2014年春七年级数学下册 第9章 整式乘法与因式分解 05 因式分解中的数学思想知识拓展 (新版)苏科版

因式分解中的数学思想

一、整体思想

所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解．

例1 把多项式（x2－1）2＋6（1－x2）＋9分解因式．

分析：把（x2－1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的．

解：（x2－1）2＋6（1－x2）＋9

＝（x2－1）2－6（x2－1）＋9

＝[（x2－1）－3]2

＝（x2－4）2

＝[（x＋2）（x－2）]2

＝（x＋2）2（x－2）2．

例2 把多项式（a＋b）2－4（a＋b－1）分解因式．

分析原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a＋b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式．

解：（a＋b）2－4（a＋b－1）＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2．

二、类比思想

类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比．

例3 把多项式6x3y 2＋12x2y3－6x2y2分解因式．

分析：对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y 的最低指数均为2，所以多项式6x3y2＋12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2．

解6x3y2＋12x2y3－6x2y2＝6x2y2（x＋y－1）．

例4 分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy＋aby 2．

分析：（1）对比平方差公式可先提取xy．（2）对比完全平方公式可先提取ab．

解：（1）x 3y－xy3＝xy（x 2－y 2）＝x y（x＋y）（x－y）；

（2）abx 2－2abxy＋aby2＝ab（x2－2xy＋y2）＝a b（x－y）2.

三、转化思想

转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行．例5 把多项式6x（x－y）2＋3（y－x）3分解因式．

分析考虑到（y－x）3＝－（x－y）3，则多项式转化为6x（x－y）2＋3（y－x）3，因此公因式是3（x－y）2．

解：6x（x－y）2＋3（y－x）3

＝6 x（x－y）2－3（x－y）3

＝3（x－y）2[2 x－（x－y）]

＝3（x－y）2（x＋y）．

例6 把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式．

分析：从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式．

解：x4＋x2y2＋y4

＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2

＝（x2＋y2）2－x2y2

＝（x2＋y2＋xy）（ x2＋y2－xy）

＝（x2＋xy＋y2）（ x2－xy＋y2）．

四、换元思想

所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式．例7 把多项式（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）分解因式．

分析：这个多项式形式上比较复杂，但考虑x＋y与xy重复出现，利用这一特点，可以这两个因式通过换元后再分解因式．

解：设x＋y＝a，xy＝b，则（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）

＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）

＝（a2＋2ab＋b2）－1

＝（a＋b）2－1

＝（a＋b＋1）（a＋b－1）

＝（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）

＝（x＋1）（ y＋1）（x＋y＋xy－1）．

《-整式乘除与因式分解》知识点归纳及经典例题

第十五章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。

整式的乘法与因式分解培优

第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？

【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．

整式的乘法与因式分解专题训练

整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +13x 1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004 ＝________。 7、如果(x +q )(3x 4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m 1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，x y y x 2、符号变化，x y x y 3、指数变化，x 2y 2x 2y 24 4、系数变化，2a b 2a b 5、换式变化，xy z m xy z m 6、增项变化，x y z x y z 7、连用公式变化，x y x y x 2y 2

8、逆用公式变化，x y z 2 x y z 2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）a b c 2 （2）3x y z 2 3、计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2）2 2007 200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧 1、已知a 2b 213，ab 6，求a b 2，a b 2的值。 变式练习：已知a b 27，a b 24，求a 2b 2，ab 的值。 2、已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 变式练习：已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

整式的乘法与因式分解能力培优

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 专题一 幂的性质 1．【2012·湛江】下列运算中，正确的是（ ） A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2)3＝a 9 C ．a 3?a 6＝a 9 D ．(2a 2)2＝2a 4 2．【2012·泰州】下列计算正确的是（ ） A ．3x · 622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x = 3．【2012·衢州】下列计算正确的是（ ） A ．2a 2＋a 2＝3a 4 B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．a 6·a 2＝a 12 D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用 4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108 5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值． 6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19 )2015×811007． 专题三 整式的乘法 7．下列运算中正确的是（ ） A ．2325a a a += B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=-- C ．23622a a a ?= D ．222(2)4a b a b +=+ 8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．

9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30． （1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________． 专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：2362743 19132 ）（）（ab b a b a -÷-． 12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4． 状元笔记 【知识要点】 1．幂的性质 (1)同底数幂的乘法：n m n m a a a +=? (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (2)幂的乘方：()m n mn a a =(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n n ab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

(完整版)整式的乘法与因式分解知识点

整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 练习： （1）y x x 2325? （2）)4(32 b ab -?- （3）a ab 23? （4）222z y yz ? （5）)4()2(2 32xy y x -? （6）22253)(63 1ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2?- （3）)32()5(-2 2 n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(23 2 2 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3） 2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 1 2 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x －8)·(－ 12 x 2 )＝ 7．2n(－1＋3mn 2 )＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－1 2 x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝ 11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为 ，体积为 。 12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是 ，若将长方 形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了 。

整式的乘法与因式分解知识点

整式乘除与因式分解 专项复习 一．知识点 （重点） 幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例1：(－2a )2(－3a 2)3=________. 2．()n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例2： (－a 5)5=____________. 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例3：(－a 2b )3=___________. 练习： （1）y x x 2325? （2）)4(32b ab -?- （3）a ab 23? （4）222z y yz ? （5）)4()2(232xy y x -? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．

例4：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ??? ??=??? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例5：（1）223123abc abc b a ?? （2 423)2()n m n -? 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例6：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2?- 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例7：（1） )6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－12 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为

整式乘法与因式分解专题复习

整式的乘法与因式分解专题复习 一、知识点总结： 1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、 整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、 同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：235()()()a b a b a b ++=+ 5、 幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 6、 积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5 101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 7、 同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3 334)()()(b a ab ab ab ==÷ 8、 零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

整式的乘除与因式分解知识点归纳

整 式 的 乘 除 及 因 式 分 解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：________3=?a a ；________32=??a a a 532)()()(b a b a b a +=+?+，逆运算为： 6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- ________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ ________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 9、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8 1)21(233==- 10、科学记数法：如：0.00000721=7.21610-?（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方） 11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：=?-xy z y x 3232

整式的乘法与因式分解

知识点的回顾 1、单项式： 都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字 母也是单项式）。 2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。 3、整式： 单项式和多项式统称整式。 4、一个单项式中，所有字母的指数 和叫做这个单项式的 次数 ；一个多项式 中， 次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数。 （单独一个非零数的次数是 0） 5、整式的加减运算法则 ： 练一练： 23 x y z 2、（ 1）单项式 的系数是 ，次数是 2 2）π的次数是 3） 3ab 2c 2a 2b ab 2是单项式 的和，次数最高的项是 它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 3、一个多项式加上 -2x 3+4x 2y+5y 3 后，得 x 3-x 2y+3y 3，求这个多项式， 并求当 x=- 21 ，y= 12 时， 这个多项式的值。 整式的加减 去括号法则 合并同类项法 个，多项式共有 个。 12 2 3 2 1 － a , 5 a b , 2 ， ab ， (x y), 3 4 a x 2 1, x y 7 , π 1、下列代数式中，单项式共有 1 2(a b), a ,

提示： ①三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即 a m a n a p a ( m,n, p 都是正整数）； ② 不要忽视指数为一的因数； ③ 底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式； ④ 注意法则的逆用，即 a m n a m a n 2、幂的乘方 3、积的乘方 1、同底数幂的乘法 第一讲 . 整式的乘法 同底数幂的乘法， 底数不变，指数相加。即：a m a n a m n ，（m , n 都是正整数） 例1 (1) 35 36 2)b 2m b m 1 23 (3)( y) y 2 ( y)3 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即： a m n a mn ， （m , n 都是正整数） 例2 1） 232 ＝ 2） b 5 3） 2n 1 3 x 4)(x 3x m ) 3=

专题 整式乘法与因式分解练习题

整式的乘法与因式分解练习（1） 一、选择题 1．下列计算中正确的是 （ ） A ．5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =? D ．()632 a a -=- 2．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((23n m n m m mn m -+=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 3．（-3a 2）2·a 3的计算结果是（ ） A ．-6a 7 B ．6a 7 C ．9a 7 D ．-9a 7 4．一种计算机每秒可做8410?次运算,它工作3310?秒运算的次数为 （ ） (A)241210? (B)121.210? (C)121210? (D)81210? 5．下列各式中,计算结果是2718x x +-的是 （ ） （A ）(2)(9)x x -+ （B ）(2)(9)x x ++ （C ）(3)(6)x x -+ （D ）(1)(18)x x -+ 6．如图：矩形花园中,,,b AD a AB ABCD ==花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ．若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A.2b ac ab bc ++- B.ac bc ab a -++2 C.2c ac bc ab +-- D.ab a bc b -+-22 7．把-x 3y 2+x 4y 3分解因式，正确的是（ ） A ．-xy （x 2y+x 3y 2） B ．-x 3y 2（1+xy ） C ．-x 3y 2（1-xy ） D ．-x 3y （y+xy 2） 8．下列分解因式正确的是 （ ） A ．() 123-=-x x x x B ．()()2362-+=-+m m m m C ．()()16442-=-+a a a D ．()()y x y x y x -+=+22 9．下列各式是完全平方式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 10．一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边

整式的乘法与因式分解所有知识点总结

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结 知识点： 1.基本运算： （1）同底数幂的乘法：a m a n=a m+n （2）幂的乘方：(a m)n=a mn （3）积的乘方：(ab)n=a n b n 2.整式的乘法： （1）单项式×单项式：系数×系数，同字母×同字母，不同字母为积的因式。 （2）单项式×多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加。 （3）多项式×多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加。 3.计算公式 （1）平方差公式：（a-b）×（a+b）=a2-b2 （2）完全平方差公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2 4.整式的除法： （1）同底数幂的除法：a m÷a n=a(m-n) （2）单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式。 （3）多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加。 （4）多项式÷多项式：用竖式。 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这

个式子因式分解。 6.因式分解方法： （1）提公因式法：找出最大公因式. （2）公式法： ①平方差公式：a2-b2=（a-b）×（a+b） ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 ③立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ④立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （3）十字相乘法x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) （4）拆项法 （5）添项法 1.下列运算中，结果正确的是（） A．x3·x3=x6 B. 3x2+2x2=5x4 C. (x2)3=x5 D. (x+y)2=x2+y2 2.计算(ab2)3的结果是（） A．ab5 B. ab6 C. a3b5 D. a3b6 3.计算2x2·(-3x3)的结果是（） A．-6x5 B. 6x5 C. -2x6 D. 2x6 4.下列各式由左到右的变形种，是分解因式的为（） A．a（x+y）=ax+ay B. x2- 4x+4=x（x-4）+4 C. 10x2- 5x=5x（2x-1） D. x2- 16+3x=（x-4）（x+4）+3x 5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

(人教版初中数学)整式乘法与因式分解单元备课

第十五章整式的乘除与因式分解单元备课 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构框图 （二）教科书内容 本章共包括4节15.1 整式的乘法15.2 乘法公式本节分为两个小节,分别介绍平方差公式与完全平方公式. 15.3 整式的除法15.4 因式分解 （三）课程学习目标 通过本章教学要求达到以下的教学目标： 1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算. 2.使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算. 3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 4.使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 二、本章教学建议 1.强调重要数学思想方法的渗透 2.根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容 三、本章教学中几个值得关注的问题

1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 2．重视发挥学生的主观能动性 3．注意把握教学要求 4．抓住教学重点和关键,突破教学难点 5．注意安排学生对选学内容的学习 四、课时分配 本章共安排了4个小节,教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法7课时15.2 乘法公式6课时15.3 整式的除法3课时15.4 因式分解5课时小结与复习2课时数学测试与试卷讲评2课时

整式的乘除和因式分解计算题(精选、经典)

整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． （3）[（﹣2x2y）2]3?3xy4．（4）（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．

4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3． 6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2．

整式乘法与因式分解难题汇总

1.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2013= 2.若n2+n-1=0,则n3+2n2+2008= 3.多项式4x2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，则符合条件单项式是 4.多项式16x2+4加上一个单项式后能成为一个完全平方式，则符合条件单项式是 5.(4×2n)(4×2n)= 6.一种电子计算机每秒可进行1010次运算，它工作108小时，可进行次运算。 7.（1 81 ）30×2740 8.一个正方体的棱长为2acm，若将正方体的棱长增加2倍，则变化后的正方体的体积是原正方体体积的几倍？ 9.已知正整数n满足5n+2·2n+1-5n+1·2n+2=3000,求n的值。 10.1 4x4+kx2+9=(1 2 x2+h),则k= ,h= . 11.若（2x-3）0有意义，则x取值范围为 12.已知：2x-y=10,则[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y的值为

13.已知x(x-1)-(x 2-y)=-2,则x 2+y 22-xy= 14.计算（a 1+a 2+…+a n-1）(a 2+a 3+…+a n-1+a n )-(a 2+a 3+…a n-1)(a 1+a 2+…+a n ) 15.(1-2-3-...-2013)×(2+3+4+...+2014)-(1-2-3-...-2014)×(2+3+ (2013) 16.若一个圆的半径增加3cm ，它的面积就增加57πcm 2,求此圆半径。 17.若10m =20,10n =15,求9m ÷32n 的值？ 18.因式分解：（a+b-c ）(a-b+c)+(b-a+c)(b-a-c) 19.已知2n =a,5n =b,20n =c,探究a 、b 、c 之间的关系并说明理由。

2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义

2018-2019学年八年级（上）数学-专属教案 整式的乘法与因式分解 知识点 平方差公式:(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算 ) A ．(x ＋y )(x ＋y ) B ．(－x ＋y )(x －y ) C ．(－x －y )(y －x ) D ．(x ＋y )(－x －y ) 解析：A 中含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B 中(－x ＋y )(x －y )＝－(x －y )(x －y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C 中(－x －y )(y －x )＝(x ＋y )(x －y )，含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D 中(x ＋y )(－x －y )＝－(x ＋y )(x ＋y )，含x 、y 的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C. 方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【类型二】 直接应用平方差公式进行计算 (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【类型三】 平方差公式的连续使用 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值． 解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果． 解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋ 1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1. 方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止． 【类型四】 应用平方差公式进行简便运算 (1)2013×1923 ；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．

【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结

整式的乘法与因式分解 第一节：整式的乘法 1．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。 在应用法则运算时，要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）； ⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。 2．幂的乘方 一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 另有：（m、n都是正整数）。 当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将(-a)3化成-a3。 底数有时形式不同，但可以化成相同。 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。 3.积的乘方法则 一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 4.整式的乘法 1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

整式的乘法与因式分解知识点总结

整式的乘法与因式分解知识点总结 一、同底数幂的乘法 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：m n m n a a a +?=（m 、n 为正整数） 注：（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式。 （2）当幂的指数为1时，计算不要遗漏，也可以省略不写，即a a =1 。 2. 在幂的运算中，经常用到以下变形： 二、幂的乘方 1. 幂的乘方：底数不变，指数相乘。 即：()n m mn a a =（m 、n 为正整数） 注：（1）公式的推广： （，均为正整数) （2）逆用公式： 三、积的乘方 1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：()n n n ab a b = （n 为正整数） 注：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式： 四、单项式与单项式相乘 1. 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 五、单项式与多项式相乘 1. 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 公式：mc mb ma c b a m ++=++)(，其中m 为单项式，c b a ++为多项式。 ()()(),n n n a n a a n ??-=?-??为偶数,为奇数()()()()()n n n b a n a b b a n ?-?-=?--??为偶数为奇数(())=m n p mnp a a 0≠a ,,m n p ()()n m mn m n a a a ==()=??n n n n abc a b c n ()n n n a b ab =

整式的乘法和因式分解压轴题解析

整式的乘法与因式分解 【知识脉络】 【基础知识】 1．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 3 a2 b2×2abc=（3×2）×（a2 b2×abc）=6 a3 b3c 2．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． ②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 5．因式分解（难点） 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 一、掌握因式分解的定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个

要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法 （1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． （3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号的第一项的系数是正的． 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【典例解析】 例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m ．（结果要化简） 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m， 则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m． 故答案为：﹣m2+2m 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例题2：乘法公式的探究与应用：