高二数学上学期第一次月考试题.doc
曲周县第一中学第一学期高二第一次月考
数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设 0＜ a＜ b＜1，则下列不等式成立的是（）
A ． a 3＞ b3 B．1
＜
1
C ． a 2＞ b2 D． 0 ＜ b﹣ a＜ 1
a b
2．在△ ABC 中， a=2， b= ， A= ，则 B=（）
A ．B、 C D．
3．在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，则 cosA 的值是（）
A ．﹣
B C．﹣D．
4． x＞1， y＞ 1 且 lgx+lgy=4 ，则 lgxlgy 最大值为（）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
5．（ 5 设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（）
A ．12 B． 10 C 8 D． 2
6．在△ ABC 中，，三边长 a， b， c 成等差数列，且ac=6，则 b 的值是（）
A ．B．C、D．
7．数列 {a } 的通项式 a = ，则数列 {a } 中的最大项是（）
n n n
A．第 9项B．第 10 项和第9 项
C．第 10 项D．第 9项和第 8项
8．已知等差数列 {a } 中，有+1＜ 0，且该数列的前n 项和 S 有最大值，则使得S＞0 成立n n n
的 n 的最大值为（）
A．11 B． 19 C 20 D． 21
9．设 x， y 都是正数，且2x+y=1 ，则的最小值是（）
A．4 B． 3 C． 2+3 D． 3+2
10．数列 {a n} 的首项为 1，{b n} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，且b n=a n+1﹣ a n（ n∈ N*）则 a n=（）
A．2n﹣ 1 B． 2n C． 2n+1﹣ 1 D． 2n﹣2
11．若两个等差数列 {a } ， {b } 的前 n 项的和为 A， B ．且，则=（）n n nn
A．B．C．D．
12．（ 5 分）已知平面区域 D 由以 A（1， 3），B（ 5， 2）， C（ 3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域 D 上有无穷多个点（x， y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣ 2 B．﹣ 1 C． 1 D． 4
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．设 a= ﹣， b= ﹣， c= ﹣，则 a、 b、 c 的大小顺序是．
14．不等式x2﹣ ax﹣b＜ 0 的解集是（ 2， 3），则不等式bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是
．
15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第
四个括号内一个数，循环分为（ 1），（ 3，5），（ 7，9，11），（ 13），（ 15，17），（ 19，21，23），（ 25），，则第 100 个括号内的数为．
16 在三角形 ABC中，若角 A， B， C所对的三边 a， b，c 成等差数列，则下列结论中正确的是
（填上所有正确结论的序号）
（ 1） b2≥ac（ 2）（3）b2≤（4）tan2．
三、解答题（本大题共 6 小题， 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（ 10 分）设 2x2﹣3x+1≤0的解集为 A，x2﹣（ 2a+1） x+a（ a+1）≤0的解集为 B，若 A B，求实数 a 的取值范围．
18．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ ABC 面积的最大值．
19．（ 12 分）（ 1）已知 a，b， c 为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
（ 2）设 a， b， c 均为正数，且a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．
20．（ 12 分）已知等差数列{a n} 满足 a2=0， a6+a8=﹣ 10
（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{} 的前 n 项和．
21．（ 12 分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划
建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面．该圆面的内接四边形 ABCD是原棚户建筑用地，测量可知
边界 AB=AD=4万米， BC=6万米， CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径 R 的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界 AB、 BC可以调整，为了提高棚户区
改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
22．（ 12 分）已知数列 {a n} 中， a1=2， a2=3，其前 n 项和 S n满足 S n+2+S n=2S n+1+1（ n∈N*）；数列 {b n} 中， b1=a1， {b n+2} 是以 4 为公比的等比数列．
（1）求数列 {a n} ，{b n} 的通项公式；
（2）设 c n=b n+2+（﹣ 1）n﹣1λ?2a（nλ为非零整数， n∈N*），试确定λ的值，使得对任意
n∈N*，都有 c n+1＞ c n成立．
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（ 5 分）
1. 设 0＜a＜ b＜ 1，则下列不等式成立的是（）
3 3 B．1
＜1
A ． a ＞ b
a b
2 2
C． a ＞b D． 0 ＜b﹣ a＜1
考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．
分析：由 0＜ a＜ b＜ 1，可得 0＜ b﹣ a＜ 1．即可得出．
解答：解：∵ 0＜ a＜ b＜1，
∴0＜ b﹣ a＜ 1．
故选： D．
点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．
2．（ 5 分）在△ ABC 中， a=2， b= ， A= ，则 B=（）
A．B．C．D．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据正弦定理求得 sinB= ．再由 b＜a 可得 B＜ A，从而求得 B 的值．解答：解：在△ ABC 中，由于a=2， b= ， A= ，则根据正弦定理可得，即=，求得sinB=．
再由 b＜a 可得 B＜ A，∴ B=，
故选 B．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中
档题．
3．（ 5 分）在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，则 cosA 的值是（）
A．﹣B．C．﹣D．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，进而设出三边长，利用余弦定理表示
出 cosA，将三边长代入即可求出cosA 的值．
解答：解：在△ ABC 中， sinA ： sinB ： sinC=4 ： 3： 2，
利用正弦定理化简得：a：b： c=4： 3： 2，
设 a=4k， b=3k，c=2k ，
∴cosA===﹣．
故选： A．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
4．（ 5 分） x＞ 1，y＞ 1 且 lgx+lgy=4 ，则 lgxlgy 最大值为（）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式和对数的意义即可得出．
解答：解：∵ x＞ 1， y＞1，∴ lgx ＞ 0， lgy ＞ 0．
∴4=lgx+lgy ，化为 lgx?lgy ≤4，当且仅当 lgx=lgy=2 即 x=y=100 时取等号．故 lgxlgy 最大值为 4．
故选： B．
点评：本题考查了基本不等式和对数的运算，属于基础题．
5．（ 5 分）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（）A． 12B．10C．8D． 2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：1．作出可行域 2 目标函数z 的几何意义：直线截距 2 倍，直线截距去的最大值时z 也取得最大值
解答：解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当
目标函数过直线y=1 与 x+y=3 的交点（ 2， 1）时， z 取得最大值10．
点评：本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义
6．（ 5 分）在△ ABC 中，，三边长 a， b，c 成等差数列，且ac=6，则 b 的值是（）A．B．C．D．
考点：数列与三角函数的综合．
专题：综合题．
分析：根据三边长 a， b， c 成等差数列，可得 a+c=2b，再利用余弦定理及ac=6，可求 b 的值．
解答：解：由题意，∵三边长a，b， c 成等差数列
∴a+c=2b
∵
∴由余弦定理得b2=a2+c 2﹣ 2accosB= （ a+c）2﹣ 3ac
∵a c=6
2
∴b=6
∴
故选 D．
点评：本题以三角形载体，考查余弦定理的运用，考查数列与三角函数的综合，属于中档
题．
7．（ 5 分）数列 {a n} 的通项式 a n= ，则数列 {a n} 中的最大项是（）
A．第9项B．第 10项和第 9项
C．第10项D．第 9项和第 8项
考点：数列的函数特性．
专题：导数的综合应用．
分析：利用导数考察函数 f （ x）= （ x＞0）的单调性即可得出．
解答：解：由数列 {a n} 的通项式 a n= ，考察函数 f （ x） = （ x＞ 0）的单调性．∵f ′（ x） =，
令 f ′（ x）≥0，解得 0＜，此时函数f（ x）单调递增；令 f ′（ x）＜ 0，解得，此时函数 f （ x）单调递减．
而， f （9） =f （ 10）．
∴数列 {a n} 中的最大项是第10 项和第 9 项．
故选： B．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．
8．（ 5 分）已知等差数列{a n} 中，有+1＜ 0，且该数列的前n 项和 S n有最大值，则使得S n
＞ 0 成立的 n 的最大值为（）
A． 11 B． 19 C． 20 D． 21
考点：等差数列的前n 项和；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得＜0，公差d＜0，进而可得S19＞0， S20＜ 0，可得答案．
解答：解：由+1＜0 可得＜0
又∵数列的前n 项和 S n有最大值，
∴可得数列的公差d＜ 0，
∴a10＞0，a11+a10 ＜0，a11＜0，
∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．
∴S19＞0，S20＜0
∴使得 S n＞0 的 n 的最大值n=19，
故选 B
点评：本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用，属基础题．
9．（ 5 分）设 x，y 都是正数，且2x+y=1 ，则的最小值是（）
A． 4 B． 3 C． 2+3 D． 3+2
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出．
解答：解：∵ x， y 都是正数，且2x+y=1 ，
∴= =3+ =3+2 ，当且仅当 y= x= ﹣1 时取等号．
因此的最小值是．
故选： D．
点评：本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题．
10．（ 5 分）数列 {a n} 的首项为1， {b n} 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，且b n=a n+1﹣ a n *）
（n∈ N 则 a n=（）
A． 2n﹣ 1 B． 2n C． 2n+1﹣ 1 D． 2n﹣2
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列的通项公式求出b n，然后利用累加法即可求出数列的通项公式．
解答：n 2 为公比的等比数列，
解：∵ {b } 是以 2 为首项，以
∴b n=2?2n﹣1=2n，
即 b n=a n+1﹣ a n=2n，
则 a2﹣ a1=21，
2
a3﹣ a2=2 ，
a n﹣ a n﹣1=2n﹣1，
等式两边同时相加得，
a n﹣ a1==2n﹣ 2，
即 a n=2n﹣ 2+1=2n﹣ 1，
故选： A
点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据等比数列的通项公式以及累加法是解决本
题的关键．
11．（ 5 分）若两个等差数列{a n} ， {b n} 的前 n 项的和为A n，B n．且，则= （）
A．B．C．D．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：==，代入可得结论．
解答：解：====，
故选： D．
点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．
12．（ 5 分）已知平面区域 D 由以 A（1， 3），B（ 5， 2）， C（ 3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域 D 上有无穷多个点（ x， y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则 m=（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 4
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得：y=﹣ x+ z，若 m＞0 时，目标函数值 Z
与直线族： y= ﹣ x+ z 截距同号，当直线族y=﹣x+ z 的斜率与直线 AC的斜率相等时，目
标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个；若m＜ 0 时，目标函数值 Z 与直线族： y=﹣x+ z 截距异号，当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC的斜率相等时，目标函数z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件．解答：解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：
令 z=0，可得直线x+my=0 的斜率为﹣，
结合可行域可知当直线x+my=0与直线 AC平行时，
线段 AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my 取得最小值，
而直线 AC的斜率为=﹣ 1，
所以﹣=﹣ 1，解得 m=1，
故选 C．
增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：
依题意， 1+3m=5+2m＜ 3+m，或 1+3m=3+m＜ 5+2m，或 3+m=5+2m＜
1+3m解得 m∈空集，或 m=1，或 m∈空集，所以 m=1，选 C．
评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两
个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略
去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此
方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！
点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化
成斜截式；②分析 Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出
结论④根据斜率相等求出参数．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（ 5 分）设 a= ﹣， b= ﹣， c= ﹣，则 a、 b、c 的大小顺序是 a＞b＞ c．
考点：不等式比较大小．
专题：函数的性质及应用．
分析：不妨设 a＞ b，由此得出 a＞b，同理得出 b＞ c，即可得出 a、 b、 c 的大小顺序．
解答：解：∵ a= ﹣＞ 0，b= ﹣＞ 0，c= ﹣＞0，
不妨设 a＞ b，
即﹣＞﹣，
∴+ ＞+ ，
∴8+2 ＞ 8+2 ，
即＞，
∴15＞ 12，
∴a＞ b，
同理 b＞c；
∴a、 b、 c 的大小顺序是 a＞ b＞
c．故答案为： a＞ b＞ c．
点评：本题考查了表达式的比较大小的问题，解题时应先比较两个数的大小，从而得出正
确的结果，是基础题．
14．（ 5 分）不等式x2﹣ax﹣ b＜0 的解集是（ 2，3），则不等式bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是（﹣，﹣）．
考点：一元二次不等式的应用．
专题：计算题．
分析：根据不等式 x2﹣ ax ﹣b＜ 0 的解为 2＜x＜ 3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣ b=0 的根为x1=2， x2=3，利用根据根与系数的关系可得a=5， b=﹣ 6，因此不等式bx2﹣ax﹣ 1＞0 即不等式
﹣ 6x2﹣ 5x﹣ 1＞ 0，解之即得﹣＜ x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）．
解答：解：∵不等式 x2﹣ ax﹣ b＜ 0 的解为 2＜ x＜ 3，
∴一元二次方程 x2﹣ax﹣ b=0 的根为 x1=2， x2=3，
根据根与系数的关系可得：，所以 a=5，b=﹣ 6；
不等式 bx 2﹣ ax﹣ 1＞0 即不等式﹣6x2﹣ 5x﹣ 1＞ 0，
2
整理，得 6x +5x+1＜0，即（ 2x+1
）（ 3x+1）＜ 0，解之得﹣＜x＜﹣
∴不等式 bx2﹣ ax﹣ 1＞ 0 的解集是（﹣，﹣）
故答案为：（﹣，﹣）
点评：本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不
等式的解集，着重考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程根与系数的关系等知识点，属
于基础题．
15．（ 5 分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个
数，第四个括号内一个数，循环分为（ 1），（ 3， 5），（ 7， 9，11），（ 13），（ 15， 17），（ 19，21， 23），（ 25），，则第 100 个括号内的数为 397．
考点：归纳推理．
专题：计算题；推理和证明．
分析：括号里的数有规律：即每三个一组，里面的数都是1+2+3=6，所以到第100 个括号内的数为第34 组的第一个数，即可得出结论．
解答：解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6 个，
所以到第100 个括号内的数为第34 组的第一个数，
第 100 个括号内的数为是 2×（ 33×6+1）﹣ 1=397．故
答案为： 397
点评：本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运
用，试题较易．
16．（ 5 分）在三角形 ABC中，若角 A， B， C所对的三边 a， b，c 成等差数列，则下列结论中
正确的是（ 1）（3）（ 4）（填上所有正确结论的序号）
（ 1） b2≥ac（ 2）（3）b2≤（4）tan2．
考点：解三角形．
专题：解三角形．
分析：由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，利用基本不等式得到
a+c≥2，把 2b=a+c 代入得到结果，即可对于选项（1）做出判断；选项（ 2）中不等式左边通分并利用同分母分式的加法法则变形，把选项（1）的结论代入即可做出判断；利用作差
法判断选项（3）即可；利用余弦定理表示出cosB ，把 2b=a+c 代入并利用基本不等式化简求
出 cosB 的范围，确定出 B 的范围，即可求出tan 2的范围，做出判断．
解答：解：由 a， b， c 成等差数列，得到2b=a+c，
∵a+c≥2，
∴2b≥2，即b2≥ac，选项（1）正确；
+ ==≥=，选项（2）错误；
2
∵b﹣
= ﹣=﹣≤0，选项（ 3）正确；
由余弦定理得：
cosB===≥=，
∴0＜B≤，
则 tan 2≤，选项（4）正确，
故答案为：（ 1）（3）（ 4）
点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：等差数列的性质，基本不等式的运用，余
弦定理，以及正切函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
三、解答题（本大题共 6 小题， 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（ 10 分设 2x2﹣3x+1≤0的解集为 A，x2﹣（ 2a+1）x+a（ a+1）≤0的解集为 B，若 A B，求实数 a 的取值范围．
解答：解：由题意得，，B={x|a≤x≤a+1}，
若A B，
∴，
∴．
故实数 a 的取值范围为．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转
化思想的运用．
18．（ 12 分）△ ABC 在内角 A、 B、 C的对边分别为a， b， c，已知 a=bcosC+csinB ．
（Ⅰ）求 B；
（Ⅱ）若 b=2，求△ ABC 面积的最大值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式
变形，求出tanB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB 的值代入，得到三角形面积
最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC ①，
∵sinA=sin （ B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即 tanB=1 ，
∵B为三角形的内角，
∴B= ；
（Ⅱ） S△ABC= acsinB= ac ，
由已知及余弦定理得：
2 2
﹣ 2accos ≥2ac﹣2ac×，4=a +c
整理得： ac≤，当且仅当 a=c 时，等号成立，
则△ ABC面积的最大值为××= × ×（2+ ）= +1．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以
及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（ 12 分）（ 1）已知 a，b， c 为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
（ 2）设 a， b， c 均为正数，且a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．
考点：不等式的证明．
专题：证明题；不等式的解法及应用．
分析：（ 1）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab， b2+c2≥2bc， c2+a2≥2ca，三式相加即得结论，（2）利用（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即可证明．
解答：证明：（1）由 a2+b2≥2ab， b2+c2≥2bc， c2+a2≥2ca，三
式相加即得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（ 6 分）
（2）因为（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
所以（12 分）
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题．
20．（ 12 分）已知等差数列{a n} 满足 a2=0， a6+a8=﹣ 10
（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{} 的前 n 项和．
考点：等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：综合题．
分析：（ I ）
根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6 +a8=﹣ 10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组
的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II ）
把（ I ）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n 项和的公式化简后，即可得到数
列 {} 的前 n 项和的通项公式．
解答：解：（ I ）设等差数列 {a n} 的公差为d，由已知条件可得，
解得：，
故数列 {a n} 的通项公式为a n=2﹣ n；
（ II ）设数列 {} 的前 n 项和为 S n，即 S n=a1+ + +①，故S1=1，
=+ ++ ②，当 n＞
1 时，①﹣②得：
=a1 ++ +﹣
=1﹣（+ + +）﹣
=1﹣（ 1﹣）﹣=，
所以 S n=，
综上，数列 {} 的前 n 项和 S n=．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的
和，是一道中档题．
21．（ 12 分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划
建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面．该圆面的内接四边形 ABCD是原棚户建筑用地，测量可知
边界 AB=AD=4万米， BC=6万米， CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径 R 的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界 AB、 BC可以调整，为了提高棚户区
改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；综合题．
分析：（ 1）连接 AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ ABC，然后利用三角形
面积公式分别求得△ ABC 和△ ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．
（ 2）设 AP=x， CP=y．根据余弦定理求得x 和 y 的关系式，进而根据均值不等式求得xy 的最大值，进而求得△ APC 的面积的最大值，与△ ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．
解答：解：（ 1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
22 2
AC=4 +6 ﹣2×4×6×cos∠ABC
=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、
所以 cos∠ABC= ，∵∠ ABC∈（ 0，π），
故∠ ABC=60°．
S 四边形ABCD= ×4×6×sin60 °+×2×4×sin120°
=8（万平方米）．
在△ ABC中，由余弦定理：
22 2
AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos∠ABC
=16+36﹣2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=
（万米）．
（ 2）∵S 四边形 APCD =S △ADC +S △APC ，
又 S △ADC = AD?CD?sin120°=2，
设 AP=x ， CP=y ．
则 S
= xy?sin60 °=
xy ．
△APC
又由余弦定理 2
2
2
AC=x +y ﹣2xycos60° =x 2+y 2﹣ xy=28 ．
2
2
∴x +y ﹣xy ≥2xy ﹣ xy=xy ．
∴xy ≤28，当且仅当 x=y 时取等号 ∴S 四边形 APCD =2 + xy ≤2 + ×28=9 ， ∴最大面积为 9
万平方米．
点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式
求最值．考查了基础知识的综合运用．
22．（ 12 分）已知数列 {a n } 中， a 1=2， a 2=3，其前 n 项和 S n 满足 S n+2+S n =2S n+1+1（ n ∈N * ）；数
列 {b n } 中， b 1=a 1， {b n +2} 是以 4 为公比的等比数列．
（ 1）求数列 {a n } ，{b n } 的通项公式；
（ 2）设 c n =b n +2+（﹣ 1）n ﹣
1λ?2a （n λ 为非零整数， n ∈N * ），试确定 λ 的值，使得对任意
n ∈N * ，都有 c n+1＞ c n 成立．
考点： 数列的求和；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由 S +S =2S +1得 S ﹣S ﹣（S
﹣ S ） =1，即 a ﹣ a =1（n ≥1），再验证
n+2 nn+1 n+2n+1
n+1n
n+2
n+1
a ﹣ a =1，从而得到数列 {a } 是等差数列，并求出
a 1 和公差 d ，由等差数列、等比数列的通项
21
n
公式求出 a n ， b n ；
（ 2）由（ 1）和题意求出 c n ，代入 c n+1﹣ c n 化简并将不等式转化为：
（﹣ 1） n ﹣ 1λ＜ 2n ﹣ 1 恒成立，
再对 n 分偶数、奇数讨论，分别分离出 λ，再由指数函数的单调性和 n 的取值，求出对应的最值，
从而求出 c 的范围． 解答：
解：（ 1）由 S n+2+S n =2S n+1+1 得， S n+2﹣S n+1﹣（ S n+1﹣ S n ） =1，
所以 a n+2﹣ a n+1=1（n ≥1）（ 2 分）
又 a 2﹣ a 1=1，所以数列 {a n } 是以 a 1=2 为首项， 1 为公差的等差数列．所以 a n =n+1．（ 4 分）
因为 {b n +2} 是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列．
所以 b n=4n﹣ 2．（ 6 分）
（2）因为 a n=n+1， b n=4n﹣ 2，所以 c n=4n+（﹣ 1）n﹣1λ?2 n+1．
要使 c n+1＞ c n恒成立，需 c n+1﹣c n =4n+1﹣4n+（﹣ 1）nλ?2 n+2﹣（﹣1）n﹣1λ?2n+1＞ 0 恒成立，即 3?4n﹣3λ（﹣ 1）n﹣12n+1＞ 0 恒成立．所以（﹣1） n﹣ 1λ＜2n﹣ 1 恒成立．（ 9 分）
①当 n 为奇数时，即λ＜ 2n﹣1恒成立，
当且仅当 n=1 时， 2n﹣1有最小值1，所以λ＜ 1；（10 分）
②当 n 为偶数时，即λ＞﹣ 2n﹣1 恒成立，
当且仅当 n=2 时，﹣ 2 n﹣1有最大值﹣ 2．所以λ＞﹣ 2，（ 11 分）
结合①②可知﹣ 2＜λ＜ 1．
又λ为非零整数，则λ=﹣ 1．
故存在λ=﹣ 1，使得对任意 n∈ N*，都有 c n+1＞ c n成立．（ 12 分）
点评：本题考查等比、等差数列的通项公式，以及作差法解决数列不等式问题，恒成立问
题转化为求函数的最值问题