函数定义域的作用

浅谈函数定义域的作用

摘要：本文主要从五个方面通过举例来阐述定义域的作用，强调定义域在解有关函数问题重要性，培养学生严谨敏锐的思维能力。关键词：函数定义域对应法则

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是确定函数图象与解析式的关键，在函数中有着很重要的作用。看似函数的定义域（或变量的允许值范围）非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。现就函数定义域的作用小结如下：

一、确定函数关系式

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

故函数关系式为：.

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：

高一函数定义域基础练习题

函数定义域练习题 1．函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是 （ ） A ．（∞-，3 1-） B ．(3 1- ， 3 1） C ．(3 1- ，1） D ．(3 1- ，∞+） 2. 函数)1lg(11 )(++-= x x x f 的定义域是 （ ） A ．(-∞,-1) B ．(1,+∞) C ．(-1,1)∪(1,+∞) D ．R 3. 若函数) 12(log 1 )(2+= x x f ，则)(x f 的定义域为 ( ) A.)0,21(- B.),21(+∞- C.),0()0,21(+∞?- D.)2,2 1 (- 4 函数y = ( ) A.( 34 ,1) B( 34 ,∞) C （1，+∞） D. ( 34 ,1)∪（1，+∞） 5. 已知()f x = 1 1 +x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( ) A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠- C ．{|12}x x x ≠-≠-且 D ．{|12}x x x ≠-≠-或 6. 函数＝y =R ，则k 的取值范围是 （ ） A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 7．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ） A ．[0，3 2 ] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3） 8．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是 （ ） A ．[,]a b B ．[,]b a -- C ．[,]b b - D ．[,]a a - 9．设I ＝R ，已知2 ()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ， 那么GU I C F 等于 （ ） A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(1，＋ ∞) D ．(1，2)U(2，＋∞) 10．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2 x f x f y ++=的定义域为 （ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 11．若函数()f x 的定义域为[－2，2] ，则函数f 的定义域是 （ ） A ．[－4，4] B ．[－2，2] C ． [0，2] D ． [0，4] 12．已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于 A 、 B 的关系中，不正确的为 （ ） A ．A ? B B ．A ∪B=B C ．A∩B=B D ．B ?≠A 13. 函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为 ( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0) C ．(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1] 14. 若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＝－1或3 B ．a ＝－1 C ．a > 3或a <－1 D ．－1 < a < 3 15. 若函数y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数 g (x )= 21 f x x ()-的定义域是 ( ) A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

求函数定义域练习题

函数定义域练习题 1、在函数 中，自变量x 的取值范围是（ ） A 、x≠0 B 、x≤﹣2 C 、x≥﹣3且x≠0 D 、x≤2且x≠0 2、函数的定义域是（ ） A 、x≠2 B 、x≥﹣2 C 、x≠﹣2 D 、x≠0 3、函数y= 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x≥﹣2 B 、x≥﹣2且x≠﹣1 C 、x≠﹣1 D 、x ＞﹣1 4、在函数y= 中，自变量x 取值范围是（ ） A 、x ＞1 B 、x ＜﹣1 C 、x≠﹣1 D 、x≠1 5、函数 的自变量x 的取值范围为（ ） A 、x≥﹣2 B 、x ＞﹣2且x≠2 C 、x≥0且≠2 D 、x≥﹣2且x≠2 6. 函数 2()lg(31)f x x =++的定义域是（ ） A ．1(,)3-∞- B ．11(,)33- C ．1(,1)3- D ．1(,)3 -+∞ 8 函数＝y =R ，则k 的取值范围是（ ） A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 9 ．函数 ()f x =的定义域为（ ） A ．2[0,]3 B ．[0,3] C ．[3,0]- D ．(0,3) 10．已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 11．若函数()f x 的定义域为[2,2]- ，则函数f 的定义域是（ ） .[4,4]A - .[2,2]B - .[0,2]C .[0,4]D 12．已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ） A ．A B ? B ．A B B = C ．A B B = D ．B ?≠A

18.2多元函数的基本概念教案

18. 2多元函数的基本概念 一、. 多元函数概念 例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h . 这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 RT P V =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2 121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定. 定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为 z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D ) 其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量. 上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }. 函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等. 类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ? ? ? , x n ), (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而

求函数定义域练习题

函数定义域练习题 1. 函数2()lg(31)f x x = ++的定义域是（ ） A ．1(,)3-∞- B ．11(,)33- C ．1(,1)3- D ．1(,)3-+∞ 2. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠- C ．{|12}x x x ≠-≠-且 D ．{|12}x x x ≠-≠-或 3. 函数＝y =R ， 则k 的取值范围是（ ） A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 4 ．函数()f x =的定义域为（ ） A ．2 [0,]3 B ．[0,3] C ．[3,0]- D ．(0,3) 5．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ） A ．[,]a b B ．[,]b a -- C ．[,]b b - D ．[,]a a - 6．已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 7．若函数()f x 的定义域为[2,2]- ，则函数f 的定义域是（ ） .[4,4]A - .[2,2]B - .[0,2]C .[0,4]D 8．已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ，函数 ()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ）

函数的基本概念与定义域

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课 题 函数的基本概念与定义域 教学目标 1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点 函数的定义的理解；求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念； 2.理解函数的三种表示方法； 3.了解简单的分段函数 教学内容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a <∈且,, 定义 名称 符号 数轴表示 }|{b x a x ≤≤ 闭区间 ],[b a }|{b x a x << 开区间 ),(b a }|{b x a x <≤ 前闭后开区间 ),[b a }|{b x a x ≤< 前开后闭区间 ],(b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意： （1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b -a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a ； （2）注意开区间),(b a 与点),(b a 在具体情景中的区别.若表示点),(b a 的集合应为{}),(b a ； （3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； （4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示； （5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆. 例1.把下列数集用区间表示： （1）}1|{-≥x x ；（2）}0|{

例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高 y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3 2 3 41 ++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围； （2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围； （3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.

《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题(含答案)

函数的概念、定义域、值域练习题 班级：高一（3）班 姓名： 得分： 一、选择题（4分×9=36分） 1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝23 x D ．f (x )→y ＝x 2．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1} 3．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1，3] B ．[0，3] C ．[－3，3] D ．[－4,4] 4．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 5．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 6．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34} C ．{a |a ＞34} D ．{a |0≤a ＜34} 7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市 场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数 关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ????12等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 9．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3，5} D ．R

多元函数的定义域 极限

多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为： {};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=) ln(1y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(1 11φy y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21φφY y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z= y x y x --2 4，则定义域是 ； {}0/,).(2 φπy x y y x 且 解：由04000422 φπφy x y x y y y x y x ≤???? ???? ???≥-≥- （图 形讲义） 4，求2 21)ln(y x x x y z --+ -=的定义域。

解：由 ?? ? ??+≥??????--≥-1001002222πφφφy x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设 xy e y x y x f xy ++= 2 2 3sin ),(π，求) ,(lim 2 1 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 2 22 2 32 1 +=++==→→e e f y x f y x π 6，设2 22lim x y x y x xy ???? ??+∞ →∞→的极限。 解： 因为 2 2 21022x x y x xy ?? ? ??≤??? ? ? ?+≤ （ xy y x y x 2,0,02 2≥+φφΘ） 而 0)(lim ,021lim 2 2 22=+?=? ?? ??∞ →∞→∞ →∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim →→；

函数定义域值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33 y x = +- （2 ）01(21)111 y x x = +-++ - 2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数 的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为 ，则函数(21)f x -的定义域是 ；函 数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数 的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在， 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设 ()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵ y = ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶ x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸ 2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 )

函数定义域求法及练习题含答案

函数定义域求法总结 一、定义域是函数(X)中的自变量x的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)中X工k n + n /2 ;中X工k n等等。 (6 ) X0中X 0 二、抽象函数的定义域 1. 已知f (X)的定义域，求复合函数f［g X］的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x) 的定义域为X a,b，求出f［g(x)］中a g(x) b 的解X的范围，即为f ［g(x)］的定义域。 2. 已知复合函数f［g X］的定义域，求f(x)的定义 域 方法是：若f［g X］的定义域为X a,b，则 3. 已知复合函数f［g(x)］的定义域，求f［h(x)］的 定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可 以得到此类解法为：可先由f［g X］定义域求得f X 的定义域，再由f X的定义域求得f［h X ］的定义 域。 4. 已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合 而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即 先求出各个函数的定义域，再求交集。 一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴ y 心3X{5⑵ y j(T2 X 3 3 \ X 1 ⑶ y ―1— (2X 1)0,4 X2 1—— X 1 2、设函数f(x)的定义域为［0, 1］,则函数f(x2) 的定义域为 __ ；函数f G'~X 2)的定义域 为； 3、若函数f(x 1)的定义域为［2 , 3］，则函数 f (2X 1)的定义域是__________________ ；函数 f (- 2)的定义域为________________ 。 X 4、知函数f (X)的定义域为［1,1］，且函数 F(X) f (X m) f (X m)的定义域存在，求实 数m的取值范围。 由a X b确定g(x)的范围即为f (X)的定义域。

第二节多元函数的基本概念

第二节 多元函数的基本概念 内容分布图示 ★ 领域 ★ 平面区域的概念 ★ 多元函数的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 二元函数的图形 ★ 二元函数的极限 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 二元函数的连续性 ★ 例 10 ★ 二元初等函数 ★ 例 11-12 ★ 闭区域上连续函数的性质 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-2 ★ 返回 内容提要： 一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、多元函数的概念 定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域. 类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义 三、二元函数的极限 定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为 A y x f y y x x =→→),(lim 00. 或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作 A P f P P =→)(lim 0 或 A P f →)( )(0P P → 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 四、二元函数的连续性 定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果

函数定义域 值域 习题及答案

函数定义域值域习题 及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33 y x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在， 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _

()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶ x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数

(完整word版)高中数学函数定义域练习题

高中数学函数定义域练习题 1、x x f -= 1)(的定义域为 . 2、23)(x x x f -=的定义域为 . 3、函数261 x x y --=的定义域为 . 4、函数x x y 43 +=的定义域为 . 5、函数123++= x x y 的定义域为 . 6、0)1(32-+-+=x x x y 的定义域为 . 7、213)(+++= x x x f 的定义域为 . 8、x y -??? ??=31的定义域为 . 9、()()132 lg 13++-=x x x x f 的定义域 . 10、()1 log 1 2-=x x f 的定义域为 . 11、()()x x x f 22ln -=的定义域为 . 12、()() 1lg 1-=+x x f x 的定义域为 . 13、()3121++-=x x x f 的定义域 .

14、232 2+-=x x y 的定义域为 . 15、函数()()214ln 1x x f x -+= +的定义域为 . 16、12)(+-= x x x f 的定义域为 . 17、() 12log 12)(---=x x x f 的定义域为 . 复合函数定义域的求法 ? 要点：对于一个复合函数[])(x g f 来说，它的定义域一定是x 的取值范围而非)(x g 的取值范围. ? 常见考法： （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数[])(x g f 的定义域. （2）已知[])(x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域. （3）已知[])(x g f 的定义域，求函数[])(h x f 的定义域. 17、已知)(x f 的定义域为[]5,1-，求函数()53-x f 的定义域. 18、已知)(x f 的定义域为?? ????2,21，求函数()x f 2log 的定义域. 19、已知()222+-x x f 的定义域为[]3,0，求)(x f 的定义域. 20、已知()[]1lg +x f 的定义域为[]9,0，求)(x f y =的定义域. 21、()1+=x f y 的定义域为[]3,2-，求)12(-=x f y 的定义域.

函数的定义域解析与练习及答案

函数的定义域解析与练 习及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

函数的定义域 1、已知函数式求定义域： 例1、求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）． 解： （1），即；（2），即； （3）且，即． （4）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为． （5）要使函数有意义，应满足，即．∴函数的定义域为 ． 点拨：要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑用到不等式或不等式组，然后借助于数轴进行求解． 2、求抽象函数的定义域 讲解：求解抽象函数的定义域时一定要严格遵循原始函数的定义域，不管“”中的“x”被什么代换，它们都得首先遵循这一“规则”，在这一“规则”之下再去求解具体的x的范围． 例2、已知的定义域为，求，的定义域．

解： ∵的定义域为，∴，∴，即的定义域为， 由，∴，即的定义域为． 点拨：若的定义域为，则的定义域是的解集． 例3、已知的定义域为，求，的定义域． 解： ∵的定义域为，∴即的定义域为． 又∵的定义域为，∴，∴ 即的定义域为． 点拨：已知的定义域，则当时，y=kx＋b的函数值的取值集合就是的定义域． 例4、已知函数的定义域是[a，b]，其中a<0b，求函数的定义域． 解答： ∵函数的定义域为[a，b]，∴a≤x≤b， 若使有意义，必须有a≤－x≤b即有－b≤x≤－a．∵a<0b，∴a<－b且b<－a． ∴的定义域为．

点拨：若的定义域为及的定义域分别为A、B，则有借助于数轴分析可求得． 3、函数定义域的逆用 讲解：已知函数的定义域求解其中参数的取值范围时，若定义域为R时，可采用判别式法，若定义域为R的一个真子集时，可采用分离变量法． 例5、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围． 解答： ①当k=0时，函数，显然它的定义域是R； ②当k≠0时，由函数y的定义域为R可知，不等式对一切实数x均成立，因此一定有． 解得0

多元函数的定义域,极限

多元函数的定义域,极 限 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为：{};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=)ln(1 y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(1 11 y y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21 y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z=y x y x --2 4，则定义域是 ；{}0/,).(2 y x y y x 且 解：由0 4000422 y x y x y y y x y x ≤???? ???????≥-≥- （图 形讲义） 4，求221)ln(y x x x y z --+-=的定义域。

解：由 ?? ???+≥??????--≥-1001002222 y x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设xy e y x y x f xy ++=223sin ),(π，求),(lim 21 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 222232 1+=++==→→e e f y x f y x π 6，设222lim x y x y x xy ???? ??+∞→∞→的极限。 解： 因为2221022x x y x xy ??? ??≤???? ? ?+≤ （xy y x y x 2,0,022≥+ ） 而 0)(lim ,021lim 2222=+?=??? ??∞ →∞→∞→∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim 0→→；

多元函数的定义域极限

多元函数的定义域极限 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为： {};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=) ln(1y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(111 y y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21 y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z= y x y x --2 4，则定义域是 ； {}0/,).(2 y x y y x 且 解：由04000422 y x y x y y y x y x ≤???? ???? ???≥-≥- （图 形讲义） 4，求2 21)ln(y x x x y z --+ -=的定义域。

解：由 ?? ? ??+≥??????--≥-1001002222 y x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设 xy e y x y x f xy ++= 2 2 3sin ),(π，求) ,(lim 2 1 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 2 22 2 32 1 +=++==→→e e f y x f y x π 6，设2 22lim x y x y x xy ???? ??+∞ →∞→的极限。 解： 因为 2 2 21022x x y x xy ?? ? ??≤??? ? ? ?+≤ （ xy y x y x 2,0,02 2≥+ ） 而 0)(lim ,021lim 2 2 22=+?=? ?? ??∞ →∞→∞ →∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim →→；

函数的基本概念与定义域

小班辅导讲义学生：科目：第阶段第次课教师：课题 函数的基本概念与定义域 教学目标1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点函数的定义的理解；求简单函数的定义域 考点及考试要求1.了解函数的概念；2.理解函数的三种表示方法；3.了解简单的分段函数 教学内容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a< ∈且 , , 定义名称符号数轴表示 } | {b x a x≤ ≤闭区间 ] , [b a } | {b x a x< <开区间 ) , (b a } | {b x a x< ≤前闭后开区间 ) , [b a } | {b x a x≤ <前开后闭区间 ] , (b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意： （1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a； （2）注意开区间) , (b a与点) , (b a在具体情景中的区别.若表示点) , (b a的集合应为{}),(b a；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； （4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；（5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆. 例1.把下列数集用区间表示： （1）}1 | {- ≥ x x；（2）}0 | {< x x；（3）}1 1 | {< < -x x；（4）}4 2 1 0| {≤ ≤ <

例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高 y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3 2 3 41 ++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围； （2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围； （3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.