2014届高考一轮复习收尾精炼: 数列的通项与求和
一、选择题
1.已知函数f (n )=?
????
n 2
,当n 为正奇数时,
-n 2
,当n 为正偶数时,且a n =f (n )+f (n +1),则a 1+a 2+a 3
+…+a 100等于( ).
A .0
B .100
C .-100
D .10 200
2.数列112,214,318,41
16,…的前n 项和为( ).
A .12n +n 2+n 2
B .-12n +n 2
+n 2
C .-12+n 2
+n 2+1 D .-12+n 2+n 2
3.在10到2 000之间,形如2n (n ∈N *
)的各数之和为( ).
A .1 008
B .2 040
C .2 032
D .2 016
4.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2
n 等于( ).
A .(3n -1)2
B .12(9n -1)
C .9n
-1 D .14
(3n -1)
5.如果一个数列{a n }满足a n +1+a n =h (h 为常数,n ∈N *
),则称数列{a n }为等和数列,h 为公和,S n 是其前n 项和.已知等和数列{a n }中,a 1=1,h =-3,则S 2 011等于( ).
A .3 014
B .3 015
C .-3 014
D .-3 015
6.设函数f (x )=x m
+ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列??
??
??1f n (n ∈N *)的前n 项和是( ).
A .n n +1
B .n +2n +1
C .n n -1
D .n +1n
7.1-4+9-16+…+(-1)n +1n 2
等于( ). A .n n +12 B .-n n +12
C .(-1)n +1n n +12
D .以上答案均不对
二、填空题
8.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *
),则S 100=__________. 9.数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=3S n (n =1,2,3,…),则log 4S 10=__________. 10.(2013届湖南雅礼中学月考)如图所示,将数以斜线作如下分类:(1),(2,3),(4,6,5),(8,12,10,7),(16,24,20,14,9),…,并顺次称其为第1类,第2类,第3类,第4类,第5类,…,… (1)第6类中的第2__________
(2)第n类中n个数的和是:__________.
三、解答题
11.已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,对于任意的n∈N*满足关系式2S n =3a n-3.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}的通项公式是b n=1
log3a n·log3a n+1
,前n项和为T n,求证:对于任意的正整数n,总有T n<1.
12.已知数列{a n}和{b n}中,数列{a n}的前n项和为S n.若点(n,S n)在函数y=-x2+4x 的图象上,点(n,b n)在函数y=2x的图象上.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.
参考答案
一、选择题
1.B 解析:由题意,a 1+a 2+…+a 100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002
-1002+1012
=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=100.故选B.
2.C 解析:由题意,得a n =n +1
2
,
∴S n =(1+2+3+…+n )+? ????12+1
4
+ (12)
=n (n +1)2+12? ?
??
?1-12n 1-1
2
=n 2
+n 2+1-12n .
故选C.
3.C 解析:S =24+25+…+210=24(1-27)1-2
=(27-1)·24
=2 032.
故选C.
4.B 解析:因为a 1+a 2+…+a n =3n -1,所以a 1+a 2+…+a n -1=3n -1
-1(n ≥2).
则n ≥2时,a n =2·3n -1
.
当n =1时,a 1=3-1=2,适合上式,所以a n =2·3n -1(n ∈N *
).
则数列{a n 2
}是首项为4,公比为9的等比数列.
∴a 12+a 22+…+a n 2
=4(1-9n
)1-9
=12
(9n
-1). 故选B.
5.C 解析:由公和h =-3,a 1=1,得a 2=-4, 并且数列{a n }是以2为周期的数列,
则S 2 011=1 005(a 1+a 2)+a 1=-3 015+1=-3 014.
6.A 解析:∵f ′(x )=mx m -1
+a , ∴m =2,a =1.
∴f (x )=x 2+x ,f (n )=n 2
+n .
∴1f (n )=1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1
. ∴S n =1f (1)+1f (2)+1f (3)+…+1f (n -1)+1
f (n )
=? ????1-12+? ????12-13+? ????13-14+…+? ????1n -1-1n +? ??
??1n -1n +1 =1-1n +1=n
n +1
.
7.C 解析:当n 为偶数时,1-4+9-16+…+(-1)n +1n 2
=-3-7-…-(2n -1)=-n
2
(3+2n -1)
2=-n (n +1)
2
;
当n 为奇数时,1-4+9-16+…+(-1)n +1n 2=-3-7-…-[2(n -1)-1]+n 2
=-n -1
2[3+2(n -1)-1]2+n 2
=n (n +1)2,
综上可得,1-4+9-16+…+(-1)
n +1n 2
=(-1)n +1n (n +1)
2
.
故选C.
二、填空题
8.2 600 解析:由已知,得a 1=1, a 2=2, a 3-a 1=0, a 4-a 2=2, …
a 99-a 97=0, a 100-a 98=2,
累加得a 100+a 99=98+3, 同理得a 98+a 97=96+3,…, a 2+a 1=0+3,
则a 100+a 99+a 98+a 97+…+a 2+a 1 =50×(98+0)2
+50×3
=2 600.
9.9 解析:∵a n +1=3S n , ∴a n =3S n -1(n ≥2).
两式相减得a n +1-a n =3(S n -S n -1)=3a n , ∴a n +1=4a n ,即
a n +1
a n
=4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列. 当n =1时,a 2=3S 1=3,
∴n ≥2时, a n =3·4n -2
, S 10=a 1+a 2+…+a 10
=1+3+3×4+3×42+…+3×48
=1+3(1+4+…+48
)=1+3×1-49
1-4
=1+49-1=49
.
∴log 4S 10=lo g 449
=9.
10.(1)48 (2)3·2n
-2n -3 解析:由题意数列可以转化为:
1 2 3 4 6 5
8 12 10 7
16 24 20 14 9
32 48 40 28 19 11 …
类似杨辉三角,可知每一列都是等比数列,每一行最后一个数是等差数列,公差为2,
所以第6类中的第2项是:3×24
=48.
第n 个群中n 个数的和为:S n =1×2n -1+3×2n -2+5×2n -3+…+(2n -1)·20
,①
2S n =1×2n +3×2n -1+5×2n -2+…+(2n -1)·21
,②
②-①得,S n =2n +2×2n -1+2×2n -2+…+2×21
-2n +1 =2n +2n +2n -1+…+22
-2n +1
=2n
+4(1-2n -1
)1-2-2n +1
=3·2n
-2n -3. 三、解答题
11.(1)解:由已知得 ?
????
2S n =3a n -3,2S n -1=3a n -1-3,(n ≥2). 故2(S n -S n -1)=2a n =3a n -3a n -1, 即a n =3a n -1(n ≥2).
故数列{a n }为等比数列,且公比q =3. 又当n =1时,2a 1=3a 1-3,
∴a 1=3.∴a n =3n
.
(2)证明:∵b n =1n (n +1)=1n -1
n +1
.
∴T n =b 1+b 2+…+b n
=? ????1-12+? ????12-13+…+? ??
??1
n -1n +1=1-1n +1<1. 12.解:(1)由已知得S n =-n 2
+4n , ∵当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-2n +5, 又当n =1时,a 1=S 1=3,符合上式. ∴a n =-2n +5.
(2)由已知得b n =2n ,a n b n =(-2n +5)·2n
.
T n =3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n +5)×2n ,
2T n =3×22+1×23+…+(-2n +7)×2n +(-2n +5)×2n +1
, 两式相减得
T n =-6+(23+24+…+2n +1)+(-2n +5)×2n +1 =23(1-2n -1)1-2
+(-2n +5)×2n +1-6
=(7-2n )·2n +1
-14.
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥,等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且* 1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 2.累加法:利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法(()f n 可求前n 项和). 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++ =+2 11 ,求n a 1131122n a n n =+-=- 解: 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+= +,求n a 。23n a n = 解: 变式:(全国I,)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法,递推法等。本文就此总结如下,供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例1.数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ,数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .(Ⅰ)证明数列{a n }为等比数列;(Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和T n。 解析:(Ⅰ)由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S , 两式相减得:,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同, ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1,公比为2的等比数列.(Ⅱ),22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得: ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2.已知等差数列{}n a 的首项为1,前10项的和为145,求:. 242n a a a +++ 解析:首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则:6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 (1)若已知数列的第1项(或前项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. (2)数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系,可以用一个公式()n a f n =来表示,那么n a 就是数列 的通项公式. 注:①并非所有的数列都有通项公式; ②有的数列可能有不同形式的通项公式; ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式; ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等,通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法:形如1()n n a a f n +=+的解析式,可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法:形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式, 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列:通过变换递推公式,将非等差(等比)数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系,求其通项公式,可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?,求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等,通过观察分析数列各项的变化规律,求其通项.使用观察法时要注意:①观察数列各项符号的变化,考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式: (1)325374 ,,,,,,;751381911 - --L
专题43 数列 数列的求和4 ( 分组求和、倒序相加法) 【考点讲解】 一、具本目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法; 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述: 求数列前n 项和的基本方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和; 等差:; 等比: 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时,q a S -= 11 (2)掌握一些常见的数列的前n 项和公式: ; ; ; ; (3)倒序相加法求和:如果一个数列 {}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. (4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法:若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?,其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q 倍错位相减法. 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. (5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.通项公式为a n = 的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 形如: n n b a +其中, (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类 型,可采用两项合并求解. 合并求和:如求 的和. (7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项: ; . 【真题分析】
目录 第七章数列 (2) 第一节等差数列 (2) 题型73、等差数列基本运算 (2) 题型74、等差数列判定与证明 (3) 题型75、等差数列性质及结论的应用 (4) 题型76、等差数列前n项和的最值 (5) 第二节等比数列 (6) 题型77、等比数列基本运算 (6) 题型78、等比数列的判定与证明 (6) 题型79、等比数列的性质和结论 (8) 第三节数列的通项公式和前n项和公式 (9) 题型80、数列求通向公式 (9) 80.1、累加法: (9) 80.2、累乘法: (10) 80.3、待定系数法: (11) 80.4、对数变换法: (16) 80.5、倒数变换法: (17) 80.6、阶差法(逐项相减法): (17) 题型81、数列求前n项和 (20) 81.1、利用常用求和公式求和 (20) 81.2、错位相减法求和 (21) 81.3、分组法求和 (22) 81.4、裂项法求和 (23) 81.5、反序相加法求和 (25) 81.6、分段求和 (26)
第六章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要: ? 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数). ? 等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). ? 等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b 2,其中A 叫做a ,b 的等差中项. ? 等差中项的推论:在等差数列中,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *). 若m +n =2p ,则2a p =a m +a n (m ,n ,p ∈N *). ? 前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时,a n 是关于n 的一次函数;当d >0时,数列为递增数列;当d <0时,数列为递减数列. 2. 公差不为0时,S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).S n 是关于n 的二次函数,且常数项为0. ? 典型例题精讲精练: 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )B A .-12 B .-10 C .10 D .12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=4,S 4=22,a n =28,则n =( )D A .3 B .7 C .9 D .10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( )B A .1 B .2 C .3 D .4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3·a 5=12,a 2=0.若a 1>0,则S 20=( )D A .420 B .340 C .-420 D .-340 5. 在等差数列{a n }中,已知a 5+a 10=12,则3a 7+a 9=( )C A .12 B .18 C .24 D .30
数列求和方法 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一,一般数列求和的基本思想是将其通项变形,化归为等差数列或等比数列的求和问题,或利用代数式的对称性,采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法(或公式法) 将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L . 解:原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L . 由等差数列求和公式,得原式50(3199) 50502 ?+= =. 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和. 分析:由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1,故采用倒序相加法求和. 解:设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L . 两式相加,得 2111105S S =+++=∴=L , . 小结:对某些具有对称性的数列,可运用此法. 三、裂项相消法 如果一个数列的每一项都能化为两项之差,而前一项的减数恰与后一项的被减数相同,一减一加,中间项全部相消为零,那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积,且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L , 求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和. 分析:首先将数列的通项公式化简,然后注意到它可写成两项的差,在求和的过程中,中间的项相 互抵消了,从而可求出原数列的前n 项和. 解:222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ,
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法. 1.公式法 (1)等差数列的前n 项和公式: S n =n a 1+a n 2 =na 1+n n -12 d ; (2)等比数列的前n 项和公式: 2.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. 5.倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002 -992 +982 -972 +…+22 -12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. [常用结论] 1.一些常见的数列前n 项和公式:
(1)1+2+3+4+…+n = n n +1 2 ; (2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2 ; (3)2+4+6+8+…+2n =n 2 +n . 2.常用的裂项公式 (1) 1n n +k =1k ? ?? ??1 n -1n +k ; (2)1 4n 2-1=1 2n -1 2n +1=12? ?? ??1 2n -1-12n +1; (3) 1 n +n +1 =n +1-n ; (4)log a ? ?? ??1+1n =log a (n +1)-log a n . [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( ) (2)当n ≥2时, 1n 2-1=12? ?? ??1 n -1-1n +1.( ) (3)求S n =a +2a 2 +3a 3 +…+na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin 2 1°+sin 2 2°+sin 2 3°+…+sin 2 88°+sin 2 89°=44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1 n n +1 ,则S 5等于( ) A .1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n = 1n n +1=1n -1 n +1 , ∴S 5=a 1+a 2+…+a 5=1-12+12-13+…-16=5 6.] 3.若S n =1-2+3-4+5-6+…+(-1) n -1 ·n ,则S 50=________. -25 [S 50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25.] 4.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+1 2 n ,…的前n 项和S n 的值等于________.
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =, 12n n a a +-=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,13n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =, 110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-, 13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ,n a a n n 21+=+, * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈,13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11 ln(1)n n a a n +=++, 求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数, )0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-*()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例:已知数列{}n a 满足11a =, 122 n n n a a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足11a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, *()n N ∈,求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b (0n b ≠*n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11,即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ,11=a ,求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 21 )12(++=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1.公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)d 2 . 推导方法:倒序相加法. (2)等比数列{a n }的前n 项和S n =????? na 1 ,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1. 推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n = n (n +1) 2 ; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+2n -1=n 2. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和. (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n (4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n =a 1-a n +1 1-q .( ) (2)当n ≥2时, 1n 2 -1=12? ???1 n -1-1n +1.( ) (3)求S n =a +2a 2+3a 2+…+na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )
数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a 的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1-1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通项公式. (二).累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥,12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??,检验1n =的情况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘). 【例2】. (1) 已知2 11=a ,)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ,求 n a . (2)已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+,且32 1=a ,求n a .
2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列 考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实际问题. §03. 数 列 知识要点 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1;md a a n m n +=- q a a n n 1-=;m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a (0,1≠q a ) 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和
1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 等比数列 定义 常数)为(}{1d a a P A a n n n =-??+ 常数) 为(}{1q a a P G a n n n =? ?+ 通项公 式 n a =1a +(n-1)d=k a +(n-k ) d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公式 n d a n d d n n na a a n s n n )2(22) 1(2)(1211-+=-+=+= ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 中项公式 A= 2 b a + 推广:2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。推广:m n m n n a a a +-?=2 性 质 1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ,则q p n m a a a a =。 2 若}{n k 成A.P (其中N k n ∈)则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 (其中N k n ∈),则}{n k a 成等比数列。 3 .n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。 4 )(11n m n m a a n a a d n m n ≠--=--= 1 1a a q n n = - , m n m n a a q = - )(n m ≠ 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- 中项 2 k n k n a a A +-+= (0,,* k n N k n ∈) ) 0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=(0,,* k n N k n ∈) 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= () ? ?? ??≥--=--==)2(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(* q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?
数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法:等差数列,等比数列。 例1、(1)若{}n a 是等差数列,公差0d ≠, 236,,a a a 成等比,11a =,则n a =_________。 (2)若{}n a 是等比数列,243,,a a a 成等差, 13a =,则n a =_________。 二、已知n S 求n a :11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、(1)已知2 1n S n n =++,求n a 。 (2)已知101n n S =-,求n a 。 类型2、(1)已知32n n S a =-,求n a ; (2)已知3 32 n n S a =-,求n a ; (3)已知22n n S a +=,求n a 。 类型3、(1)2 24n n n a a S +=,0n a >,求n a ; (2)2 1056n n n S a a =++,0n a >,求n a ; (3)2111 424 n n n S a a = ++,0n a >,求n a 。 类型4、(1)11a =,12n n a S +=,求n a ; (2)11a =,12n n S a +=,求n a ; (3)13a =,11n n S a +=+,求n a 。
类型5、(1)122n n a a a ++???+=,则n a =_____ (2)123n a a a a n ?????=,则n a =_____ (3)12323n a a a na n +++???+=,则n a =_____ (4) 3 12123n a a a a n n +++???+=,则n a =_____ (5)231233333n n a a a a n +++???+=,n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式,使用累加法。 例1、(1)数列{}n a 中满足12a =,1n n a a n +=+,求n a 的通项公式。 (2)已知数列{}n a 中满足13a =, 12n n n a a +=+,求n a 的通项公式。 (3)求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式,使用累乘法。 例1、(1)数列{}n a 中满足15a =,12n n n a a +=?, 求n a 的通项公式。 (2)数列{}n a 中满足14a =,11 n n n a a n +=?+,求n a 的通项公式。 (3)112a = ,111 n n n a a n --=+(2n ≥),求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、(1)14a = 2=,求n a ; (2)14a =,22 12n n a a +-=,求n a ; (3)14a =, 144 2n n a a +-=,求n a ; (4)12a =,112(1)n n a a +-=-,求n a ; (5)11a =,1(1)3n n n a na ++=,求n a ; (6)11a =,121n n a a n n +-=+,求n a 。
常见数列通项公式的求法 类型一:公式法1(或定义法) 例1. 已知数列{}n a 满足11a =,12n n a a +-=* ()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =,1 3n n a a += *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足12a =,110n n a a +-+=*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-,13n n a a +=+*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =,2 1 2=a , 11112n n n a a a -++=(2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =,13n n a a +=* ()n N ∈,求数 列{}n a 的通项公式。 类型二:(累加法))(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈, 11a =,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ,n a a n n 21+=+,* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =,11 (1) n n a a n n -=+-, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+, * ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式。 类型三:(叠乘法)n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解 例:在数列{}n a 中,已知11a =,1(1)n n na n a -=+, (2)n ≥,求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,*()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ,n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ,求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈, 13a =,求数列{}n a 的通项公式。 类型四:递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法:这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =且 12n n S a +=(2)n ≥.求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,42n n S a =+, 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S =+, 求数列{}n a 的通项公式。 类型五:待定系数法 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq ) 解法:构造新数列{}n b ; p a a n n =+++λ λ 1解出λ,可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例:已知数列{}n a 中,11=a ,121+=+n n a a ,求数列{} n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足13a =,121n n a a +=- *()n N ∈,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中,11=a ,6431+=+n n a a ,求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且 232n n S a n =-* ()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式。 类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例:已知数列{}n a 满足11a =,122 n n n a a a += +*()n N ∈, 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =, 1(1)n n na n a +=++(1)n n +, * ()n N ∈,求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b (0n b ≠* n N ∈),满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=,令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七:(公式法2) (n n n p pa a ?+=+λ1)p>0; 解法:将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11,即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列; 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习: 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+,11=a ,求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一:公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ,求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中,12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二:分组求和法 例. 求数列的前n 项和: 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ,… 变式练习 1.已知数列}{n a 中,n n n a 32+=,求n S . 2.已知数列}{n a 中,n n n a 2 1 )12(+ +=,求n S . 类型三:倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(,求)3()2()1(f f f ++ 类型四:错位相减法: 例.数列}{n a 中,12)12(-?-n n n a ,求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =,}{n b 为等比数列, 且.)(,112211b a a b b a =-= (1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式; (2)设n n n b a c = ,求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五:裂项相消法 例.已知数列}{n a 中,) 2(1 += n n a n ,求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中,1 1211++???++++=n n n n a n , 又1 2 +?=n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a (1)若12n n a a +=+,则n a =__________; (2)若12n n a a +=,则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足,求数列的通项公式