基于haar小波基周跳探测与修复方法

第36卷第1期2011年2月

测绘信息与工程

Journal of Geo matics

V ol.36N o.1

Feb.2011

文章编号:1007 3817(2011)01 0032 02文献标志码:B 基于haar小波基周跳探测与修复方法

曾远星 张书毕 卞和方 侯东阳

(中国矿业大学环境与测绘学院,徐州市解放南路2号,221008)

摘 要:利用haa r小波的紧支性,分析了haar小波GP S周跳检测原理,实现了双频组合观测值中周跳和粗差的判断。

关键词:全球定位系统;周跳;haar小波;紧支性

中图法分类号:P228

在精密定位中,周跳探测和修复在载波相位测量中非常重要,是GPS数据预处理不可或缺的部分。Co llin等[1]首先提出利用小波方法探测周跳,目前小波周跳探测的主要方法是采用db6小波基对信号进行多层分解[2,3]。蔡昌盛等[4]提出了利用db6小波基对观测值进行修复并取得了一定效果,分析利用haar小波对双频组合观测值进行周跳探测,并探测进一步修复周跳的可行性。

1 haar小波原理

由于haar小波是一种不连续的短支集小波,在处理间断问题时比长支集小波更为有效,因为在最初的尺度下,短支小波允许用户对信号特别是离散信号进行更为精细的分析,更接近实际情况。小波的分解过程:将原始信号分别进行低通、高通滤波,再分别进行二元抽样,得到低频、高频(也称平均、细节)两部分系数。其分解公式为:

f j(x)= k z a j k (2j x-k) V j(1)式中,a j k为各序列对应的信号值,其分解与重构原理及其系数的关系推导过程见文献[5]。

2 小波周跳探测原理

周跳是在进行连续载波相位测量时,若接收机对某卫星的载波相位观测值在某一历元发生周跳,则从该历元开始,卫星后的所有载波相位观测值中引入一相同大小的整周偏差数。而粗差是由于仪器故障或疏忽等因素使观测值的绝对值超过限差的测量偏差。周跳具有承接性,而粗差具有间断性。

在M atlab中haar小波变换使用的是M allat算法,采用二元抽样,对双频观测值组合上某些点间相互关系的特征不能完全反映。为了获取信号完整性的特征,需对其进行处理。一般采用的是对组合观测值序列进行外推或内移。采用内移方法,即根据载波相位双差观测值序列 n(n=1,2, ,n)内移一个历元,由 2到 n组成一个新的序列 n-1。分别对 n和 n-1两个序列分解和重构,进行粗差和周跳的探测与修复,其过程为:

1)双频组合观测值序列 n={ 1, 2, 3+N, 4+N, , n+N}和 n-1={ 2, 3+N, 4+N, , n+N}采用M allat算法分解后的高频系数为cd m和cd m,其中m=n/2。给出:

cd2=( 3- 4)/2

cd 1=( 2- 3-N)/2

因此在第3个序列上有N个周跳时可根据cd 1确定,即奇数序列发生周跳可根据高频系数cd m确定。

2)同理,假如在第4个序列上有N个周跳,则可根据高频系数cd2来确定。即偶数序列上开始发生周跳可根据cd m来判断。

3)考虑周跳探测时可能出现粗差,由于粗差没有承接性,则发生粗差时cd m和cd m都能显示。

3 周跳的修复

当有周跳和粗差发生时,出现模量极大值,采用平均值和中误差的方法判断信号跳变的位置,从第1个历元(该历元与真值相差1/2)至第i个历元所求得的i个均值 N i 和方差 2i为:

N i = N i-1 +(N i - N i-1 )/i(2) 2i= 2i-1+(N i -N i-1 )2- 2i-1/i(3)根据第i+1个历元的观测值,求得N i+1 与 N i 之差的绝对值N i+1 - N i ,若满足N i+1 - N i >4 i,就认为第i+1个历元载波相位观测值中有跳变,进

第1期曾远星等:基于haar 小波基周跳探测与修复方法

一步利用探测出来的跳变点,利用多项式或均值法对细节系数进行修复

[6]

。

4 算 例

采用haar 小波分别对加入周跳和粗差的宽巷组合值和内移一个系数的宽巷组合值进行分解,利用IGS Wuhan 测站2010年1月1日的观测资料,观测卫星为PRN 07,采样率为30s 。采用Matlab 平台,求得宽巷观测值的整周模糊度N ,取其中112个历元组成序列 t 。加入周跳和粗差:25、50历元处加入一个周跳,75、100历元处加入一个粗差。

在小波分析中,采用haar 小波基对信号进行单尺度分解如图1所示,其中图1(a)及图1(b)分别为 t 及 t -1的变换细节系数。系数的个数都为观测历元个数的1/2。图1(a)出现跳变的点是25、38、50;图1(b)出现跳变的点是12、37、50。由于两个序列都能探测粗差,如果存在相同或相邻历元,则判断为粗差,其值之和即为发生粗差的历元处,即粗差发生在75和100历元,其他为周跳,这种方法能准确判

断周跳和粗差。

图1 单尺度分解

利用周跳修复原理对高频系数进行修复。修复后的单尺度分解高频系数重构,利用重构信号与原信号的线性组合关系探测周跳,获取两个函数,与原信号之差。将两个差值相加,获取的周跳和粗差分

别为25、50历元处分别为0.9520、1.0691;75、100历元处分别为1.0351、0.8871。试验结果如图2所示,其中图2(a)为haar 变换残差,图2(b)为db6变换细节信号。

获取值与理论值存在微小差异,主要因为差值系数的选择造成,但得出的值精度已经很高了。本文主要对观测值的宽巷组合加入1周跳进行了探讨,

分析了采用的方法对粗差和周跳分离的可行性。

图2 试验结果

5 结束语

小波变换用于周跳探测修复是一种很有效的方法,它通过一定尺度的带通滤波器提取细节信号,并将突变以一定比例放大,从而发现周跳和粗差。与其他方法相比(如图2(b)),它具有定位准确、自动化程度高并能准确获取其大小等优点。文中也有不足的地方,如主要利用了haar 小波的双频观测值宽巷组合数据,对于观测数据的其他线性组合及相邻两个点同时产生粗差等问题没有考虑。

参考文献

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收稿日期:2010 10 28。

第一作者简介:曾远星,硕士生,现主要研究GPS 及其数据处理。E mail:zen gyuan xing19@https://www.wendangku.net/doc/4a19117395.html,

(下转第36页)

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测绘信息与工程第36卷

讨的问题。 参考文献

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绘信息与工程,2008,33(4):33 34

收稿日期:2010 10 19。

第一作者简介:陈晓梅,硕士,高级工程师,现主要研究计算机技术与应用。

E mail:shx yb kpg@https://www.wendangku.net/doc/4a19117395.html,

Satellite Image Fusion Algorithm of Combining HVS

and Fuzzy Membership Function

CH EN X iaomei1 L I Chaof eng2 YA N G M engz hao2

(1Busines s S hool,Jian gnan Un iversity,2School of Information T echnology,Jiangnan U nivers ity,

1800Lihu Road,Wuxi214122,China)

Abstract:A new w avelet satellite im ag e fusion algorithm,based on H uman Vision Sy stem

(H VS)and fuzzy m em bership function,is proposed.The new alg orithm describes image edg e,

tex ture,and bright area by combining w av elet and H VS model.T he fuzzy membership function is used to calculate their w eight co efficient.The image is finally fused by w eig hted average meth o d from w https://www.wendangku.net/doc/4a19117395.html,pared w ith other algorithm described by the references,the new alg orithm can gain better fusion per for mance.

Key Words:w av elet transform;human v ision sy stem;fuzzy membership;satellite image fusion (上接第33页)

Cycle Slip Detection and Repair Methods Based on the Haar Wavelets

ZEN G Yuanx ing ZH AN G S hubi B I AN H ef ang H OU Dongy ang

(Sch ool of En vir on mental Science and Spatial Informatics,C hina Un iversity of M inin g and Techn ology,

2S outh J iefan g Road,Xuz hou221008,Chin a)

Abstract:We analyze GPS cy cle slip detection principle to achiev e the dual com bination of o bser v ations in the cycle slips and g ross error of the judge.Thro ug h the decom positio n and reco nstr uc tion coefficients,w e can derive the relationship betw een the cy cle slips and gro ss error.

Key Words:GPS;cy cle skip;haar w avelet;compact support proper ty

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小波的几个术语及常见的小波基介绍

小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

1关于小波基函数选择的相关研究

小波基函数的选择 1011208041 材料学院冯梦楠 多分辨率分析方法使小波分析成为一种实用的信号分析工具。同传统的Fourier 变换相比，理论上来说小波变换可以刻画信号的任意细节，但在实际应用中，信号分析的好坏很大程度上依赖小波基波的选择。因为与Fourier变换不同，小波基不具有惟一性，它是不规则的，不同的小波基波波形差别很大，其支撑长度和规则性也有很大的差别。因此，对同一个信号选用不同的小波基进行处理所得的结果往往不尽相同。同时，小波变换又是一种在基波可变的情形下其尺度仍可变的信号分析方法，它可在不同尺度下对信号进行分析处理。因此这也意味着即使小波基选定，如尺度选择不当，对信号分析的效果仍然会有一定的影响。因此，最优小波基函数的选择就成为了小波分析在工程应用中的一个重要问题。 小波基函数的选择是一个重要而复杂的问题，它受到测不准原理、小波基函数的性质和具体应用的特点等多方面的综合制约。因此如何选择小波基函数，到目前为止还没有一个统一的理论标准。在实际工程应用中，通常是根据具体问题的特点，结合小波基函数的性质和时频测不准原理进行经验性的选择。如Morlet小波一般用于信号的表示和分类图像识别、特征提取；Mallat小波多用于系统辨识；样条小波则常用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解:对于数字信号则往往选择Haar或Daubechies作为小波基。同时我们也通过用小波基函数处理信号的结果与理论结果的误差，来判断小波基函数的好坏，并由此选定小波基函数。 1．关于小波基函数选择的相关研究 通过查阅国内外相关文献，我了解到目前还是有一些学者在这方面做了一定的探索性工作。宋国乡等人提出了根据小波消失矩来选择小波基的思想。消失矩的定义为:小波Ψ(x)称为具有n阶消失矩，如果对于所有非负整数k，0≤h≤n， k??(x)dxx?0，选择方法是如果被检测信号的奇异度为α，n-1均有＜α＜n，R则需要具有n阶以上的消失矩的紧支撑的小波。其理论依据是假设小波具有紧支撑和n阶消失矩，且n次连续可微(其中n是正整数)，设x为突变点，如果f(x)0在x的Lipschitz奇异度为α(α＜n)，而在x附近n次连续可微，则可以证明 00Wf(x)在x达到极大值。由此可以检测缓变信号的奇异点。0S周小勇等提出了采用小波规则性系数相似性来选择小波基的方法，其思想来源于Fourier变换。Fourier变换是以正弦信号为基波，用其各次谐波来近似某一函数或信号，其Fourier系数代表了各次谐波分量和原信号的相似性。小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微和平滑程度。因此由相似性，可以用平滑的小波，即规则性系数大的小波表示平滑的函数;用不平滑的小波，即规则性系数小的小波表示非平滑的函数。当然这里所说的相似并不是绝对的相似或相近，而只是一种趋势。 2. 小波基函数的选择标准

7.4-整周跳变的探测与修复

7.4 整周跳变的探测与修复 GPS 载波相位测量，只能测量载波滞后相位1周以内的小数部分，不能测量载波滞后相位的整周数)(0N 。其后的载波滞后相位整周数变化值（始后周数），是通过多普勒积分由电子计数器累计读得的。由于GPS 信号接收机自身故障或GPS 信号意外中断，导致载波锁相环路的短暂失锁，而引起多普勒计数的短暂中断；当载波锁相环路重新锁定后，多普勒计数又重新开始，以致造成载波滞后相位整周数变化值（始后周数）的不连续计数。这种多普勒计数的中断现象，称为整周跳变，简称为周跳（cycle slip ）。 当GPS 载波相位观测值没有发生周跳时，卫星一次通过的载波滞后相位整周数是连续的，各时元（历元）的观测值都会含有一个共同的整周未知数，即时元1t 的整周模糊度0N ，当发生周跳时，其后所有的载波相位观测值都会含有一偏差?，该偏差就是中断期间所丢失的整周计数，即周跳后的载波相位观测中含有未知数?+0N 。 所谓周跳的探测就是利用观测的信息来发现周跳。在探测出周跳后，利用观测信息来估计丢失的周数?，从而修正周跳后的载波相位观测值，称为周跳的修复。在探测出周跳之后，也可将?+0N 视为周跳后的整周模糊度而利用平差的原理解求出这个未知参数，这是一个整周模糊度的求解问题。 静态定位中，由于接收机静止不动，周跳的探测与修复问题已得到了很好的解决。在动态环境下，由于动态接收机在不断地运动中，周跳的探测与修复比静态定位要困难得多。 由于GPS 信号接收机能提供多种观测信息，利用这些观测信息本身的相互关系（无需轨道信息），可以对周跳进行探测和修复，目前主要有下列方法。 （1）根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值???+)(Int 随时间 而有规律变化的特性来探测周跳（高次差或多项式拟合法） （2）利用载波相位及其变化率的多项式拟合来探测、修复周跳（多项式拟合法）； （3）利用伪距和载波相位观测值组合来探测、修复周跳（伪距/载波组合法）； （4）利用双频载波相位组合观测值探测、修复周跳（电离层残差法）。 7.4.1用高次差或多项式拟合法 此种方法是根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值???+)(Int 随时间而有规律变化的特性来探测的。GPS 卫星的径向速度最大可达s km /9.0．因而整周计数每秒钟可变化数千周。因此，如果每15s 输出一个观测值的话，相邻观测位间的差值可达数万周，那么对于几十周的跳变就不易发现。但如果在相邻的两个观测值间依次求差而求得观

周跳检测与修复

GPS精密定位 周跳检测与修复（Cycle slip detection and repair） 完整的载波相位是由初始整周模糊度N、计数器记录的整周数INT和接收机基频信号与接到卫星信号的小于一周部分相位差Δφ。Δφ能以极高的精度测定，但这只有在N和INT都正确无误地确定情况下才有意义。卫星在观测中失锁后，造成接收机载波整周计数INT误差，这种现象称为周跳。当重新捕获卫星后，周跳给计数器造成的偏差即为中断期间丢失的整周数，小周跳可以通过检测方法发现后并加以修复，大的周跳或较长时间的失锁，周跳不易修复，需要重新固定整周模糊度。周跳的探测及修复对于用载波相位精密定位至关重要，成功的修复才能获得高精度的结果。 周跳产生的原因： 1.卫星信号暂时阻断； 2.仪器线路暂时故障； 3.外界环境的突变干扰，如电离层、动态变化。 检测周跳的主要方法： 1.屏幕扫描法 观测值中出现周跳后。相位观测值的变化率就不再连续。凡曲线出现不规则的突然变化时，就意味着在相应的相位观测值中出现了整周跳变。早期进行GPS相位测量的数据处理时，就是靠作业人员坐在计算机屏幕前依次对每个站、每个时段、每个卫星的相位观测值的变化率的图像进行逐段检查来探测周跳，然后再加以修复。这种方法比较直观，在早期曾广泛使用。但由于工作繁琐枯燥乏味，而且需反复进行，所以这种手工编辑方法目前正逐步被淘汰，而很少使用了。 2.高次差或多项式拟合法 由于卫星和接收机间的距离在不断变化，因而载波相位测量的观测值INT+Δφ也随时间在不断变化。但这种变化应是有规律的、平滑的。周跳将破坏这种规律性。根据这一特性就能将一些大的周跳寻找出来(尤其是对采样率较高的数据)。 一般来说，一个测站S对同一卫星J的相位观测量，对不同历元间相位观测值取至4至5次差之后，距离变化对整周数的影响已可忽略，这时的差值主要是由于振荡器的随机误差而引起的，因而应具有随机的特性见下表。但是，如果在观测过程中产生了周跳现象，那么便破坏了上述相位观测量的正常变化规率，从而使其高次差的随机特性也受到破坏。我们利用上述性质便可以发现周跳现象。下面以观测量为例，如果在历元t5的观测值中有100周的周跳，则观测量的各阶差值中4次差的异常与历元t5观测值的周跳是相应的。某一历元的周跳发现后，可根据该历元前或后的正确观测值，利用高次差值公式外 载波相位观测量及差值

小波的几个术语及常见的小波基介绍说课材料

小波的几个术语及常见的小波基介绍

小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波基选择及小波发展

问题:小波基如何选择？最近几年小波基有何发展？ 解答： 1.小波函数特性： 由于小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算，基于小波变换的数据压缩目的就是希望经小波分解后得到的三个方向的细节分量具有高度的局部相关性，而整体相关性能最大限度的消除。因此对于同一幅图像，选择不同的小波基进行分解所得到的数据压缩效果是不同的。本文即是对小波函数的特征进行研究，分析不同小波基对图像压缩编码的影响。 小波变换以其优异的时域和频域局部化能力、方向选择能力和与人眼视觉特性相符的多分辨率分析能力, 被广泛应用于图像压缩领域, 并取得了很好的效果。将小波变换用于图像压缩时, 并非所有的小波基都适合图像分解, 小波基的选择直接影响到整个算法的编码能力、变换的复杂性和重构图像的质量, 因此小波基的选择是图像压缩中的一个关键问题。，对于图像压缩来说理想的小波基应该具有下列性质: (1) 正交性 用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的L2(R2)的子空间中，使各子带数据相关性减小。但是能准确重建的、正交的、线性相位、有限冲击响应滤波器组是不存在的，此时一般放宽正交性条件为双正交。 (2) 紧支性与衰减性 称小波Ψ(t)是紧支的，如果它有紧支集;称小波Ψ(t)是急衰或急降的，如果当时t→∞时，它快速衰减或具有指数规律衰减。紧支性与衰减性是小波的重要性质，紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好;紧支小波不需做人为的截断，应用精度很高，但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。 (3) 对称性 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，因为可以构造紧支的正则小波基，而且具有线性相位。Daubechies已经证明，除了Haar 小波基，不存在对称的紧支正交小波基。而对于双正交小波基，可以合成具有对称或反对称的紧支撑小波基。

五种常见小波基函数及其matlab实现

与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形

Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有

Marr小波基函数不同值下的波形

1.题目：完成Marr小波基函数不同值下的波形图。程序：syms f f1 f2 f3 f4 f5 b f =2^(1/2)*(1-4*b^2)*exp(-2*b^2) subplot(3,1,1); ezplot(f) f1 = 2^(1/2)*(1-4*(b-8)^2)*exp(-2*(b-8)^2) hold on ezplot(f1,[5,10]) axis([-15 20 -1.4 1.4]) hold off f2 =(1-b^2)*exp(-1/2*b^2) subplot(3,1,2); ezplot(f2) f3 =(1-(b-8)^2)*exp(-1/2*(b-8)^2) hold on ezplot(f3,[4,12]) axis([-15 20 -1.4 1.4]) hold off f4=1/2*2^(1/2)*(1-1/4*b^2)*exp(-1/8*b^2) subplot(3,1,3) ezplot(f4) f5=1/2*2^(1/2)*(1-1/4*(b-8)^2)*exp(-1/8*(b-8)^2) hold on subplot(3,1,3); ezplot(f5,[0,16]) axis([-15 20 -1 1])

Marr小波基函数图像图像如下： 21/2 (1-4 (b-8)2) exp(-2 (b-8)2) b (1-(b-8)2) exp(-1/2 (b-8)2) -15-10-505101520 b 1/2 21/2 (1-1/4 (b-8)2) exp(-1/8 (b-8)2) b

对应的频域波形如图： 程序：syms f f1 f2 a b c f =2^(1/2)*(1-4*b^2)*exp(-2*b^2) subplot(3,1,1); F=fourier(f) ezplot(F) axis([0 10 0 2]) f1 =(1-b^2)*exp(-1/2*b^2) subplot(3,1,2); F1=fourier(f1) ezplot(F1); axis([0 10 0 2]) f2 = 1/2*2^(1/2)*(1-1/4*b^2)*exp(-1/8*b^2) subplot(3,1,3); F2=fourier(f2) ezplot(F2); axis([0 10 0 3]) 对应波形： 1/4 π1/2 w2 exp(-1/8 w2) w ) 21/2π1/2 w2 exp(-1/2 w2 Array w 8 π1/2 w2 exp(-2 w2) Array w

五种常用小波基含MATLAB实现

1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。 （1）Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 围的单个矩形波。 Haar 函数的 定义如下：其他 1212 1 001-1(t)≤≤≤≤?????=ψt t Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； (t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波 族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j

Haar 小波的时域和频域波形图 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 t haar 时域 x 10 5 1 2 3 4 5 6 75 f haar 频域 i=20; wav = 'haar'; [phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')

小波的几个术语及常见的小波基介绍

小波的几个术语及常见 的小波基介绍 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

组合高次差法与相位求差法在周跳探测与修复中的应用

组合高次差法与相位求差法在周跳探测与修复中的应用 张业旺，卢艳娥，李治安，卢超 （空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077） 摘要：为获取准确无误的载波相位观测数据，必须对载波相位观测中出现的周跳现象进行及时有效的探测与修复。文中分别对高次差分法及双频载波相位求差法进行研究仿真，针对高次差分法对大周跳探测稳定、相位求差法对小周跳探测敏感的各自特点提出将两者相组合的形式进行周跳的探测与修复，介绍了其设施方法步骤，最后利用算例验证了组合方法的可靠性和有效性。 关键词：载波相位；周跳探测与修复；高次差法；相位求差法中图分类号：TN967.1 文献标识码：A 文章编号：1674－6236（2012）24-0087-03 Combination high difference and differenced phase apply to cycle slip detection and repair ZHANG Ye -wang ，LU Yan -e ，LI Zhi -an ，LU Chao （College of Information and Navigation ，Air Force Engineering University ，Xi ’an 710077，China ） Abstract:In order to obtain the accurate carrier phase observation data ，it is necessary to detection and repair cycle slip appear in the carrier phase observation timely and effectively.Research on high difference method and double frequency carrier phase difference method and simulation respectively ，in view of the high difference method to large cycle slip detection stability and phase for difference method for small cycle slip detection sensitive characteristics put forward the combined both the form of cycle slip detecting and repairing ，and introduces the steps of the facilities.Finally ，use an example verified the reliability and effectiveness of the combination method. Key words:carrier -phase ；cycle slip detection and reparation ；high difference ；differenced phase 收稿日期：2012-08-30 稿件编号：201208176 作者简介：张业旺（1987—），男，江苏淮安人，硕士研究生。研究方向：卫星导航、信号处理。 在卫星导航定位中，观测时段延续的时间越长，产生载波相位观测周跳的可能性也就越大，当相位观测数据某一时刻发生周跳时，其后所有的载波相位观测值都会含有丢失的整周计算偏差，为获取无周跳的“干净”载波相位观测数据，正确检测与修复周跳是GPS 数据预处理中的关键问题之一[1]。 周跳的探测与修复从本质上讲就是如何从载波相位观测值的时间序列中寻找可能存在的系统性粗差并加以改正。目前，已有多种方法用于探测与修复周跳，如高次差法[1]、多普勒频移法[2]、小波分析法[3]、电离层残差法[4]、M-W 组合探测法[5]以及多项式拟合[6]等。但是各种方法都不很完善，尤其对于小周跳还不能有效地探测和修复。高次差法实用于大周跳探测，对小周跳探测能力差[1]；多普勒频移探测周跳时，必须保证至少前4个历元的载波相位观测值没有周跳，继而用他们来探测和修复第五个历元的载波相位观测值的周跳[5]；电离层残差法可以探测与修复周跳，但其推证方法不够完善，同时由于没有解决周跳解的多值性问题[4]等。为实现既能降低实现门限又达到满足需求的目标，所以笔者结合高次差分实现简单且对大周跳探测能力强、相位求差法对小周跳探测敏感的各自优点将两者组合起来对对载波相位进行周跳探测与修复。 1高次差法 高次差法[1]是一种简单有效的周跳探测方法，一般指对 观测值在历元间求3次以上差分就称为高次差，其特点就是通过高次求差使周跳的影响放大，从而提高周跳探测的可能性。高次差法所求的差值实际上是由减法滤波器产生的，它是抑制低频信号并消除常数部分的高通滤波，像周跳这样的高频信号则被扩大。如在相邻两个观测值间依次求差而求得观测值的一次差，这时一次差的变化较观测值的变化就小多了。同理可继续求差，二次差则为卫星径向加速度的均值和采样间隔的平方之乘积，变化就更加平缓，当求至四次差或五次差时，呈现偶然误差特性。即四次差后将基本趋于零，而周跳则会破坏这种规律性，根据这一特性就可以把周跳找出来。利用原始相位观测值的高次差分的办法来探测周跳，其原理可以用表1形象地加以表示。现假定该信号在历元T6、T （k +1）的观测值中分别含有周跳e 和k ，构成观测量的各阶差值如表1所示。 文中数据接收于2012年8月26日西安沣镐东路某点，接收机为NovAtel 高精度GPS 接收机。图1为1s 采样率下 电子设计工程 Electronic Design Engineering 第20卷Vol.20第24期No.242012年12月Dec.2012 －87－

matlab小波变换函数说明

Matlab 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 Matlab 函数fft、fft2 和fftn 分别可以实现一维、二维和N 维DFT 算法；而函数ifft、ifft2 和i fftn 则用来计算反DFT 。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM) 其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果X 小于该数值，那么Matlab 将会对X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。 A＝fft2(X,MROWS,NCOLS) 其中，MROWS 和NCOLS 指定对X 进行零填充后的X 大小。别可以实现一维、二维和N 维DF T A＝fftn(X,SIZE) 其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定X 相应维进行零填充后的长度。 函数ifft、ifft2 和ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。 别可以实现一维、二维和N 维DFT 例子：图像的二维傅立叶频谱 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现% 读入原始图像 I＝imread('lena.bmp');函数fft、fft2 和fftn 分 imshow(I) % 求离散傅立叶频谱 J=fftshift(fft2(I)); figure;别可以实现一维、二维和N 维DFT imshow(log(abs(J)),[8,10]) 2. 离散余弦变换的Matlab 实现Matlab 2.1. dct2 函数 功能：二维DCT 变换Matlab 格式：B=dct2(A)

B=dct2(A,m,n) B=dct2(A,[m,n])函数fft、fft2 和fftn 分 说明：B＝dct2(A) 计算A 的DCT 变换B ，A 与 B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和B=dct2(A, [m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。 2.2. dict2 函数 功能：DCT 反变换 格式：B=idct2(A) B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和N 维DFT B=idct2(A,[m,n]) 说明：B＝idct2(A) 计算A 的DCT 反变换B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和B=idct 2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。 Matlab 2.3. dctmtx函数 功能：计算DCT 变换矩阵 格式：D＝dctmtx(n) 说明：D＝dctmtx(n) 返回一个n×n 的DCT 变换矩阵，输出矩阵D 为double 类型。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname')

五种常用小波基含MATLAB实现

1. 给出五种常用小波基的时域和频域波形图。 与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet小波、Meyer小波等5种。 （1） Haar小波 Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在范围内的单个矩形波。 Haar 函数的定义如下： Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如： 计算简单； 不但与正交，而且与自己的整数位移正交。 因此，在的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。 的傅里叶变换是： Haar小波的时域和频域波形图 i=20; wav = 'haar';

[phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1); plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域') （2） Daubechies(dbN)小波 Daubechies小波是世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，简写为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区为，的消失矩为N。除外，dbN不具有对称性（即非线性相位）。dbN没有明确的表达式（除外），但转换函数h的平方模是明确的。 Daubechies小波系是由法国学者Daubechies提出的一系列二进制小波的总称，在Matlab中记为dbN，N为小波的序号，N值取2，3， (10) 该小波没有明确的解析表达式，小波函数φ与尺度函数Φ的有效支撑长度为2N-1.当N取1时便成为Haar小波。 令，其中为二项式的系数，则有 式中，。 Daubechies小波具有以下特点： （1）在时域是有限支撑的，即长度有限。 （2）在频域在=0处有N阶零点。

小波的几个术语及常见的小波基介绍

本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个 这里就当是先作一个备忘录，以后若有需脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。 小波的消失矩的定义为，若 其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p

五种常见小波基函数及其matlab实现

五种常见小波基函数及其 m a t l a b实现 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、 Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最 简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-10 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也 有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因 此，在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交 归一的小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形

Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数 (t)φ中的支撑区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小 波）外，dbN 不具有对称性（即非线性相位）。除1=N （Harr 小 波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是明确的: 令 k N k k N k y p C ∑-=+=1 1-(y)，其中C k N k +1-为二项式的系数，则有 )2 )p(sin 2 (cos ) (2 2 2 0ω ω ω=m 其中：

五种常见小波基函数及其matlab实现

Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-10 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也 有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形 [phi,g1,xval] = wavefun('haar',20); subplot(2,1,1); plot(xval,g1,'LineWidth',2); xlabel('t') title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2); subplot(2,1,2); plot(g3,'LineWidth',2);

xlabel('f') title('haar 频域') Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数 (t)φ中的支撑区为 12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有对称性 （即非线性相位）。除1=N （Harr 小波）外，dbN 没有明确的表达式，但转换 函数h 的平方模是明确的: 令 k N k k N k y p C ∑-=+=1 1-(y)，其中C k N k +1-为二项式的系数，则有 )2 )p(sin 2 (cos ) (2 2 2 0ω ω ω=m 其中： e h jk N k k ω ω-120 2 1 )(m ∑-== Daubechies 小波具有以下特点： 1. 在时域是有限支撑的，即(t)ψ长度有限。 2. 在频域)(ωψ在=0ω处有N 阶零点。 3. (t)ψ和它的整数位移正交归一，即?=δ ψψk k)dt -(t (t)。 4. 小波函数(t)ψ可以由所谓“尺度函数” (t)φ求出来。尺度函数(t) φ为低通函数，长度有限，支撑域在t=0~2N-1的范围内。 db4的时域和频域波形： [phi,g1,xval] = wavefun('db4',10);

常用小波基函数

常用小波基函数 目前主要通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，标准通常有：1）小波函数和尺度函数的支撑长度。 2）对称性。在图像处理中对于避免移相是非常有用的。 3）小波函数和尺度函数的消失矩阶数。 4）正则性。对于信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。 可以通过waveinfo函数获得工具箱中小波函数的主要性质。小波函数和尺度函数可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。 1、haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波基函数，同时也是最 简单的一个函数。 2、morlet函数的尺度函数不存在，其本身不具有正交性。 3、墨西哥草帽函数在时域和频域有很好的局部化，不具有正交性。 4、Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交 小波。 5、Daubechies小波系，简称dbN，它的db1是haar小波，其他小波没有明确的表达 式，dbN函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。dbN大 多不具有对称性，对于正交小波函数，不对称性是非常明显的。正则性随着N的增 加而增加。 6、Biorthogonal小波系，简称biorNr.Nd。它主要应用在信号与图像的重构中，通常的 用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构，可以解决分解与重 构，对称性和重构的精确性成为一对矛盾的问题。Nr为重构，Nd为分解。 7、Coiflet小波系，简称coifN，是由db构造的一个小波函数，具有比dbN更好的对称 性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N、sym3N相同的支撑长度，从消失矩 的数目来看，具有和db2N、sym2N相同的消失矩数目。 8、Symlets小波系，简称symN，是由db改进的一种函数，是金丝对称的。