.

11.（2009湖北17）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===- （Ⅰ）求向量b c +的长度的最大值； （Ⅱ）设a 4

π

=

，且()a b c ⊥+，求cos β的值.

解析：（1）解法1：(cos 1,sin ),ββ+-b c =则

222||(cos 1)sin 2(1cos ).βββ+=-+=-b c 21cos 1,0||4β-≤≤∴≤+≤ b c ，即0|| 2.≤+≤b c

当cos 1β=-时，有||2,+=b c 所以向量+b c 的长度的最大值为2. 解法2：|1 b |=，||1=c ，||||2+≤=|b c |b +c

当cos 1β=-时，有|(2,0)+-b c |=，即|2+b c |=，

+b c 的长度的最大值为2.

（2）解法1：由已知可得(cos 1,sin ),ββ+-b c =

()cos cos sin sin cos cos()cos αβαβααβα+=+-=-- a b c a ⊥(b+c)，()0a b c ∴?+=，即cos()cos αβα-=

由4

π

α=

，得cos(

)cos

4

4

π

π

β-=，即2()4

4

k k z π

π

βπ-

=±

∈

22()4

k k k z π

βπβπ∴=+

=∈或，,于是cos 0cos 1ββ==或

解法2：若4

π

α=

，则(

22

a =，又由(cos ,sin )

b ββ=，(1,0)

c =-得

()(

(cos 1,sin )22222

a b c ββββ∴?+=?-=+-

a ⊥(b+c)，()0a

b

c ∴?+=，即cos (cos 1)0ββ-=

sin 1cos ββ∴=-，平方后化简得cos (cos 1)0ββ-=

解得cos 0β=或cos 1β=，经检验，cos 0cos 1β

β==或即为所求

12．（2010北京理15）已知函数(x)f 2

2cos 2sin 4cos x x x =+-. （Ⅰ）求()3

f π

=的值；

（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值.

解：（I ）2239()2cos

sin 4cos 13

33344

f π

πππ=+-=-+=- （II ）

22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--

=2

3cos 4cos 1x x -- =2

27

3(cos )3

3

x --,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，

所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73

-

13．（2010广东理16）已知函数()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=

时

取得最大值4.

（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的解析式； （3）若212

()3125

f πα+=，求sin α. 答案：

3sin(2)2

5π

α+

=

，3cos 25α=，2312sin 5α-=，2

1sin 5α=，sin α=．

14．（2010湖北理16）已知函数f （x ）=11

cos()cos(),()sin 23324

x x g x x π

π+-=- （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h （x ）=f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合. 答案：

15．（2010湖南理16）已知函数2()22sin f x x x -．

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合. 答案：