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逆向三角合并的理解

关于对逆向三角合并的理解

三角合并（Triangular Merger ）是指合并发生在目标公司和并购公司的子公司之间，而不是直接发生在目标公司与并购公司之间。例如在一项交易中，并购公司首先设立一家全资子公司，然后将目标公司与该子公司合并。作为目标公司的股东获得的对价，至少有50%是母公司的股票，其余可以是现金、债券或其他。

三角合并又可以分为顺向三角合并（Forward Triangular Merger ）和逆向三角合并（Reverse Triangular Merger ）两种，若目标公司被子公司并购，则为顺向三角合并，目标公司注销，其资产和负债合并到并购公司中，目标公司的股东转而持有并购公司的股票。若子公司被目标公司并购，则为逆向三角合并，但是采用这种方式，一般是由于存在执照、租赁、贷款担保、管制要求等限制情形，有必要保留目标公司。

逆向三角合并的过程：

（1）并购公司与目标公司的董事会已就合并的商业安排达成一致（包括合并后的架构、换股比例）；

（2）并购公司为合并之特殊目的设立一家全资子公司。

（3）并购公司向该子公司贷予一定数量的股票。该股票将被用来交换目标公司的全部股票。

（4）并购公司的全资子公司与目标公司合并，按照协议，目标公司存续，并购公司的子公司消失，自然，目标获得原并购公司子公司所拥有的并购公司股票。

（5）目标公司回购全部股份，回购的对价是目标公司通过合并并购公司的全资子公司而获得的并购公司的股份――这是理解逆向三角合并的关键所在。股东之间进行股份交换，肯定是要股东本人同意的，但公司回购股份却是可以由股东大会决定的。通过回购，目标公司的股东将获得并购公司增发的股份，而目标公司的全部股份被自己持有。

（6）目标公司将其所回购的本公司股份转让给并购公司。由于该等目标公司股票的价值正好与并购公司贷予其子公司的股票的价值相等，故目标公司与并购公司之间两不相欠。通过上述交易，并购公司取得了目标公司的全部股份，而目标公司的股东换持了并购公司股份，成了并购公司的股东。

这样逆向三角合并成功地解决了传统合并模式中存在的弊端：即传统的合并交易中,必有至少一方消失。消失一方的资产、负债、业务均被并入存续方或新设的公司，消失一方的股东成为存续方或新设方的股东。这种合并带来的问题是：消失一方的资产、负债、业务转让给存续方或新设方时，在法律上要履行大量的手续，例如，不动产要办理产权过户手续、缴纳税费、债务转让要取得债权人的同意、业务合同的转让要取得客户的同意等。

三角函数最值问题类型归纳

三角函数最值问题类型归纳三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，

三角函数公式大全关系

三角函数公式大全关系：倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

三角函数与解三角形中地范围问题含问题详解

1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值围.

3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ?面积的最大值.

4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ；（Ⅱ）设(sin ,1)m A =，(3,cos 2)n A =，试求?的最大值.

6．ABC ?的三个角A B C ，，依次成等差数列．（1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状；（2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值围． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，4a =.

（1）求b c ?的最大值及θ的取值围；（2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小；（2）若ABC △

三角伸展式

减肥与塑身第一节：健康与美丽教学目的： 1．使学生认识到肥胖给我们人体带来的危害。 2．使学生意识减肥的最终目的。 3．如何正确地并有效地减肥。主要内容： 1．肥胖的危害； 2．减肥的最终目的； 3．肥胖的含义；简易测量肥胖的方法； 4．肥胖的病因； 5．如何正确的减肥； 6．肥胖的预防。教学手段：课件及视频教学过程：一．引入新课：肥胖的危害播放几张巨型肥胖人的图片，使学生有体态臃肿，失去美感的视觉冲击，同时还造成许多的疾病：高血压几率高6倍; 心脏病1.5倍; 冠心病2倍，糖尿病5 倍; 胆结石2.5倍; 月经异常3 倍; 膝关节炎6 倍二．进行新课 1．减肥的目的：通过减去人体多余的脂肪，达到如下目的：1）使人体更健美；2）减轻心脏的负担；3）减少由肥胖引发的疾病。 2．测量肥胖的方法：南方人标准体重=（身高cm-150）×0.6+48 3．皮下脂肪厚度测定简易法：拇、食指相距３cm，捏起皮肤，其厚度≈脂肪厚度。分别在腰、腹、臀部检查，超过２.５cm即为肥胖。 4．肥胖病因：1、遗传因素2、营养因素3、体力活动因素4、神经精神因素5、其他因素 5。肥胖的预防：

1）.良好的饮食习惯： A.结构合理 B.少咸多淡、少荤多素、少精多粗、少进多餐C. 饮食有规律，早吃好，午吃饱，晚餐吃少。细嚼慢咽，禁暴饮暴食。 2）.坚持参加体育锻炼、健身及有氧运动，消耗能量。 3）.生活有规律，保持心情舒畅。减肥方法：营养减肥方法。1）不吃减肥药；（2）正确分配好三餐；3）饮食控制（控制糖果、糕点、花生、啤酒…宜多吃黄瓜、冬瓜、黄豆、白萝卜和海带…）；（4）注意细节（喝汤、细嚼慢咽…）；（5）打“持久战”防“反弹”（6）慢慢减下来最好中医穴位按压减肥塑身万用穴道合谷位置：拇指与食指界凹陷处。多从手背方向取穴。效果：促进全身血液循环，提神醒脑，改善头晕头痛等症状。瘦脸四白位置：眼睛正中央往下延伸，与鼻梁正中央往旁延伸的交叉点的凹陷处。效果：消除脂肪，促进血液循环，改善近视。迎香位置：鼻翼两侧。效果：消浮肿、改善鼻炎、流鼻水、鼻塞等症状。承浆位置：嘴唇中间往下延伸，下巴正中央凹陷处。效果：改善脸部浮肿，防止牙龈肿胀发炎。太阳位置：眼尾与眉毛中间，往后一寸的凹陷处。

中考复习专题之三角函数与几何结合

与三角函数有关的几何题例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线 OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1 tan 2 CED ∠= ，⊙O 的半径为3，求OA 的长．析解：（1）证明：如图6，连接OC ． OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥． AB ∴是⊙O 的切线．（2）BC 2=BD ×BE ． ED 是直径，90ECD ∴∠= ． 90E EDC ∴∠+∠= ．又90BCD OCD ∠+∠= ，OCD ODC ∠=∠， BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△． BC BD BE BC ∴ =．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，1 2 CD EC ∴ =． BCD BEC △∽△，1 2BD CD BC EC ∴==．设BD x =，则2BC x =．又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6) 解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．

2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足为D ， AD 交⊙O 于点E ．（1）求证：BC EC =; （2）若4 cos 5 BEC ∠=, 求DC 的长． 3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点， OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2 ．（1）求∠A 的度数；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）求MD 的长度．分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数．（2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可．（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度．解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．（2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°．又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线．（3）解：∵点M 是的中点，∴OM ⊥AE ．在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC ?tan60°=2 × =6． ∴OA= =3，∴OD=OA=，∴MD=．点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ．（1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：∠E=∠ACB ；（3）若AD=1，，求BC 的长． B

三角函数与解三角形中的范围问题含答案

文档 1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值范围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.

3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小；（2）若c =ABC ?面积的最大值.

文档 4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．

5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ；（Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r ，试求?的最大值.

文档 6．ABC ?的三个内角A B C ，，依次成等差数列．（1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状；（2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值范围． 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，

（1）求b c ?的最大值及θ的取值范围；（2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小；（2）若ABC △

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ．（4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。（2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43．（3）.当2 0π <

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O

大学三角公式汇总

R 三角公式汇总 1. 0 2 180 , 2 121, n R R l S R l ?= = = =π ααα2、各三角比在各象限的符号: 3、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：2 2y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x = αcot 正割：x r = αsec 余割：y r = αcsc 3.同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。商数关系：α ααcos sin tan = ， α ααsin cos cot = 。平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 4.诱导公式 παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） α π +2、 α π -2 、 α π+2 3、 α π-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） tan αcot α cos αsec α sin αcsc α

5.和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?±?=± β αβαβαsin sin cos cos )cos(??=± β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 6二倍角公式 α ααcos sin 22sin = α αα2 tan 1tan 22tan -= α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* 有以下常用变形：升幂缩角，降幂扩角 2 )cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 2 2cos 1sin , 2 2cos 1cos 2 2 α αα α-= += 7.万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） α αα2 tan 1tan 22sin += ，α αα2 2 tan 1tan 12cos +-= ，α αα2 tan 1tan 22tan -= 。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 8.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） 2cos 12 sin θ θ-± = 2 cos 12cos θ θ+± = θ θθ θθ θθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 tan -= +=+-±= 2 ) 2 sin 2 (cos sin 1θθθ±= ± 10.辅助角“二合一”公式 )sin(cos sin 2 2 ?++= +x b a x b x a 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2 sin b a b += ?，2 2 cos b a a += ?，a b = ?tan 。

三角函数与立体几何(二)教师版

1．如图，在ABC ?中，点D 在边BC 上， 4 CAD π ∠= ， 72AC = ， cos 10 ADB ∠=-．（1）求sin C ∠的值；（2）若ABD ?的面积为7，求AB 的长．【答案】(1) sin C ∠= 4 5 ;(2) AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4 C ADB π ∠=∠- ，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1 ）因为cos 10ADB ∠=- ，所以sin 10 ADB ∠=，又因为4 CAD π ∠= ，所以4 C ADB π ∠=∠- ，所以sin sin 4C ADB π? ? ∠=∠- ?? ? sin cos cos sin 4 4 ADB ADB π π =∠-∠ 4 1021025 = +?=．（2）在ADC ?中，由正弦定理 sin sin AD AC C ADC =∠∠，故( )74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π? ?∠?∠?∠==== ∠-∠∠ = 又11sin 72210 ABD S AD AB ADB BD ?= ???∠=??=，解得5BD =．在ADB ?中，由余弦定理得 2 2 2 2cos AB AD BD AD BD ADB =+-??∠ 8252537AB ?=+-??=?= ?? 2．在ABC ?中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且 22sin sin cos cos C B B B C C -=

三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题

三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题利用对称中心与对称轴间距离例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点( ,0)12π，则ω有（） B 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π）利用特殊点的坐标例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称，那么?的最小值为（）A A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（）C A ． 8π B ．4π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合，则ω的最小值为（）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 B ．利用题设区间长度与周期的关系建立不等式

机械制图三视图的第三角法和第一角如何区分

三视图的第三角法和第一角法划分：一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。

2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推在我们国家有关制图方面的国家标准中规定，我国采用第一角投影法。但有些国家（如美国、日本）则采用第三角投影法。伴随着我国的对外开放和WTO的加入及对外贸易和国际间技术交流的日趋增多，我们会越来越多的接触到采用第三角投影法绘制的图纸。为了更好地进行国际间的技术交流和发展国际贸易的需要，我们应该了解和掌握第三角投影法。如图

三角函数最值问题解法归纳

三角函数最值问题—解题9法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。二引入辅助角法例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。解：

三利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解： f(x)的最小正周期为，最大值为。四引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则，其中

三角函数式化简

三角函数式化简孙小龙所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。方法引导三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。（1）看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等；（2）看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；（3）看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。另外，根据式子的特点，还可以使用辅助角公式。了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。例一化简f(x)=2cosxsin(x+3 π )－3sin 2x+sinxcosx 分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π 3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开 f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2 x +sin x cos x ?????→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π)-3sin 2 x +sin x cos x = 2sin x cos x +3cos 2 x -3sin 2 x 第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式 2sin x cos x + 3cos 2 x -3sin 2 x ???? →降幂公式 sin2x +3cos2x 继续运用辅助角公式进行彻底化简 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). 例二化简： 42212cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出1 2，可以得到完全平方式 42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44 x x x x ππ-+ -+诱导公式及完全平方式 → 12(4cos x?4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4 +x ）2=（2cos x?12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简（2cos x?12） 2 4sin(π4+x)cos(π 4+x) 降幂公式 → 2cos 2x 22sin(π+2x)= 2cos 2x 22cos 2x = 12 cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求最终形式：正弦型函数（通常情况）化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。任何三角函数式化简只要掌握了化简的原则和要求，遇到化简题就能轻而易举的攻破了，但首先有个前提：熟练掌握常见三角函数变换公式，如同角三角函数变换公式、诱导公式、两角和与差的余弦正弦正切公式、倍角与半角公式、辅助角公式等。同时还要了解其他三角函数变换公式，如三角函数积化和差和和差化积公式、三倍角公式和万能置换公式等。小试牛刀 1. 化简βαβαβα2cos 2cos 2 1 cos cos sin sin 2222-+。 2. 化简x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=

2020年高中数学三角函数的最值问题必修4

三角形中的最值问题山东莘县观城中学郭银生解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法只有两种，建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性。下面举例说明：例1．要是斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（） A ．∏ /4 B. ∏/3 C. ∏/6 D.正弦值是1/3的锐角解：解法1.（三角函数的有界性）设斜边为c ，其一个锐角是α，周长是L,则两个直角边是csinα 和ccosα，故 L =c+csinα +ccosα =c+1.414csin(α+∏ /4 ) ∵0<α<∏/2 ∴当α+∏ /4 =∏/2时，Lmax=c+1.414c 故选A 解法2.设两条直角边为a,b,周长为L ，则斜边c=22b a ＋是定值。 L=a+b+2 2b a ＋≤）＋（222b a +22b a ＋=(2+1) 22b a ＋(当且仅当a=b 时取等号) 即三角形是等腰直角三角形，周长取得最大值时，其一个锐角是∏ /4 从而选A. 例2．已知直角三角形周长是1，其面积的最大值为 . 方法Ⅰ.（三角函数的有界性）设该直角三角形的斜边是c ，一个锐角是A ，面积是S ，则两条直角边是csinA 和ccosA ，根据题意 csinA+ccosA+c=1,即c=A A sin sin 11＋＋ ① S=21csinA*ccosA=41sin2A ≤4 1 (当且仅当A=∏/4时取等号)

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

三角函数相关几何计算训练(附参考答案)

三角函数相关几何计算训练 1．（2011?南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC?BC的值为（） A．14 B．16C．4D．16 2．如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cosA的值等于（） A．B．C．D． 3．（2013?遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC?tanB=（） A．2B．3C．4D．5 4．路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2m，灯杆与灯柱BC成120度角，锥形灯罩轴线AD与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线（D在中心线上），已经点C与D点之间的距离为12m，则BC的高（）m． A．B．12 C．D． 5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（） A．B．C．D． 6．（2011?西城区一模）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）

A．B．C．D． 7．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 8．如图，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（） A．B．C．D． 9．（2007?临沂）如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（） A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km 10．（2004?武汉）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（） A．B．C．2D．3 11．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）

解三角形——求取值范围问题

解三角形求取值范围问题类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数 1.在ABC ?中，若3 sin 4 B =，10b =，则边长c 的取值范围是（） A. 15 (,)2 +∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10) 2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（） A ． B ． C ． D ． 3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（） A ． B ． C ． D ． 4．在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3 π = A ，则c b +的最大值为（） A ．4 B ． 33 C. 32 D ．2 5．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A c B b +=，则b c +的最大值为___6____． 6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32 ， ∴C ＝ π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3 . (2)∵c ＝3，sin C ＝ 32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3 3 2 ＝2，

即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π 3－A ， ∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2???? ??sin A ＋sin ? ????2π3－A ＋ 3 ＝2? ????sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3 ＝23? ????sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ? ?? ??A ＋π6 ＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴ π6＜A ＜π2，∴32＜sin ? ????A ＋π6≤1，则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]． 7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围．解：由正弦定理知，则a= ，b= ，而C=60°，所以a+b= =4sin （A+30°）因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4] ∴a+b 的取值范围为（2 ，4]． 8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23．（Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值；（Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【解析】（1）∵a 2 ＝b 2 ＋c 2 +bc ，∴2221 cos 22 b c a A bc +-= =-，即cosA ＝－12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝1 2bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π 3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π 3)， ∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π 3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].