中考数学专题复习专题八图形折叠问题213

专题八 图形折叠问题

类型一 折叠三角形

(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连结OF ，OG ，则下列判断错误的是( )

A ．△ADF≌△CGE

B ．△B′FG 的周长是一个定值

C ．四边形FOEC 的面积是一个定值

D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值

【分析】A ．根据等边三角形ABC 的外心的性质可知AO 平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得FO 平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE；

B ．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF ＝GF ＝GE ，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论；

C ．根据S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE 判断即可；

D ．将S 四边形OGB′F ＝S △OAC －S △OFG ，根据S △OFG ＝1

2·FG·OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F

的面积也变化，可作判断． 【自主解答】

三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．

类型二折叠平行四边形

(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．

【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．

【自主解答】

关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．

1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将?ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E 为( )

A ．102°

B ．112°

C ．122°

D ．92° 类型三 折叠菱形

(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕．若B′M＝1，则CN 的长为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【分析】连结AC ，BD ，利用菱形的性质得OC ＝12AC ＝3，OD ＝1

2BD ＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算

出CD ＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到DN ＝BM ，然后根据折叠的性质得BM ＝B′M＝1，从而有DN ＝1，于是计算CD －DN 即可． 【自主解答】

折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．

2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为__________．

3．如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝ 4

3，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对

应线段EF 经过顶点D ，当EF⊥AD 时， BN

CN

的值为____．

类型四 折叠矩形

(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上．若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝________．

【分析】设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2，利用折叠的性质得DF ＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE ＝∠A＝90°，则可判断四边

形AEFD 为正方形，所以AE ＝AD ＝x ，再根据折叠的性质得DH ＝DC ＝x ＋2，则AH ＝AE －HE ＝x －1，然后根据勾股定理得到x 2

＋(x －1)2

＝(x ＋2)2

，再解方程求出x 即可． 【自主解答】

此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．

4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． ①当E 为线段AB 中点时，AF∥CE； ②当E 为线段AB 中点时，AF ＝9

5

；

③当A ，F ，C 三点共线时，AE ＝13－213

3；

④当A ，F ，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.

类型五 折叠正方形

(2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x. (1)当AM ＝1

3

时，求x 的值；

(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．

【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；

(2)设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，MD ＝1－y ，在Rt △AEM 中，由勾股定理得出x ，y 的关系式，可证

Rt △AEM∽Rt △DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP 的周长；

(3)作FH⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可． 【自主解答】

正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点，所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点．

5．综合与实践

问题背景

折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1)：

操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B′E的位置，得到折痕MN，B′E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点，即AP∶PB＝2∶1.

解决问题

(1)在图1中，若EF 与MN 交于点Q ，连结CQ.求证：四边形EQCM 是菱形； (2)请在图1中证明AP∶PB＝2∶1. 发现感悟

若E 为正方形纸片ABCD 的边AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：

(3)如图2.若DE AE ＝2.则AP

BP ＝________；

(4)如图3，若DE AE ＝3，则AP

BP

＝________；

(5)根据问题(2)，(3)，(4)给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．

类型六 折叠圆

(2018·湖北武汉中考)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ︵上，将BC ︵

沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D.若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是( )

A ．2 3

B ．3 2 C.53

2

D.

652

【分析】连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于F ，利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解． 【自主解答】

6．如图，将半径为4 cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为( )

A ．2 3 cm

B ．4 3 cm C. 3 cm

D. 2 cm

参考答案

类型一

【例1】 A ．如图，连接OA ，OC. ∵点O 是等边三角形ABC 的外心， ∴AO 平分∠BAC，

∴点O 到AB ，AC 的距离相等． 由折叠得DO 平分∠BDB′， ∴点O 到AB ，DB′的距离相等， ∴点O 到DB′，AC 的距离相等，

∴FO 平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝1

2

(∠FAD＋∠ADF)．

由折叠得∠BDE＝∠ODF＝1

2

(∠DAF＋∠AFD)，

∴∠OFD＋∠ODF＝1

2(∠FAD＋∠ADF＋∠D AF ＋∠AFD)＝120°，

∴∠DOF＝60°. 同理可得∠EOG＝60°， ∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG， ∴△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴OD＝OG ，OE ＝OF ，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB， ∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，

∴AD＝CG ，AF ＝CE ，∴△ADF≌△CGE，故选项A 正确； B ．∵△DOF≌△GOF≌△GOE， ∴DF＝GF ＝GE ，

∴△ADF≌△B′GF≌△CGE，∴B′G＝AD ，

∴△B′FG 的周长＝FG ＋B′F＋B′G＝FG ＋AF ＋CG ＝AC(定值)，故选项B 正确； C ．S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE ＝S △OCF ＋S △OAF ＝S △AOC ＝1

3(定值)，故选项C 正确；

D ．S 四边形OGB′F ＝S △OFG ＋S △B′GF ＝S △OFD ＋S △ADF ＝S 四边形OFAD ＝S △OAD ＋S △OAF ＝S △OCG ＋S △OAF ＝S △OAC －S △OFG . 如图，过O 作OH⊥AC 于H ， ∴S △OFG ＝1

2

·FG·OH，

由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，故选项D 不一定正确．故选D.

类型二

【例2】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，CD ＝AB ＝2.

由折叠知∠DAC＝∠EAC.

∵∠DAC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EAC， ∴OA＝OC.

∵AE 过BC 的中点O ， ∴AO＝1

2BC ，

∴∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝90°. 由折叠知∠ACE＝90°， ∴E，C ，D 共线，则DE ＝4， ∴△ADE 的周长为3＋3＋4＝10. 故答案为10. 变式训练 1．B 类型三

【例3】 如图，连结AC ，BD. ∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点， ∴CD＝32

＋42

＝5.

∵AB∥CD，∴∠MBO＝∠NDO. 在△OBM 和△ODN 中， ????

?∠MBO＝∠NDO，OB ＝OD ，

∠BOM＝∠DON，

∴△OBM≌△ODN，∴DN＝BM.

∵过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM＝B′M＝1，∴DN＝1， ∴CN＝CD －DN ＝5－1＝4.故选D.

变式训练 2．2.8 3.2

7

类型四

【例4】 设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2.

∵把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处， ∴DF＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形AEFD 为正方形， ∴AE＝AD ＝x.

∵把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上， ∴DH＝DC ＝x ＋2. ∵HE＝1，

∴AH＝AE －HE ＝x －1.

在Rt△ADH 中，∵AD 2

＋AH 2

＝DH 2

， ∴x 2

＋(x －1)2

＝(x ＋2)2，

整理得x 2

－6x －3＝0，解得x 1＝3＋23，x 2＝3－23(舍去)， 即AD 的长为3＋2 3. 故答案为3＋2 3. 变式训练 4．①②③ 类型五

【例5】 (1)在Rt△AEM 中，AE ＝1－x ，EM ＝BE ＝x ，AM ＝1

3.

∵AE 2

＋AM 2

＝EM 2

，

∴(1－x)2＋(13)2＝x 2

，∴x＝59

.

(2)△PDM 的周长不变为定值2.理由如下： 设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，AE ＝1－x.

在Rt△AEM 中，由勾股定理得AE 2

＋AM 2

＝EM 2

， (1－x)2

＋y 2

＝x 2

，解得1＋y 2

＝2x ， ∴1－y 2＝2(1－x)． ∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D， ∴Rt△AEM∽Rt△DMP，

∴AE ＋EM ＋AM DM ＋MP ＋DP ＝AE

DM ，

即

1－x ＋x ＋y DM ＋MP ＋DP ＝1－x

1－y

，

解得DM ＋MP ＋DP ＝1－y

2

1－x ＝2，

∴△DMP 的周长为2.

(3)如图，作FH⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.

在Rt△AEM 中，

AM ＝x 2

－（1－x ）2

＝2x －1. ∵B，M 关于EF 对称，∴BM⊥EF， ∴∠KOF＝∠KHB.

∵∠OKF＝∠BKH，∴∠KFO＝∠KBH. ∵AB＝BC ＝FH ，∠A＝∠FHE＝90°， ∴△ABM≌△HFE， ∴EH＝AM ＝2x －1， ∴CF＝BH ＝x －2x －1， ∴S＝1

2(BE ＋CF)·BC

＝1

2

(x ＋x －2x －1) ＝12[(2x －1)2

－2x －1＋1] ＝12(2x －1－12)2＋38

. 当2x －1＝12时，S 有最小值为38.

变式训练

5．解：(1)由折叠可得CM ＝EM ，∠CMQ＝∠EMQ，四边形CDEF 是矩形，

∴CD∥EF，∴∠CMQ＝∠EQM， ∴∠EQM＝∠EMQ，∴ME＝EQ ＝MC ，

又∵MC∥QE，∴四边形EQCM 是平行四边形． 又∵CM＝EM ，∴四边形EQCM 是菱形．

(2)如图1，设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－

x.

图1

在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2＝ED 2＋DM 2，即x 2＝(12)2＋(1－x)2

，

解得x ＝58，∴CM＝58，DM ＝3

8.

∵∠PEM＝∠D＝90°，

∴∠AEP＋∠DEM＝90°，∠DEM＋∠EMD＝90°， ∴∠AEP＝∠DME.

又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AEP∽△DME， ∴AP AE ＝DE DM ，即AP 12＝1238，解得AP ＝23

， ∴PB＝1

3，∴AP∶PB＝2∶1.

(3)4 (4)6

(5)根据问题(2)，(3)，(4)，可得当DE AE ＝n(n 为正整数)时，则AP

BP ＝2n.

理由：设正方形ABCD 的边长为1，CM ＝x ，则EM ＝x ，DM ＝1－x. 在Rt△DEM 中，由勾股定理可得EM 2

＝ED 2

＋DM 2

， 即x 2＝(n n ＋1)2＋(1－x)2

，

解得x ＝（n ＋1）2

＋n

2

2（n ＋1）

2，

∴DM＝1－CM ＝2n ＋1

2（n ＋1）2，

由△AEP∽△DME 可得AP AE ＝DE

DM

，

即AP 1n ＋1＝n n ＋12n ＋12（n ＋1）2

，解得AP ＝2n

2n ＋1

，

∴PB＝

12n ＋1，∴AP

BP

＝2n. 类型六

【例6】 如图，连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE⊥AB 于E ，OF⊥CE 于

F.

∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB， ∴AD＝BD ＝1

2

AB ＝2.

在Rt△OBD 中，OD ＝（5）2

－22

＝1. ∵将BC ︵

沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ， ∴AC ︵和CD ︵

所在的圆为等圆， ∴AC ︵＝CD ︵

，∴AC＝DC ，

∴AE＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF＝EF ＝1. 在Rt△OCF 中，CF ＝（5）2

－12

＝2，

∴CE＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，∴BC＝3 2.故选B. 变式训练 6．B