(完整版)中考数学几何综合压轴题初三难题训练(真题附答案)

中考数学几何综合压轴题初三难题训练

1.（2015金华中考）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于O e ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则

EF

GH

的值是（ ）

A.

62

B.2

C.3

D.2

2.（2015遵义中考）将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30o ，得正方形111AB C D ，11B C 交CD 于点E ，3AB =，则四边形1AB ED 的内切圆半径为（ ）

A.

31

+ B.

33

- C.

31

+ D.

33

-

3.（2015遵义中考）如图，在圆心角为90o 的扇形OAB 中，半径2cm OA =，C 为弧AB 的中点，

D ，

E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 2cm ．

4.（2016常德中考）如图，已知O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，且BD BC =，延长AD 到E ，且有EBD CAB ∠=∠． （1）求证：BE 是O e 的切线； （2）若3BC =，5AC =，求圆的直径AD 及切线BE 的长．

5.（2016岳阳中考）数学活动-旋转变换

（1）如图①，在ABC V 中，130ABC ∠=o ，将ABC V 绕点C 逆时针旋转50o 得到A B C ''V ，连接

BB '，求A B B ''∠的大小；

（2）如图②，在ABC V 中，150ABC ∠=o ，3AB =，5BC =，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60o

得到A B C ''V ，连接BB '，以A '为圆心，A B ''长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB '与A 'e 的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A B '，求线段A B '的长度；

（3）如图③，在ABC V 中，()

90180ABC αα∠=<

时针旋转2β角度()

02180β<

6.（2016成都中考）如图，在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，以CB 为半径作C e ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE ．

（1）求证：ABD AEB V V ∽； （2）当4

3

AB BC =时，求tan E ； （3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线，与BE 交于点F ．若2AF =，求C e 的半径．

7.（2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，6cm

AB=，8cm

AD=．点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD

⊥交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单

位：s）（

8

3

t<<）．

（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC

∠时，t的值为．

（2）如图，连接CM，若CMQ

V是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也

相切?说明理由．

8.（2015扬州中考）如图，已知O

e的切线交BA的

e的弦，过点C作O

AB=，AC是O

e的直径12cm

延长线于点P，连接BC．

（1）求证：PCA B

∠=∠；

（2）已知40

P

∠=o，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当ABQ

V的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．

V与ABC

P，P为BD上一点，

9.（2015大庆中考）如图，四边形ABCD内接于O

e，AD BC

∠=∠．

APB BAD

（1）证明：AB CD

=；

（2）证明：DP BD AD BC

?=?；

（3）证明：22

BD AB AD BC

=+?．

10.（2015武汉中考）如图，AB 是O e 的直径，45ABT ∠=o ，AT AB =．

（1）求证：AT 是O e 的切线； （2）连接OT 交O e 于点C ，连接AC ，求tan TAC ∠的值．

11.（2016随州中考）如图，AB 是O e 的弦，点C 为半径OA 的中点，过点C 作CD OA ⊥交弦AB

于点E ，连接BD ，且DE DB =．

（1）判断BD 与O e 的位置关系，并说明理由； （2）若15CD =，10BE =，5

tan 12

A =，求O e 的直径．

12.（2015德州中考）如图，O

e上的四个点，

e的半径为1，A，P，B，C是O

APC CPB

∠=∠=o．

60

（1）判断ABC

V的形状：；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积．

13.（2016淮安中考）问题背景：

如图1，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=o ，))

AD BD =，探究线段,,AC BC CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD V 绕点D ，逆时针旋转90o 到AED V 处，点,B C 分别落在点,A E 处（如图2），易证点,,C A E 在同一条直线上，并且CDE V 是等腰直角三角形，所以2CE CD =，从而得出结论：2AC BC CD +=． （1）简单应用：在图1中，若2AC =，22BC =，则CD =．

（2）如图3，AB 是O e 的直径，点C D 、在e 上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的

长．

（3）拓展规律：如图4，90ACB ADB ∠=∠=o ，AD BD =，若AC m =，()BC n m n =<，求

CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）

（4）如图5，90ACB ∠=o ，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足1

3

AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是．

14.（2015宜昌中考）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O

e，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两

点．（1）求FDE

∠的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

（i）求证：FD FI

=；

（ii）设2

=，求O

e的面积与菱形ABCD的面积之比．

=，2

BD n

AC m

15.（2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，2

CD=，30

DAB

∠=o，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．

（1）当点P运动到使Q，C两点重合时（如图1），求AP的长；

（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使CQD

V的面积为1

2

?（直接写出答案）

（3）当使CQD

V的面积为1

2

，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD

>时（如图2），

求AP的长．

答案

第一部分 1.C

【解析】如图，连接AC 、BD 、OF ，其中AC 与EF 交于点I ．

设O e 的半径为r ， 则OF r =，

AO Q 是EAF ∠的角平分线，

60230OAF ∴∠=÷=o o ．

OA OF =Q ，

30OFA OAF ∴∠=∠=o ， 60COF ∴∠=o ，

3

sin60FI r r ∴=?=o ， 3

23EF r r ∴=

?=． 2AO OI =Q ，

12OI r ∴=，11

22

CI r r r =-=， 12

GH CI BD CO ∴

==， 11

222

GH BD r r ∴==?=， 33EF r GH ∴

==． 2.B 【解析】

作1DAB ∠与11AB C ∠的角平分线交于点O ，过O 作1OF AB ⊥， 则30OAF ∠=o ，145AB O ∠=o ，

故11

2B F OF OA ==，

设1B F x =，则3AF x =-， 故

(

)

()2

2

232x

x x -+=，

解得33

x -=

，负值舍去． ∴四边形1AB ED 的内切圆半径为

33

-． 第二部分 3.π1222??-+ ? ???

【解析】连接OC ，过C 点作CF OA ⊥于F ．

Q 半径2cm OA =，C 为)

AB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，

1cm OD OE ∴==，2cm OC =，45AOC ∠=o ．

2CF ∴=

)

2245π2112360212πcm .2OCD

ACD OAC S S S ∴=-??=-?=-V 空白图形扇形()

211

cm 22

ODE S OD OE =?=V Q ，

()

2290π2121π36022121

πcm .22

ODE ACD OAB S S S S ∴=--???=-- ??

=

+-V 阴影空白图形扇形 第三部分

4.（1）如图，连接OB .

BD BC =Q ，

CAB BAD ∴∠=∠. EBD CAB ∠=∠Q ，

BAD EBD ∴∠=∠. AD Q 是O e 的直径，

90ABD ∴∠=o ，OA BO =.

BAD ABO ∴∠=∠. EBD ABO ∴∠=∠.

90OBE EBD OBD ABD OBD ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=o . Q 点B 在O e 上，

BE ∴是O e 的切线．

（2）如图，设圆的半径为R ，连接CD .

AD Q 为O e 的直径，

90ACCD ∴∠=o .

BC BD =Q ， OB CD ∴⊥.

OB AC ∴P .

OA OD =Q ，

1522

OF AC ∴=

=. Q 四边形ACBD 是圆内接四边形，

BDE ACB ∴∠=∠. DBE ACB ∠=∠Q ， DBE CAB ∴V V ∽.

DB DE

AC BC ∴=

. 33

=

35

DE ∴=

. 90OBE OFD ∠=∠=o Q ，

DF BE ∴P . OF OD

OB OE

∴

=

. 5

23

5

R

R R ∴=

+. 0R >Q ， 3R ∴=.

BE Q 是O e 的切线，

BE ∴=． 5.（1）如图①中，

A B C ''QV 是由ABC V 旋转得到，

130A B C ABC ''∴∠=∠=o ，CB CB '=，

CBB CB B ''∴∠=∠，

50BCB '∠=o Q ，

65CBB CB B ''∴∠=∠=o ，

65A B B A B C BB C '''''∴∠=∠-∠=o ．

（2）（Ⅰ）结论：直线BB '，是A 'e 的切线． 理由：如图②中，

150,A B C ABC CB CB '''∠=∠==o Q ，

CBB CB B ''∴∠=∠，

60BCB '∠=o Q ， 60CBB CB B ''∴∠=∠=o ，

90A B B A B C BB C '''''∴∠=∠-∠=o ．

AB BB ''∴⊥，

∴直线BB '，是A 'e 的切线．

（Ⅱ）Q 在Rt ABB 'V 中，

90AB B '∠=o Q ，5BB BC '==，3AB AB '==，

A B '∴=

（3）如图③中，当180αβ+=o 时，直线BB '，是A 'e 的切线． 理由：

A B C ABC α''∠=∠=Q ，CB CB '=，

CBB CB B ''∴∠=∠，

2BCB β'∠=Q ，

18022CBB CB B β

-''∴∠=∠=

o ， 9018090

90.

A B B A B C BB C

αβ'''''∴∠=∠-∠=-+=-=o o

o

o

AB BB ''∴⊥，

∴直线BB '，是A 'e 的切线．

在CBB 'V 中

CB CB n '==Q ，2BCB β'∠=，

2sin BB n β'∴=?，

在Rt A BB ''V

中，A B ' 6.（1）DE C Q e 为的直径， 90DBE ∴∠=o ．

又90ABC ∠=o Q ，

90DBE DBC ∴∠+∠=o ，90CBE DBC ∠+∠=o ，

ABD CBE ∴∠=∠．

又CB CE =Q ，

CBE E ∴∠=∠，

ABD E ∴∠=∠．

又BAD EAB ∠=∠Q ，

ABD AEB ∴V V ∽．

（2）由（1）知，ABD AEB V V ∽，

BD AB

BE AE ∴=

． 4

3

AB BC =Q

， ∴设4AB x =，则3CE CB x ==．

在Rt ABC V 中，5AB x =，

538AE AC CE x x x ∴=+=+=，

41

82

BD AB x BE AE x ===． 在Rt DBE V 中，

1

tan 2

BD E BE ∴=

=． （3）解法一：在Rt ABC V 中，

1122AC BG AB BG ?=?即1154322x BG x x ??=??，解得12

5

BG x =．

AF Q 是BAC ∠的平分线，

41

82

BF AB x FE AE x ∴

===． 如图1，过B 作BG AE ⊥于G ，FH AE ⊥于H ，

FH BG ∴P ，

2

3

FH EF BG BE ∴

==， 22128

3355FH BG x x ∴=

=?=． 又1

tan 2

E =

Q ， 1625EH FH x ∴==

，245

AM AE EM x =-=． 在Rt AHF V 中，

2

2

2

AH HF AF ∴+=即2

2

2

248255x x ????+= ? ?

????

，解得10x =． C ∴e 的半径是310

3x =

． 【解析】解法二：如图2

过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点G ．

AF Q 平分BAC ∠，

12∴∠=∠．

又CB CE =Q ，

3E ∴∠=∠．

在BAE V 中，有1231809090E ∠+∠+∠+∠=-=o o o ， 4245E ∴∠=∠+∠=o ，

GAF ∴V 为等腰直角三角形

由（2）可知，8AE x =，1tan 2

E =， 585

AG AE x ∴=

=， 85

22AF AG x ∴===， 10x ∴=

， C ∴e 的半径是310

3x =

． 解法三：

如图3，作BH AE ⊥于点H ，NG AE ⊥于点G ，FM AE ⊥于点M ，

设BN a =，

AF Q 是BAC ∠的平分线， NG BN a ∴==，

34CG a ∴=，5

4NC a =， 9

4

BC a ∴=

， 9

5

BH a ∴=，

3AB a ∴=，15

4

AC a =， 3AG a ∴=，

1

tan 3NG NAC AG ∴∠==， 10sin NAC ∴∠=

∴在Rt AFM V 中，sin 2FM AF NAC =?∠==

AM =，

∴在Rt EFM V 中，tan FM EM E =

=

，

AE ∴=

在Rt DBE V 中，

9

5BH a =Q ，

185EH a ∴=，9

10DH a =， 9

2DE a ∴=， 9

4DC a ∴=， 3

2

AD a ∴=

， 又AE DE AE +=Q ，

39

22a a ∴+=

a ∴=

，

94DC a ∴=

=

7.（1）1

【解析】由题意可知BPQ BCD V V ∽. ∴设4BP t =，则3PQ t =，5BQ t =.

DQ Q 平分BDC ∠，QC CD ⊥，QP BD ⊥. 3CQ PQ t ∴==. 85CQ t =-Q .

385t t ∴=-，即1t =.

（2）如图，过点M 作ME BC ⊥于点E ．

在Rt ABD V 中，6cm AB =，8cm AD =， ∴10cm BD =．

由BPQ BCD ∠=∠，QBP DBC ∠=∠，得PBQ CBD V V ∽． ∴

PB PQ BQ

BC CD BD

==

． Q 4PB t =，

∴3PQ t =，5BQ t =．

Q MQ MC =， ∴()11

8522

QE CE QC t ==

=-． Q MEQ DCB V V ∽， ∴

EQ BC MQ BD

=

， ∴()1

8582310t t -=， ∴4049

t =

． （3）如图1，设QM 所在直线交CD 于点F ． ①Q QCF BCD V V ∽， ∴CF CD

CQ CB

=

， ∴

6

858

CF t =-， ∴1564

CF t =-， ∴154

DF t =

． 又3DO t =，

∴DO DF <，即点O 始终在QM 所在直线的左侧．

②如图，设MQ 与O e 相切时，切点我G ，连接OG ，

则OGF BCD V V ∽， ∴OG BC

OF BD =

， ∴

0.88

15

1034

t t =-，

∴43

t =

． 当43

t =

时，正方形PQMN 的边长为4，53QF =，35FG =．

解法一：连接MO 并延长交PQ 于点H ，过点H 作HK PM ⊥于点K ． 则MOG MHQ V V ∽， ∴

OG MG

HQ MQ

=

， ∴260.815

4HQ =， ∴24

13HQ =

． ∴2813PH =． ∴142

HK =

∴HK HQ ≠．

∴点O 不在PMQ ∠的平分线上，

∴当QM 与O e 相切时，PM 与O e 不相切．

【解析】解法二：连接OM ，OP ，OQ ，设点O 到MP 的距离为h ， Q MPQ MOQ POQ POM S S S S =++V V V V ，