绝对值计算化简专项练习30题(有答案)1.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|
2.有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图,化简:|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|.
3.已知xy<0,x<y且|x|=1,|y|=2.
(1)求x和y的值;
(2)求的值.
4.计算:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|.
5.当x<0时,求的值.
6.若abc<0,|a+b|=a+b,|a|<﹣c,求代数式的值.
7.若|3a+5|=|2a+10|,求a的值.
8.已知|m﹣n|=n﹣m,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)2的值.
9.a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a﹣b|﹣|a+b|.
10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|.
11.若|x|=3,|y|=2,且x>y,求x﹣y的值.
12.化简:|3x+1|+|2x﹣1|.
13.已知:有理数a、b在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|.
14.++=1,求()2003÷(××)的值.
15.(1)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值?
(2)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值?
(3)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值?
16.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|
17.若a、b、c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值.
18.已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图,其中O为原点,化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|.
19.试求|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|的最小值.
20.计算:.
21.计算:
(1)2.7+|﹣2.7|﹣|﹣2.7| (2)|﹣16|+|+36|﹣|﹣1|
22.计算
(1)|﹣5|+|﹣10|﹣|﹣9|;(2)|﹣3|×|﹣6|﹣|﹣7|×|+2|
23.计算.
(1);(2).24.若x>0,y<0,求:|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值.
25.认真思考,求下列式子的值.
.
26.问当x取何值时,|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值,并求出最小值.
27.(1)当x在何范围时,|x﹣1|﹣|x﹣2|有最大值,并求出最大值.
(2)当x在何范围时,|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值,并求出它的最大值.
(3)代数式|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|+…+|x﹣99|﹣|x﹣100|最大值是_________ (直接写出结果)
28.阅读:
一个非负数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,所以,当a≥0时|a|=a,根据以上阅读完成下列各题:
(1)|3.14﹣π|= _________ ;
(2)计算= _________ ;
(3)猜想:= _________ ,并证明你的猜想.
29.(1)已知|a﹣2|+|b+6|=0,则a+b= _________
(2)求|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|的值.
30.已知m,n,p满足|2m|+m=0,|n|=n,p?|p|=1,化简|n|﹣|m﹣p﹣1|+|p+n|﹣|2n+1|.
参考答案:
1.解:∵a、c在原点的左侧,a<﹣1,
∴a<0,c<0,
∴2a<0,a+c<0,
∵0<b<1,
∴1﹣b>0,
∵a<﹣1,
∴﹣a﹣b>0
∴原式=﹣2a+(a+c)﹣(1﹣b)+(﹣a﹣b)
=﹣2a+a+c﹣1+b﹣a﹣b
=﹣2a+c﹣1.
故答案为:﹣2a+c﹣1
2.解:由图可知:b<0,c>a>0,
∴a﹣b>0,b﹣c<0,a﹣c<0,
∴|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|,
=(a﹣b)﹣(b﹣c)﹣(a﹣c),
=a﹣b﹣b+c﹣a+c,
=2c﹣2b
3.解:(1)∵|x|=1,∴x=±1,
∵|y|=2,∴y=±2,
∵x<y,∴当x取1时,y取2,此时与xy<0矛盾,舍去;
当x取﹣1时,y取2,此时与xy<0成立,
∴x=﹣1,y=2;
(2)∵x=﹣1,y=2,
∴=|﹣1﹣|+(﹣1×2﹣1)2=|(﹣1)+(﹣)|+[(﹣2)+(﹣1)]2=|﹣|+(﹣3)2=+9 =10
4.解:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|
=5+10÷2
=5+5
=10
5.解:∵x<0,
∴|x|=﹣x,
∴原式==0+=﹣
6.解:∵|a|<﹣c,
∴c<0,
∵abc<0,
∴ab>0,
∵|a+b|=a+b,
∴a>0,b>0,
∴=++=1+1﹣1=1
7.解:∵|3a+5|=|2a+10|,
∴3a+5=2a+10或3a+5=﹣(2a+10),
又|m|=4,|n|=3,
∴m=﹣4,n=3或m=﹣4,n=﹣3.
∴当m=﹣4,n=3时,(m+n)2=(﹣1)2=1;
当m=﹣4,n=﹣3时,(m+n)2=(﹣7)2=49
9.解:∵a<0,b>0,
∴a﹣b<0;
又∵|a|>|b|,
∴a+b<0;
原式=﹣a+[﹣(a﹣b)]﹣[﹣(a+b)],
=﹣a﹣(a﹣b)+(a+b),
=﹣a﹣a+b+a+b,
=﹣a+2b
10.解:由图可知:c<a<0<b,
则有a﹣c>0,a﹣b<0,b﹣c>0,2a<0,
|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|,
=(a﹣c)﹣(b﹣a)﹣(b﹣c)+(﹣2a),
=a﹣c﹣b+a﹣b+c﹣2a,
=﹣2b.
故答案为:﹣2b
11.解:因为x>y,
由|x|=3,|y|=2可知,x>0,即x=3.
(1)当y=2时,x﹣y=3﹣2=1;
(2)当y=﹣2时,x﹣y=3﹣(﹣2)=5.
所以x﹣y的值为1或5
12.解:分三种情况讨论如下:
(1)当x<﹣时,
原式=﹣(3x+1)﹣(2x﹣1)=﹣5x;
(2)当﹣≤x<时,
原式=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2;
(3)当x≥时,
原式=(3x+1)+(2x﹣1)=5x.
综合起来有:|3x+1|+|2x﹣1|=.
13.解:由数轴可知:1>a>0,b<﹣1,
所以原式=a+[﹣(a+b)]﹣(1﹣a)﹣[﹣(b+1)]=a 14.解:∵=1或﹣1,=1或﹣1,=1或﹣1,
又∵++=1,
不妨设,==1,=﹣1,即a>0,b>0,c<0,
∴|abc|=﹣abc,|ab|=ab,|bc|=﹣bc,|ac|=﹣ac,
∴原式=()2003÷(××)=(﹣1)2003÷1=﹣1
15.解:(1)∵数x表示的点到﹣1表示的点的距离为|x+1|,到2表示的点的距离为|x﹣2|,到3表示的点的距离为|x﹣3|,
∴当x=2时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为3﹣(﹣1)=4;
(2)当x=1或x=2时,|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值为5;
(3)当x=10或x=12时,|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值=50
16.解:原式=(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=﹣
=
17.解:∵a,b,c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,
∴a、b、c有两个数相等,
不妨设为a=b,
则|c﹣a|=1,
∴c=a+1或c=a﹣1,
∴|a﹣c|=|a﹣a﹣1|=1或|a﹣c|=|a﹣a+1|=1,
∴|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|=1+1=2
18.解:根据数轴可得
c<b<0<a,
∴|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|=a﹣b﹣(2a﹣b)+a﹣c﹣(﹣c)=a﹣b﹣2a+b+a﹣c+c=0
19.解:∵2005=2×1003﹣1,
∴共有1003个数,
∴x=502×2﹣1=1003时,两边的数关于|x﹣1003|对称,此时的和最小,
此时|x﹣1|+|x﹣3|+…+|x﹣2003|+|x﹣2005|
=(x﹣1)+(x﹣3)…+(1001﹣x)+(1003﹣x)+(1005﹣x)+…+(2005﹣x)
=2(2+4+6+ (1002)
=2×
=503004
20.解:
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=﹣
=
21.解:(1)原式=2.7+2.7﹣2.7
=2.7;
=51
22. 解:(1)原式=5+10﹣9
=6;
(2)原式=3×6﹣7×2
=18﹣14
=4
23.解:(1)原式=﹣+=;
(2)原式=﹣+=
24.解:∵x>0,y<0,
∴x﹣y+2>0,y﹣x﹣3<0
∴|y|+|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|=﹣y+(x﹣y+2)+(y﹣x﹣3)=﹣y+x﹣y+2+y﹣x﹣3=﹣y﹣1
25.解:原式=﹣+﹣+﹣
=﹣
=
26.解:1﹣2011共有2011个数,最中间一个为1006,此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值,最小值为|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|
=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|
=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005
=1011030
27.解:(1)∵|x﹣1|﹣|x﹣2|表示x到1的距离与x到2的距离的差,
∴x≥2时有最大值2﹣1=1;
(2)∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和,
∴x≥4时有最大值1+1=2;
(3)由上可知:x≥100时|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|+…+|x﹣99|﹣|x﹣100|有最大值1×50=50.
故答案为50
28.解:(1)原式=﹣(3.14﹣π)
=π﹣3.14;
(2)原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=;
(3)原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
故答案为π﹣3.14;;
29.解:(1)∵|a﹣2|+|b+6|=0,
∴a﹣2=0,b+6=0,
∴a=2,b=﹣6,
∴a+b=2﹣6=﹣4;
(2)|﹣1|+|﹣|+…+|﹣|+|﹣|
=1﹣+﹣+…+﹣+﹣
=1﹣
=.
故答案为:﹣4,
30.解:由|2m|+m=0,得:2|m|=﹣m,∴m≤0,
∴﹣2m+m=0,即﹣m=0,
∴m=0.
由|n|=n,知n≥0,
由p?|p|=1,知p>0,即p2=1,且p>0,
∴p=1,
∴原式=n﹣|0﹣1﹣1|+|1+n|﹣|2n+1|=n﹣2+1+n﹣2n﹣1=﹣2
绝对值综合专题讲义 绝对值的定义及性质 绝对值的定义: 绝对值的性质: (1)绝对值的非负性,可以用下式表示 (2) |a|= ( 3)若|a|=a,则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, (4)若 |a|=|b| ,则 ( 5)|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】 ( 1)绝对值大于而小于的整数有多少个 ( 2)若 ab<|ab|,则下列结论正确的是() < 0, b< 0> 0, b< 0< 0, b> 0< 0 ( 3)下列各组判断中,正确的是() A.若 |a|=b,则一定有 a=b B.若|a| > |b|,则一定有 a> b C. 若 |a| >b,则一定有 |a|> |b| D.若 |a|=b,则一定有 a 2 =(-b)2 ( 4)设 a, b 是有理数,则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少 ( 5)若3|x-2|+|y+3|=0,则y 的值是多少x ( 6)若|x+3|+(y-1) 2 =0,求( 4 ) n的值 y x
【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|,则下面哪个答案正确() >b =b 初 绝对值化简 知识点经典例题及练习题带答案
环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号:副校长/组长签字:签字日期: 【考纲说明】 1、能够根据绝对值的意义、性质及非负性进行绝对值的化简; 2、灵活运用绝对值的性质进行化简和方程的解决。 【趣味链接】 由于研究的需要,人类创造了了大量的数学符号,来代替和表示某些数学概念和规律,简化了数学研究工作,促进了数学的发展.在中学数学中,常见的数学符号有以下八种:数量符号、运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、简写符号、逻辑符号、集合论符号,其中,绝对值符号属于性质符号中的一种,常见的性质符号还有正号(+)和负号(-)。数学符号不仅随着数学发展的需要而产生,而且也随着数学的发展不断完善。我国宋朝科学家沈括说过,数学方法应该“见繁即变,见简即用”。数学符号正是适应这种变“繁”为“简”的实际需要而产生的。 【知识梳理】 一. 绝对值的实质: 正实数与零的绝对值是其自身,负实数的绝对值是它的相反数,即
也就是说,|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。 总之,任何实数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义: 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 三. 绝对值的性质: 1. 有理数的绝对值是一个非负数,即|x|≥0,绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值,并且任何一个有理数都不大于它的绝对值,即x ≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值,那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等,则这两个数不一定相等(显然如|6|=|-6|,但6≠-6),只有这两个数同号,且这两个数的绝对值相等时,这两个数才相等。 【经典例题】 【例1】(2012毫州)若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________. 【例2】(2012曲阜)(1)已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____; (2)已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____; (3)已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____. 【例3】(2012徐州)若|a|=b ,求|a+b|的值. 【例4】(2012淮北)已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求 y xy x 4312--的值. 【例5】(2012商丘)|m+3 |+|n-2 7|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值.
绝对值计算化简专项练习30题(有答案)1.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b| 2.有理数a,b,c在数轴上的对应位置如图,化简:|a﹣b|+|b﹣c|+|a﹣c|. 3.已知xy<0,x<y且|x|=1,|y|=2. (1)求x和y的值; (2)求的值. 4.计算:|﹣5|+|﹣10|÷|﹣2|. 5.当x<0时,求的值. 6.若abc<0,|a+b|=a+b,|a|<﹣c,求代数式的值.
7.若|3a+5|=|2a+10|,求a的值. 8.已知|m﹣n|=n﹣m,且|m|=4,|n|=3,求(m+n)2的值. 9.a、b在数轴上的位置如图所示,化简:|a|+|a﹣b|﹣|a+b|. 10.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,试化简下式:|a﹣c|﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+|2a|. 11.若|x|=3,|y|=2,且x>y,求x﹣y的值. 12.化简:|3x+1|+|2x﹣1|. 13.已知:有理数a、b在数轴上对应的点如图,化简|a|+|a+b|﹣|1﹣a|﹣|b+1|.
14.++=1,求()2003÷(××)的值. 15.(1)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值? (2)|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣1|的最小值? (3)|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣20|的最小值? 16.计算:|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣| 17.若a、b、c均为整数,且|a﹣b|3+|c﹣a|2=1,求|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值. 18.已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图,其中O为原点,化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|.
绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C).
归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,,
∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为().
《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.