重庆中考数学专题复习 材料阅读题(无答案)
中考专题
3:材料阅读题
类型一：代数1（整除类）
1. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得
n b
a
=，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a
=3
，即n a 3=。
（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。
（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
2. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又
将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
1011031132332222222=+→=+→=+→，
1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．
3. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有
最大的对称数，因为数位是无穷的．
（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；
（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除； （3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？
4. 若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b
=，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得
11
a
n =，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”. ①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；
②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。
5. 我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。
（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和 （2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。
6. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数. 如22，797，12321都是对称数，最小的对称数是11,但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.
（1）若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除；
（2）设一个三位对称数为______
aba （ 10a b +<），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.
7. 观察下列等式：
12×231=132×21， 14×451=154×41， 32×253=352×23， 34×473=374×43，45×594=495×54，...
以上每个等式中的两边数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”： 35× = ×53； ×682=286× 。 （2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且，用含m ，n 的代数式表示数字
对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，求出P 能被110整除时mn 的值。
8. 如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，被重
复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数．例如：252525，它由“25” 依次重复出现组成，所以252525是循环数，它是2阶6位循环数，再如：11，是1阶2位循环数；789789789是3阶9位循环数；473847384738是4阶12位循环数……
（1）请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由； （2）已知一个能被11整除的2阶4位循环数，设循环节为xy ，求y 与x 的函数关系．
9. 10. 11.有一个n位自然数abcd gh能被
x整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd gha能被
1
x+整除，
再依次轮换个位数字得到的新数cd ghab能被
2
x+整除，按此规律轮换后，d ghabc能被
3
x+整
除，…，habc g能被
1
x n
+-整除，则称这个n位数abcd gh是
x的一个“轮换数”.
例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；
再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”. （1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”. （2）若三位自然数abc是3的一个“轮换数”，其中2
a=，求这个三位自然数abc.
类型二：代数2
1. 设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如： 818?=，∴1|8； 155?-=-，∴5|5--； 5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ；
（2）若7|21k +，且k 为整数，满足???
??≤≥-53
134k k ，求k 的值.
2. 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p ，q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们称p ×q 是n 的最佳分解.并规定：
q
p
F =
)(n .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解,所以4
3
)(12=F .
（1）如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m ，总有1)(m =F ；
（2）如果一个量为正整数t ，y x t +=10（1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.
3. 对x ，y 定义了一种新运算T ，规定T （x ，y ）=（其中a ，b 均为非零常数），这里等式右边
是通常的四则运算，运算，例如：T (0，1)=b
b a =+??+?1021
0．
（1）已知T (1，-1)= -2，T (4，2)=1．
①求a ，b 的值；
②若关于m 的不等式组(2,54)4(,32)T m m T m m p -≤??
->?
恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；
（2）若T (x ，y )= T (y ，x )对于任意实数x ，y 都成立，（这里T (x ，y )和T (y ，x )均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？
4. 进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n (10n ≤)进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(1)n -进行记数，特点是逢n 进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数25(234)2535469=?+?+=，记作5(234)69=，
七进制数27(136)1737676=?+?+=，记作7(136)76=。 （1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)=______，7(46)=______
（2）若一个正数可以用七进制表示为()abc ，也可以用五进制表示为5()cba ，请求出这个数并用十进制表示
5. 进位计数制是利用固定的数字符号和统一的规则来计数的方法，简称进制，对于任何一种进制X 进制，就表示某一位置上的书运算时逢X 进一位，如十进制数
01)10(101102103321?+?+?=2，记作：,321)10(
七进制数)7(01)7(321,717273321记作?+?+?=2各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成进制，只要将七进制的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，例如：
）
（即10)7(01)7(162321,162114147717273321==++=?+?+?=2 将十进制数化为其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可，如：
)7()10(321162=∴ )2()10(1015=∴ （1）根据以上信息进行进制转化：
①将七进制数转化成十进制数：=)7(25 ②将十进制数转化成2进制数：=)10(17
（2）已知x +y =6（x ，y 为正整数）是否存在由一个十进制两位数xy ，使得该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a 的三位数，若存在，请求出这个十进制两位数，若不存在，请说明理由。
6. 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：
223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
220-00=，220-11=，221-23=， 220-24=，222-35=，223-47=，
221-38=，224-59=，225-611=，．．．． 小王认为小明的方法太麻烦，他想到:
设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=-+++=
-+k k k k k k k （（． 所以，自然数中所有奇数都是智慧数． 问题：
(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______
(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数．
(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．
7. 对于实数x ，y 我们定义一种新运算()L x y ax by =+，（其中a ，b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，
由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为()L x y ，，其中x ，y 叫做线性数的一个数对．若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．
(1) 若()3L x y x y =+，，则(21)L =，
___________，31
()22
L =，___________； (2) 已知(2)1L -=-1，
，1
()232
L =1，． ①____________a b ==，；
②若正格线性数(2)L m m -，，求满足50(2)100L m m <-<，的正格数对有多少个；
③若正格线性数()76L x y =，，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．
8. 连续整数之间有许多神奇的关系，
如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a ，b ，c （a ＜b ＜c ） 若a 2+b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”； 若a 2+b 2
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”； （2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
若有3个连续整数：32+42+52
25=2；
若有5个连续整数：102+112+122+132+142
365=2； 若有7个连续整数：212+222+232+242+252+262+2722030
=2； 由此获得启发，若存在n （7 9. 若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且|x 1|+|x 2|=2|k|（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二 次方程”．如方程x 2 ﹣6x ﹣27=0，x 2 ﹣2x ﹣8=0， ，x 2+6x ﹣27=0，x 2 +4x+4=0，都是“偶系二次方程”． （1）判断方程x 2 +x ﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2 +bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由． 10. 先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n n a a a a 记为个 ?。如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即。一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n 且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为 ()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即。 问题：（1）计算以下各对数的值 = == 64log 16log 4log 222 （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、 之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ ()0,0,10log log >>≠>= +N M a a N M a a 且 根据幂的运算法则：m n m n a a a +=?以及对数的含义证明上述结论。 11.认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是． 问题（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值． 问题（4）：若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a对任意的实数x都成立，求a的取值． 类型三：几何类 1. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），（-2，-2） ，，… 都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。 （1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x = （n 为常数，n ≠0）的图像上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数31y kx s =+-（k,s 为常数）的图像上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由； （3）若二次函数 2 1y ax bx =++（a,b 是常数，a ＞0）的图像上存在两个“梦之点”A 11(,)x x ， B 22(,)x x ,且满足-2＜1x ＜2，12x x -=2，令 2 157 48t b b =-+，试求t 的取值范围。 2. 已知点 00(,) P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式 d = 例如：求点(2,1)P -到直线1y x =+的距离． 解：因为直线1y x =+可变形为10x y -+=，其中1,1k b == 所以点(2,1)P -到直线1y x =+ 的距离为： d = = = = 根据以上材料，求：（1）点(1,1)P 到直线32y x =-的距离，并说明点P 与直线的位置关系； （2）点(2,1)P -到直线21y x =-的距离； （3）已知直线1y x =-+与3y x =-+平行，求这两条直线的距离． 3. 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点．而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以 二元一次方方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如 图2-4-10可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标（1，3）就是方程组1 3x y =?? =? 在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图2-4-11；21y x ≤+也表示一 个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图2-4-12．回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中， （1）用作图象的方法求出方程组2 22x y x =-?? =-+? 的解． （2）用阴影表示2 220x y x y ≥-?? ≤-+??≥? ，所围成的区域． 图2-4-12 图2-4-11图2-4-10y x O y=2x+1 y x O 1 3 y=2x+1 1 P(1,3) O x y 4. 若12,x x 是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根12,x x 和系数,,a b c 有如下关 系：1212, b c x x x x a a +=-?= . 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为： 222 21212122444()4(). b c b ac b ac AB x x x x x x a a a a --=-=+-=--== 请你参考以上定理和结论，解答下列问题: 设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ?为等腰三角形. （1）当ABC ?为等腰直角三角形时，求24;b ac -的值 （2）当ABC ?为等边三角形时，24b ac -= . （3）设抛物线21y x kx =++与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且90ACB ∠=?,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB ∠=?？ 5. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下定义： 若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|； 若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|． 例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点）． （1）已知点A （0，1），B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为3，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知M 是直线y=﹣x ﹣2上的一个动点， ①如图2，点N 的坐标是（﹣2，0），求点M 与点N 的“非常距离”d 的最小值及相应的点M 的坐标； ②若P 是坐标平面内的一个动点，且OP=，直接写出点M 与点P 的“非常距离”d 的最小值及相应的点P 和点M 的坐 标． 6. ．阅读材料： 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点 A (1x ，1y )，()22y x B ，，由勾股定理可得： ()()2 212 212y y x x AB -+-=，我们把 ()()2 21221y y x x -+- 叫做A 、B 两点之间的距离，记作 ()() 2 212 21y y x x AB -+-= ． 例题:在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P(x ，0)． ①A(0，2)，B (3，-2)，则AB= ．；PA = ．； 解：由定义有()()[]522302 2=--+-= AB ； ()()420322 2+=-+-= x x PA ． ② ()412+-x 表示的几何意义是 ．；()92122+-+ +x x 表示的几何意义是 ．． 解：因为 ()()()22220141-+-=+-x x ，所以()412+-x 表示的几何意义是点()0， x P 到点()21，的距离；同理可得，()92122 +-+ +x x 表示的几何意义是点()0， x P 分别到点(0，1)和点(2，3)的距离和． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)如图，已知直线82+-=x y 与反比例函数x y 6 = (x ＞0)的图像交于()()2211y x B y x A ，、，两点，则点A 、B 的坐标分别为A( ， )，B( ， )，AB= ． (2)在(1)的条件下，设点()0， x P ，则()()22222121y x x y x x +-++-表示的几何意义 是 ；试求 ()()22222121y x x y x x +-++-的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标． 7. 对某一个函数给出如下定义，若存在实数M ﹥0，对于任意的函数值y ，都满足 -M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值，例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1. ⑴ 判断函数x y 1 = （x ﹥0）和1+=x y （-4﹤x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求出其边界值。 ⑵ 若函数1+-=x y （a ≤x ≤b ，b ﹥a ）边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围。 ⑶ 将函数2 x y =（-1≤x ≤m ，m ≥0)的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界是t ，当m 在什么范围时满足 4 3 ≤t ≤1 8.