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椭圆基础知识点

椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

2．标准方程： 222c a b =-

①焦点在x 轴上：122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F （±c ，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22

1x y m n += 或者 mx2+ny2=1

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

（1）椭圆122

22=+b y a x （a ＞b ＞0）横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b

（2）椭圆122

22=+b x a y （a ＞b ＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c

称为椭圆的离心率，

记作e （10<

e 0=是圆；

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

①焦点在x 轴上：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±=

②焦点在y 轴上：122

22=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：

c a y 2

±= 小结一：基本元素

（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a

b +=>>的外部2200221x y a b ?+>. 6.几何性质

（1）最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠

（2）最大距离，最小距离

椭圆基础训练题

椭圆基础训练题编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：易题目：1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9 x 2＋25y 2 ＝1 答案：B 编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：易题目：2．椭圆5x 2 ＋4 y 2＝1的两条准线间的距离是（）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3 50 答案：B 编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：易题目：3．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）3 3 答案：B 编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：中等题目：4．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是4 9 ，那么P 点到左准线的距离是（）。（A ）5 9 （B ） 516 （C ）441 （D ）5 41 答案：D 编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：易题目：5．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（）（A ）焦点坐标（B ）准线方程（C ）焦距（D ）离心率答案：D 编号：年级：高二、高三知识点：圆锥曲线分知识点：椭圆题型：选择题难度：易题目：6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1 或1

(完整版)椭圆知识点复习总结

椭圆知识点总结复习 1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB 上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程 2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 例二：设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e

2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求）（1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；（3）相离：0?>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2 e = （1）求椭圆的方程（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2 121 2 AT AF F =. ?4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。例五：已知椭圆22 221x y a b +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：10/3）；例六：椭圆1342 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2( -）； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；

椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆练习题1 A组基础过关一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1

解析依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．

高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M

椭圆练习题(经典归纳)

初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22?? ? ??? ，,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为0,3? - ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1）求圆O 的方程; （2)求ABM ?面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解；（2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题:教材P .３7 A 组.T3 T4 Ｂ组 T2 练习 1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习２.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为＿＿_____＿＿__ 总结：求点轨迹方程的步骤： (1）建立直角坐标系（2）设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)

（3）列式:从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（４）化简:将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设． (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ； (２）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=；（３）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件（斜率为０),可以假设直线为x my t 。【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线）例题:圆C 的方程为：.0222=-+y x (1)若直线过点）（4,0且与圆C 相交于Ａ，B 两点,且2=AB ,求直线方程． (2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切,求直线方程. (3)若直线过点）（0,4且与圆C 相切,求直线方程．附加:4)4(3:22 =-+-y x C ）（．若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭圆

椭圆练习题大题含详细答案

高中椭圆练习题一、选择题： 1.下列方程表示椭圆的是（） A.22 199x y += B.2228x y --=- C. 22 1259 x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.椭圆2222 222222 222 11()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线 D ．有相同的焦点 5.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（） A.3 B.2 C.3 D.6 6.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程2 2 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的 3 2 倍，则椭圆的焦距是（） B.4 C.6 D.

2 F C c D 1 F 9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 38x y -=的曲线关于原点对称 10.方程 22 22 1x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点； C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 第11题二、填空题：（本大题共4小题，共20分.） 11.（6分）已知椭圆的方程为： 22 164100 x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则?2F CD 的周长为________. 12.（6分）椭圆2 2 1625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为四个顶点坐标分别为___ ，离心率为；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①2 2 9436x y += 与 ② 22 11216 x y += ，哪一个更圆（2）① 22 1610 x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

椭圆常考题型汇总及练习进步

椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。

椭圆知识点总结

【椭圆】一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中2 22b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 2、两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122 22=+b y a x )0(>>b a 为例） 1、对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 a x ≤, b y ≤。

3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

椭圆练习题(经典归纳)

椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点（1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解；（2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ；（2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=；（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设

高中数学-椭圆经典练习题-配答案

椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为，，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3

高中数学椭圆练习题

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12， A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程．例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．

高中数学椭圆基础训练题

椭圆基础训练题一、选择题 1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3.椭圆116 252 2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ 4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5．若方程x 2a 2 —y 2a =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（） A 、a<0 B 、-1k 具有（） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴 11．椭圆22 1259 x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（） A. 4 B . 2 C. 8 D . 2 3

椭圆知识点总结

椭圆的知识点总结（一）一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离和等于常数(2a ，且2a>|F 1F 2|）点的轨迹叫做椭圆。说明：两个定点F 1（c ，0）、F 2（-c ，0）叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c ）；建立合适的坐标系，椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a ，椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b 。 2、椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当0

二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程 ● 焦点在x 轴，22 22x 1y a b +=（a>b>0） ● 焦点在y 轴，22 22x 1y b a +=（a>b>0）椭圆上任意一点到F 1，F 2距离的和为2a ，F 1，F 2之间的距离为2c 。而公式中的b2=a2-c2，b 是为了书写方便设定的参数，同时在椭圆的图像中，b 代表短轴的一半。 ● 当焦点位置不明确时，方程可设为2 2 m 1x ny +=（m>0，n>0，且m≠n ），即标准方程的统一形式。 ● 根据椭圆的第一定义推导标准方程：考虑焦点在x 轴的情况（焦点在y 轴的情况类似），根据椭圆的第一定义，建立坐标系，以F 1，F 2的连线为x 轴，F 1，F 2的中垂线为y 轴。 1222222222222 222222242222,)F -,0F ,022()44()444()() 22p x y c c a a x c y a x c y a xc a x c y a xc a x a xc a c a y a a xc x c a ==-++=--+=-??-+=-??-++=-+设点坐标为（，坐标为（），坐标为（）222224222222222222422222422224222222222222222222 22)() 1x a c a y a x c b a c a x a a b a y a x a b a x a a b a y a x a x b a b a y x b x b a y a b x y a b ++=+=-+-+=+-+-+=+--+=-+=+=令，代入，有（ ● 根据椭圆的第二定义推导标准方程：

(完整版)椭圆练习题(含答案)

解析几何——椭圆精炼专题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆6322 2 =+y x 的焦距是（） A ．2 B ．)23(2- C ．52 D ．)23(2+ 2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2 3,25(-，则椭圆方程是（） A ．14 8 2 2=+x y B ．16102 2=+x y C ．18 42 2=+x y D ．16 102 2=+y x 4．方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5．过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?，那么2 ABF ?的周长是（） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 1 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 3 1 ，长轴长为12，则椭圆方程为（） A ． 112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14 62 2=+y x C ． 1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或1462 2=+y x 7．已知k ＜4，则曲线 14 92 2=+y x 和14922=-+-k y k x 有（） A ．相同的短轴 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴 8．椭圆 19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8 9．椭圆13 122 2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（） A ．4倍 B ．5倍 C ．7倍 D ．3倍 10．椭圆144942 2 =+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y x C ．014494=-+y x D ． 014449=-+y x 11．椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10 12．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆12 22 =+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（） A ．2 B ．－2 C ． 21 D ．－2 1 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．） 13．椭圆 2214x y m +=的离心率为1 2 ，则m = ． 14．设P 是椭圆2 214 x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为；最小值为． 15．直线y =x －2 1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为． 16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2 2及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为．

高中数学椭圆的经典知识总结

高中数学椭圆的经典知识总结椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；（3）相离： 0?

椭圆和双曲线练习题及答案解析

第二章圆锥曲线与方程一、选择题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D. 2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3. 3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件． 4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D ．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析：选D 由a 2 ＞a ＋6＞0，得????? a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以??? a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2. 5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 2 48＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得 a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12 ＝1.

椭圆基础知识点

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高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

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