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西安交通大学附属中学数学轴对称填空选择专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．如图，在ABC ?和ADE ?中，90BAC DAE ∠=∠=?，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.

①ABD ACE ???

②45ACE DBC ∠+∠=?

③BD CE ⊥

④180EAB DBC ∠+∠=?

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．

【详解】

解：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，

即：∠BAD=∠CAE ，

∵AB=AC ，AE=AD ，

∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；

∵△BAD ≌△CAE ，

∴∠ABD=∠ACE ，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

则BD ⊥CE ，故③正确；

∵90BAC DAE ∠=∠=?，

∴∠BAE+∠DAC=180°，

∵∠ADB=∠E=45°，

∴DAC DBC ∠=∠，

∴180EAB DBC ∠+∠=?，故④正确；

故答案为：①②③④．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．

2．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长

为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______

【答案】3

【解析】

【分析】

连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ?? Rt BCE ?，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．

【详解】

如图：连接BE ，

DE ⊥AB ，

090BDE ∴∠=，在Rt BDE ?和Rt BCE ?中，

BE BE BD BC =??=?

， ∴Rt BDE ?? Rt BCE ?，

DE CE ∴=,

∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，

△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，

∴BC=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.

3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．

【答案】12.5

【解析】

【分析】

过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角

形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=1

×5×5=12.5，即可得出结论．

【详解】

如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，

∴∠D=∠ABE，

又∵∠DAB=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，

又∵AD=AB，

∴△ACD≌△AEB（ASA），

∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，

∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，

∵S△ACE=1

×5×5=12.5，

∴四边形ABCD的面积为12.5，

故答案为12.5．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题

4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确

的是_____．（填写序号）

【答案】①③④⑤．

【解析】

【分析】

①根据△ACD ≌△BCE (SAS )即可证明AD ＝BE ；②根据△ACN ≌△BCM (ASA )即可证明AN ＝BM ，从而判断AP ≠BM ；③根据∠CBE +∠CDA ＝60°即可求出∠APM =60°；④根据

△ACN ≌△BCM 及∠MCN ＝60°可知△CMN 为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.

【详解】

①∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形

∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°

∴∠ACE ＝60°

∴∠ACD ＝∠BCE ＝120°

在△ACD 和△BCE 中

CA CB ACD BCE CD CE =??∠=∠??=?

∴△ACD ≌△BCE (SAS )

∴AD ＝BE ；

②∵△ACD ≌△BCE

∴∠CAD ＝∠CBE

在△ACN 和△BCM 中

ACN BCM CA CB

CAN CBM ∠=∠??=??∠=∠?

∴△ACN ≌△BCM (ASA )

∴AN ＝BM ；

③∵∠CAD +∠CDA ＝60°

而∠CAD ＝∠CBE

∴∠CBE +∠CDA ＝60°

∴∠BPD ＝120°

∴∠APM ＝60°；

④∵△ACN ≌△BCM

∴CN＝BM

而∠MCN＝60°

∴△CMN为等边三角形；

⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图

∵△ACD≌△BCE

∴CQ＝CH

∴CP平分∠BPD.

故答案为：①③④⑤．

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.

5．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以

1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

【答案】0；4；8；12

【解析】

【分析】

此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．

【详解】

解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝6?2＝4，

∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，

这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；

③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2，

∴BP＝2，

∴CP＝2＋6＝8，

∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，

∵BC＝6，

∴BP＝6，

∴CP＝6＋6＝12，

点P的运动时间为12÷1＝12（秒），

故答案为：0或4或8或12．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，

∠DEC=30°，HF=3

，则EC=______

【答案】6

【解析】

【分析】

延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．

【详解】

如图，延长AF交CE于P，

∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，

∴∠ABH=∠PAC，

∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，

∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，

∴∠AHF=∠EPF，

∴∠AHB=∠APC，

在△ABH与△APC中，

ABE PAC

AB AC

AHB APC

∠∠

?∠∠

＝

，

∴△ABH≌△APC（ASA），

∴AH=CP，

在△AHF与△EPF中，

AHF EPF

AFH EFP

AF EF

∠∠

∠∠?

＝

＝＝

＝

，

∴△AHF≌△EPF（AAS），

∴AH=EP，∠CED=∠HAF，

∴EC=2AH，

∵∠DEC=30°，

∴∠HAF=30°，

∴AH=2FH=2×

=3，

∴EC=2AH=6．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．

7．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠DCB =90°，CB =CD ，AC =6，则四边形ABCD 的面积是_________.

【答案】18．

【解析】

【分析】根据已知线段关系，将△ACD 绕点C 逆时针旋转90°，CD 与CB 重合，得到△CBE ，证明A 、B 、E 三点共线，则△ACE 是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE 面积．

【详解】

∵CD =CB ，且∠DCB =90°，∴将△ACD 绕点C 逆时针旋转90°，CD 与CB 重合，得到△CBE ，∴∠CBE =∠D ，AC =EC ，∠DCA =∠BCE ．

根据四边形内角和360°，可得∠D +∠ABC =180°，∴∠CBE +∠ABC =180°，∴A 、B 、E 三点共线，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 面积=△ACE 面积= 1

?AC 2=18．

故答案为：18．

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．

8．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ??=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________

【答案】23或43.

【解析】

【分析】

过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出

∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．

【详解】

如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此时S△DCF1=S△BDE；

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，F1D∥BE，

∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=1

∠ABC=30°，∠F2DB=90°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，

∴∠DBC=∠DCB=1

×60°=30°，

∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，

∠CDF2=360°-150°-60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

DF DF

CDF CDF

CD CD

∠∠

＝

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

×60°=30°，

又∵BD=6，

∴BE=

×6÷cos30°=3÷

=23，

∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，

故BF的长为23或43.

故答案为：23或43.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．

9．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，则∠D的度数为_________．

【答案】23°

【解析】

解：过D作DE⊥PC于

E．∵PA⊥PD，∴∠APB+∠DPE=90°．∵AB⊥BC，∴∠A+∠APB=90°，∴∠A=∠DPE=22°．在△ABP和△PED中，

∵∠A=∠DPE，∠B=∠E=90°，PA＝PD，∴△ABP≌△PED，∴AB=PE，BP=DE．∵AB=BC，∴BC=PE，∴BP=CE．∵BP=DE，∴CE=DE，∴∠DCE=45°，∴∠PDC=∠DCE－∠DPC=45°－22°=2 3°．故答案为：23°．

10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若

CD=6，BD=6.5，则AD=_________．

【答案】2.5

【解析】

解：以CD为边向外作出等边三角形DCE，连接AE，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°，在△ACE 与△BCD

中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=DC，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE=6.5，∴AD2+DE2=AE2，∴AD3+62=6.52，∴AD=2.5．故答案为：2.5．

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是

A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC

【答案】B

【解析】

【分析】

根据余角的性质得到∠C=∠ABE，∠EBC=∠BAC．根据SAS推出△ABF≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BF=DF，故A正确；由全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF，等量代换得到∠ADF=∠C，根据平行线的判定得到DF∥BC，故D正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF，等量代换得到BF＞EF；故C正确；根据平行线的性质得到

∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误．

【详解】

∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE．同

理：∠EBC=∠BAC．

在△ABF与△ADF中，∵12

AD AB

AF AF

∠=∠

，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A正确，

∵△ABF≌△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC，故D正确；

∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C正确；

∵DF∥BC，∴∠EFD=∠EBC．∵∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，∴∠EFD=2∠1，故B错误．

故选B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF≌△ADF是解题的关键．

12．如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D是射线BC 上任意一点，连接EC．下列结论：①△AEC△ADB；②EC⊥BC ；③以A、C、D、E为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB的周长为10524

++;⑤当BD=

B时,ED=5AB；其中正确的有（）

A．5个 B．4个 C．3 个 D．2个

【答案】B

【解析】解：

∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△AEC≌△ADB，故①正确；∵△AEC≌△ADB，∴∠ACE=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴J IAO ECB=90°，∴EC⊥BC，故②正确；

∵四边形ADCE的面积=△ADC的面积+△ACE的面积=△ADC的面积+△ABD的面积=△ABC

的面积=4×4÷2=8．故③正确； ∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =

252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；

当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =22

1322BC BC ????+ ? ?????

=10BC =5AB ．故⑤错误．故选B ．

点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．

13．在△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，ED ⊥AB,∠DAE=∠CAE ，则 ∠CAB ＝（）

A ．30°

B ．60°

C ．80 °

D ．50°

【答案】B

【解析】试题解析：∵D 为AB 的中点，ED ⊥AB ，

∴DE 为线段AB 的垂直平分线，

∴AE =BE ，

∴∠DAE =∠DBE ，

∴∠DAE =∠DBE =∠CAE ，

在Rt △ABC 中，

∵∠CAB +∠DBE =90°，

∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°，

∴3∠DBE =90°，

∴∠DBE =30°，

∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°．

故选B ．

14．在△ABC 中， ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，

AB=18cm ，则△DBE 的周长为（）

A ．16cm

B ．8cm

C ．18cm

D ．10cm

【答案】C

【解析】因为 ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，易证

△ACD≌△AED，

所以AE=AC=BC，ED=CD.

△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.

因为AB=12，所以△DBE的周长=12.

故选C.

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.

15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）

A．7.5 B．8 C．10D．15

【答案】A

【解析】

作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出

DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=1

×BC×DE=7.5，

故选：A．

16．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；

②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）

A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D

【解析】

试题解析：①利用公式：∠CDA=1

∠ABC=45°，①正确；

②如图：延长GD与AC交于点P'，

由三线合一可知CG=CP'，

∵∠ADC=45°，DG⊥CF，

∴∠EDA=∠CDA=45°，

∴∠ADP=∠ADF，

∴△ADP'≌△ADF（ASA），

∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；

③如图：

∵∠EDA=∠CDA，

∠CAD=∠EAD，

从而△CAD≌△EAD，

故DC=DE，③正确；

④∵BF⊥CG，GD⊥CF，

∴E为△CGF垂心，

∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴2CD，故④错误；

⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，

则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，

∵∠MFE=∠CGE，

∠CEG=∠EMF=135°，

∴△EMF≌△CEG（AAS），

∴GE=MF，

∴CF=CM+MF=2CD+GE，

故⑤正确；

故选D

点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．

17．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：

①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=1

∠ABC=22.5°，

∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE，故①正确；

∵M为EF的中点，

∴AM⊥EF，故②正确；

过点F作FH⊥AB于点H，

∵BE 平分∠ABC ，且AD ⊥BC ，

∴FD=FH ＜FA ，故③错误；

∵AM ⊥EF ，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，

在△FBD 和△NAD 中

{FBD DAN

BD AD

BDF ADN

∠∠∠∠＝＝＝ ∴△FBD ≌△NAD ，

∴DF=DN ，故④正确；

故选C ．

18．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF .列结论：

①△ADC ≌△AFB ；②△ABE ≌△ACD ；③△AED ≌△AEF ；④BE DC DE +=

其中正确的是( )

A ．②④

B ．①④

C ．②③

D ．①③

【答案】D

【解析】解：∵将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，∴△ADC ≌△AFB ，故①正确； ②无法证明，故②错误；

③∵△ADC ≌△AFB ，∴AF =AD ，∠FAB =∠DAC ．∵∠DAE =45°，∴∠BAE +∠DAC =45°，∠FA E =∠DAE =45°．在△FAE 和△DAE 中，∵AF =AD ，∠FAE =∠DAE ，AE =AE ，∴△FAE ≌△DAE ，故③正确；

④∵△ADC ≌△AFB ，∴DC =BF ，∵△FAE ≌△DAE ，∴EF =ED ，∵BF +BE ＞EF ，∴DC +BE ＞ED ．故④错误．

故选D ．

19．已知111122

A B C A B C

△△的周长相等，现有两个判断：①若

12112

A A

B C

B A A C

==，则

11122

A B C A B C

△≌△；②若

A A

∠∠，

1122

A C A C，则

11122

A B C A B C

△≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）

A．①，②都正确B．①，②都错误

C．①错误，②正确D．①正确，②错误

【答案】A

【解析】

【分析】

根据SSS即可推出△111

A B C?△

222

A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．

【详解】

解：①△111

A B C，△

222

A B C的周长相等，

1122

A B A B

=，

1122

AC A C

=，1122

B C B C

∴=，

∴△

111

A B C?△

222

()

A B C SSS，

∴①正确；

②如图，延长11

A B到

D，使

1111

B D B C

=，，延长

A B到

D，使

2222

B D B C

=，

∴111111

A D A

B B C

=+，

222222

A D A

B B C

=+，

∵111122

A B C A B C

△△的周长相等，

1122

A C A C

∴

1122

A D A D

=，

在△111

A B D和△

222

A B D中

1122

A D A D

A A

A C A C

∠∠

，

∴△

111

A B D?△

222

A B D（SAS）

∴12

D D

∠∠，

∵1111

B D B C

=，

2222

B D B C

∴1111

D D C B

∠∠，

2222

D D C B

∠∠，

又∵1111111

A B C D D C B

∠∠+∠，

2222222

A B C D D C B

∠∠+∠，

∴1112221

==2

A B C A B C D

∠∠∠，

在△111

A B C和△

222

A B C中

111222

1122

A B C A B C

A A

A C A C

∠∠

，

∴△

111

A B C?△

222

A B C（AAS），

∴②正确；

综上所述：①，②都正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．

20．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接

EF、CF，则下列结论中①∠DCF=

3,1

x x

==-∠BCD；②EF=CF；

③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（）

A．①②B．①③④C．①②③D．①②④

【答案】D

【解析】

①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在?ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误；

④设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°-x，

∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

∵∠AEF=90°-x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

故正确的有：①②④．

故选D.

21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）