中考数学几何综合题
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几何综合题复习
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
一、几何论证型综合题
例1、(盐城）如图，已知：⊙O 1与⊙O 2是等圆,它们相交于A 、B 两点，⊙O 2在⊙O 1上,AC 是⊙O 2的直径,直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE.
(1）请你连结AD,证明：AD 是⊙O 1的直径； （2）若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线。
分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础.
证明：
(1)连接AD ，∵AC 是⊙O 2的直径，AB⊥DC ∴∠ABD=90°， ∴AD 是⊙O 1的直径 （2）证法一：∵AD 是⊙O 1的直径，
∴O 1为AD 中点 连接O 1O 2，
∵点O 2在⊙O 1上,⊙O 1与⊙O 2的半径相等, ∴O 1O 2=AO 1=AO 2
∴△AO 1O 2是等边三角形， ∴∠AO 1O 2=60°
由三角形中位线定理得：O 1O 2∥DC， ∴∠ADB=∠AO 1O 2=60° ∵AB⊥DC，∠E=60，
∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90° 又AD 是直径， ∴DE 是⊙O 1的切线 证法二:连接O 1O 2，
∵点O 2在⊙O 1上，O 1与O 2的半径相等， ∴点O 1在⊙O 2 ∴O 1O 2=AO 1=AO 2， ∴∠O 1AO 2=60° ∵AB 是公共弦， ∴AB⊥O 1O 2， ∴∠O 1AB=30° ∵∠E=60°
∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90° 由（1)知：AD 是的⊙O 1直径， ∴DE 是⊙O 1的切线。
说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。 练习一
1．如图,梯形ABCD 内接于⊙O,AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点P,交AD 的延长线于点E,若AD=5，AB=6，
E D
C
B A
O 1O 2
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A B C
D
O P 图5－1－2
BC=9。
⑴求DC 的长;
⑵求证:四边形ABCE 是平行四边形。
2．已知:如图，AB 是⊙O 的直径, 点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC 。
求证：(1）BC 平分∠PBD ；（2）BD AB BC ?=2
3．PC 切⊙O 于点C,过圆心的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，BE ⊥PE,垂足为E ，BE 交⊙O 于点D ，F 是PC 上一点，且
PF ＝AF ，FA 的延长线交⊙O 于点G 。 求证：（1)∠FGD ＝2∠PBC ；（2）
PC PO
AG AB
=
. 4.已知:如图，△ABC 内接于⊙O,直径CD ⊥AB ，垂足为E 。弦BF 交CD 于点M ，交AC 于点N ，且BF=AC,连结AD 、AM, 求证：(1)△ACM ≌△BCM ； (2）AD ·BE=DE ·BC;
（3）BM 2
=MN·MF。
5.已知：如图，△ABC 中,AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点． 求证：（1)AD ＝BD ；
（2）DF 是⊙O 的切线．
二、几何计算型综合题
解这类几何综合题，应该注意以下几点： （1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；
（2）灵活运用数学思想与方法。
例2．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点．
(1)求证：△ADE ≌△BCF ；
（2)若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长． 解：
（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ＝BC ，OA ＝OC,OB ＝OD,AC ＝BD ， AD ∥BC, ∴OA ＝OB ＝OC ，∠DAE ＝∠OCB,∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠DAE ＝∠CBF ．
又∵AE ＝
12OA ，BF ＝1
2
OB,∴AE ＝BF ， ∴△ADE ≌△BCF ．
（2）解：过点F 作FG ⊥CD 于点G,则∠DGF ＝90o， ∵∠DCB ＝90o，∴∠DGF ＝∠DCB, 又∵∠FDG ＝∠BDC ，∴△DFG ∽△DBC ， ∴FG DF DG BC DB DC
==． F
E
D
C
B A
O
F N
M O E D B
A
（例2题）
B C
D
O F
B
（例2）
C
D
F
G
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由（1）可知DF ＝3FB ，得34
DF DB =，
∴
3448
FG DG
==
，∴FG ＝3,DG ＝6， ∴GC ＝DC －DG ＝8－6＝2．
在Rt △FGC 中，229413CF FG GC =+=+=.
说明:本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。 练习二
1.已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB.
（1)求证：AC 平分DAB ；
（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径。 2．已知:如图,以Rt △ABC 的斜边AB 为直 径作⊙O ，D 是⊙O 上的点，
且有AC=CD 。过点C 作⊙O 的切线,与BD 的延长线交于点E ，连结CD 。
（1）试判断BE 与CE 是否互相垂直？请说明理由； （2）若CD=2
5
，tan ∠DCE=12
，求⊙O 的半径长.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，
且AD ∥CO.（1)求证：ΔADB ∽ΔOBC ；（2）若AB=2，BC=2,求AD 的长。（结果保留根号)
4．如图，AD 是ABC ?的角平分线, 延长AD 交ABC ?的外接圆O 于点E ,过C D E 、、三点的圆1O 交AC 的延长线于点F ,连结EF DF 、．
(1）求证：AEF ?∽FED ?； (2) 若6,3AD DE ==, 求EF 的长；
（3) 若DF ∥BE , 试判断ABE ?的形状，并说明理由．
5．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴△ADC ∽△EBA ；
⑵AC 2
＝12
BC·CE；
⑶如果AB ＝2,EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。 能力提高
1、如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F,AH ⊥BE 于H ，连结EF 。 （1） 求证：∠CEF ＝∠BAH
（2） 若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
2．如图，⊙O 的弦AB=10,P 是弦AB 所对优弧上的一个动点，tan ∠APB=2，
（1)若△APB 为直角三角形，求PB 的长； （2)若△APB 为等腰三角形,求△APB 的面积.
3.如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB,过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．
A
B
O P
C
A
O B
D 1
O ?A
E F
C
B
D
O
?O
E D C A