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折叠问题专题

折叠问题

图形折叠问题中题型的变化比较多,但是经过研究之后不难发现其中的规律,可以得到以下几点经验:

1.图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变,是全等形;

2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称;

3.将长方形纸片折叠,三角形是否为等腰三角形;

4.解决折叠问题时,要抓住图形之间最本质的位置关系,从而进一步发现其中的数量关系;

5.充分挖掘图形的几何性质,将其中的基本的数量关系,用方程的形式表达出来,并迅速求解,这是解题时常用的方法之一。

折叠问题数学思想:(1)思考问题的逆(反方向),(2)从一般问题的特例人手,寻找问题解决的思路;(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想;(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来,并进行分类);(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。

题型1:动手问题

此类题目考查学生动手操作能力,它包括裁剪、折叠、拼图,它既考查学生的动手能力,又考查学生的想象能力,往往与面积、对称性质联系在一起.题型2:证明问题

动手操作的证明问题,既体现此类题型的动手能力,又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明.

题型3:探索性问题

此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题,它与初中代数、几何均有联系.此类题目对于考查学生注重知识形成的过程,领会研究问题的方法有一定的作用,也符合新课改的教育理论。

例1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8。将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D 恰好落在对角线AC上的点F处。

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(1)求EF的长;(2)求梯形ABCE的面积。

变式:将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为()

A.600 B.750 C.900 D.950

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例2:如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′等于( )

A .50°

B .55°

C .60°

D .65°

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变式:把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后ED 与BC 的交点为G ,

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D 、C 分别在M 、N 的位置上,

若∠EFG =55°,则∠1=_______°,∠2=_______°

例3:将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、

②两部分,将①展开后得到的平面图形是( )

A .矩形

B .三角形

C .梯形

D .菱形

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变式:如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,得到的图形是( )

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第8题图

右下方折

右折 沿虚线剪开 A B C D

例4:如图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的

一边AD ,点D 落在BC 边的点F 处,已知AB=8cm ,BC=10cm .求EC 的长.

变式:如图,将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠,使点D 落在BC 中点E 处,点A 落在点F 处,折痕为MN ,求线段CN 的长.

练习:

1、如图所示,有一块直角三角形纸片,90C ∠= ,4cm AC =,3cm BC =,将斜边AB 翻折,使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处,折痕为AD ,则CE 的长为( )

A .1cm

B .1.5cm

C .2cm

D .3cm

2、如图,一圆柱高8cm ,底面半径2cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬

行的最短路程(π取3)是( ).

A 20cm

B 10cm

C 14cm

D 无法确定

3、矩形纸片ABCD 中,AD =4c m ,AB =10c m ,按如图18-1方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则DE =_______c m .

4、在Rt ABC △中,903BAC AB M ∠==°,,为边BC

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AM .如果将ABM △沿直线AM 翻折后,点B 恰好落在边AC 的中点处,那么点M 到AC 的距离是 .

C D

B A E 1题 2题

C E

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5、如图所示:在一块砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面BD=8cm,

地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是。

6、如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得折痕DG,若AB = 2,BC = 1,求AG.

7、如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC

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与AD相交于点F.

(1)求证:△FAC是等腰三角形;

(2)若AB=4,BC=6,求△FAC的周长和面积.

8、如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知

cm

CE6

=,cm

AB16

=,求BF的长.

9、如图,一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。现将其折叠,使点D 与点B重合。求折叠后BE的长和折痕EF的长。

10、矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF折叠,使点A与点C 重合,折叠后在其一面着色(如图),求着色部分的面积。

B

F

E

D

C

B

A

11已知:如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后.点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.

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(1)求∠2、∠3的度数;

(2)求长方形纸片ABCD的面积S.

12.长方形ABCD,E、F分别是BC、AC上的点,AE=EC,若将纸片沿AE折叠,则点B恰好落在F点上,AF与CF是否相等?为什么?

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编者感想:通过这次专题的学习与归纳,我学习到了平面中的折叠问题,懂得了它的解题思想:(1)思考问题的逆(反方向),(2)从一般问题的特例人手,寻找问题解决的思路;(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想;

(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来,并进行分类);(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。我还学到了在做折叠问题时可以通过证全等、等腰,或运用平行线与相交线的知识来解答。总而言之,通过这次专题的学习,我受益匪浅,获益良多,希望以后还有这样的机会。