条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

§3．条件概率、乘法公式、独立性

前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。

一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，

30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。

(1)求取得甲厂产品的概率；

(2)求取得次品的概率；

(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。

分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解：

则（1）（2），

，，

（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：

为了给出条件概率的数学定义，我们对

{例1}的条件概率问题进行分析：

即有

二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,

且

【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】

φ

解；（ⅰ）∵ABφ

=，

三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品，2件次品，现从盒中无放回地连取2

件，求第一次、第二次都取得正品的

概率。

因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

条件概率与独立性

()()()()()()()()1012+C AB A P AB n P B A P A n P B A B C P B C A P B A P A ?????==????≤≤?????=???定义：对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生 的条件下，事件B 发生的概率。 公式：古典概型条件概率、性质、若事件、互斥，则有 条件概率题型： 题型一：根据公式换算求概率 ()()()()11,,23P B A P A B P A P B ===求（P(B)=1/3） 若P (A )＝34，P (B |A )＝12 ，则P (AB )等于 ( 3/8 ) 题型二：求条件概率 ()()()P AB P B A P A ?=???? 公式法：条件概率求解基本事件法：确定新的基本事件空间 1、公式法：由条件概率公式 ()()()P AB P B A P A =，分别求出()P AB 和()P A ，代入即可；公式法适用于所有条件概率问题；如例1 2、基本事件法：确定满足已知条件事件A 的基本事件数，确定新的基本事件 空间。基本事件法适用于解决与古典概型或几何概型相关的条件概率问题，比公式法方便，尤其是解决对于有次序的条件概率问题，如例2 用两种方法求解下列问题： 例1、 （公式法）盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个， 黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（ ）

A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 例2、（基本事件法）袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（） A．5 9 B． 4 9 C． 2 9 D． 2 3 例3、（基本事件法）有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是（1/2） 解答：此题所求就是Harry在雨天赛马赢的概率即 151 302 P== 例4、（基本事件法）一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球， 则后两次也摸得白球的概率为___1 5 _____． 例5、（基本事件法）某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第 一题不会答的情况下及格的概率．（25 42 ） 习题： 1.把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛 出的也是偶数点的概率为 ( ) A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 2.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若 从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（） A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 9 10 9 10

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是() A．0.56B．0.48 C．0.75 D．0.6 A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B. 因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.] 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1 10×9 ＝ 1 10，所以选A.] 3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是() A．相互独立事件B．不相互独立事件 C．互斥事件D．对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．] 4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()

A ．0.504 B ．0.994 C ．0.496 D ．0.06 B [系统可靠即A ，B ， C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.] 5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1 5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ，B ， C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2 5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________． 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.] 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样． (1)这个家庭一男一女的概率是多少？ (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2 3 . (1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝ P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响． (1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地 取两次，每次任取一件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题． 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )＝5 100 ＝0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499 . 法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB P A ＝5100× 4995100 ＝499 . 1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝ n AB n A ，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

事件的独立性与条件概率练习专题

事件的独立性与条件概率专题 1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.31 B ．0.32 C ．0.33 D ．0.36 2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ( ) A.12 B.35 C.34 D.310 3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34

C.1225 D.1425 4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310 B.13 C.38 D.29 5．(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假，甲去北京旅游的 概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 6．(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13 ，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15 ，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( )

条件概率、乘法公式和独立性

§3．条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。 这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知：

为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则 称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取 两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B 表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正 品的概率。 因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1 2 ，构造数列{a n }，使得a n ＝ ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性 1． 条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(A|B)= 为在 发生的条件下， 发生的概率。 2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做 . 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ?=? 4．互斥事件与相互独立事件是有区别的： 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。 如果A 、B 相互独立，则P （A +B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ?B ） 如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 5．独立重复试验 （1）独立重复试验的定义： （2）n 次独立重复试验的概率公式： 三、基础再现 1.一学生通过英语听力测试的概率是2 1 ，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是 （ ） A. 41 B. 31 C. 21 D. 4 3 2．已知,53 )(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 （ ） A. 50 9 B. 21 C. 109 D. 41 3．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A ． 125 81 B ． 125 54 C ． 125 36 D ． 125 27 4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p 1p 2 B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1） C.1－p 1p 2 D.1－（1－p 1）（1－p 2） 5.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3 1 ，丙生解出它的概率为 4 1 ，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______.

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)

§3．条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表 上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对

{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】

φ 解；（ⅰ）∵ABφ =， 三．概率的乘法公式： 乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

2.2.1条件概率与事件的相互独立性(学、教案)

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

条件概率与事件的独立性练习题

条件概率与事件的独立性练习题 1．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12 ，且 是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12 D.116 2、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率 为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.27125 3、一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率 是（） A. 41 B. 31 C.21 D.4 3 4．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（） A ．12581 B ．1255 4 C ．12536 D ．125 27 5、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

7．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34 . (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率； (2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

条件概率与独立事件

条件概率与独立事件 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释： 我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释： （1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数，即()() card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . （2）公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 （1）非负性：()|0P A B ≥； （2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）； （3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()() |= P A B P A B P B I .

条件概率与独立性

§4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式 三、事件独立性 四、贝努里概型 补充和注记 习 题 一、条件概率 任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生. 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间 (,,)P ΩF ，并希望知道某一事件A 发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件A 相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A . 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率(conditional probability)，记作(|)P A B . 在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算. 例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球，记A ={取得蓝球}，B ={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. Ω包含的样本点总数为16，A 包含的样本点总数为11，故 11 ()16P A =. 表1-2

如果已知取得为玻球，这就B 是发生条件璃下A 发生的条件概率，记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故 42(|)63P A B ==. 一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当()0P B ≠，有 (|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数 ＝ 在发生的条件下样本点数 包含的样本点数＝包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）. 这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义. 定义1 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为 (|)P AB P A B P B （） ＝（）. (1) 反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率，即有乘法公式 若()0P B ≠，则()()(|)P AB P B P A B =, (2) 同样有 若()0P A ≠，则()()(|)P AB P A P B A =. (2)' 从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成. 两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件，即 312121(|)(|) n n P A A A P A A A A -? (3)

条件概率

条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是 原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞ 0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第 二次都取得正品的概率。

条件概率与事件的独立性练习

条件概率与事件的独立性练习： 一、条件概率 1．已知P(B|A)=10 3,P(A)=5 1,则P(AB)=( ) A ．2 1 B.2 3 C ．32 D.50 3 2、一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.5 2 B.5 1 C.2 1 D. 7 3 3、在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 一、 事件的独立性 实质：P(B|A)=P(B) 。因此) () ()(A P AB P B P ，所以 P(AB)=P(A)·P(B). 注意两点：（1）当A 与B 相互独立时，A 与B 、A 与B 、A 与B 之间也是相互独立的； （2）公式可推广到多个相互独立事件。 1、典型的串并联电路问题： （1） 如图1，当元件A 和B 都正常工作时，系统正常工作。

如果元件A和B正常工作的概率依次为0.9和0.8，当系统正常工作的概率是多少？

（2） 如图2，当元件A 和B 至少有一个正常工作时，系统 正常工作。如果元件A 和B 正常工作的概率依次为0.9和0.8，当系统正常工作的概率是多少？ 图1 B A 图2 B A （3）（2011湖北）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 A ．0．960 B ．0．864 C ．0．720 D ．0．576 2、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A ．1 2 B ．35 C ．23 D ．3 4

概率的乘法公式

1.5 概率的乘法公式 1.5.1 条件概率 【问题1】 3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？ 若抽到中奖券的概率用“Y ”表示，没有抽到的用“Y ”表示，用n A ()表示事件A 中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为Ω=YYY YYY YYY {,,}，用B 表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则=B YYY {}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 3 = =Ωn B p B n ()().() 【问题2】 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率 又是多少？ 因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为 =A YYY YYY {,}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 =n B n A ()()，不妨记为P B A (|). 显然,知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A 的发生，会影响事件B 发生的概率， 从而导致了≠P B P B A ()(|). 【问题3】 对于上面的事件A 和B ，计算P B A (|)的一般想法是什么？ 既然已经知道了事件A 的必然发生，所以只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事 件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生，对于古典概型，由于组成事件A 的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为 = n AB P B A n A () (|)() . ① 为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：

Ω= ==Ωn AB m AB n P AB P B A n A m A n P A ()()/()() (|).()()/()() 因此有 = P AB P B A P A () (|).() 这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义. 一般地，设A ，B 为两个事件，且0>p A ()，称 = P AB P B A P A () (|)() ② 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率(conditional probability). 一般地，把P B A (|)读作A 发生的条件下B 的概率。 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 01≤≤P B A (|). 如果B 和C 是两个互斥事件，则 ?=+P B C A P B A P C A (|)(|)(|). 例1．在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求： (1) 第1次抽到理科题的概率； (2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。 【答案】设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第 2次都抽到理科题为事件AB. (1) 从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为 2 520Ω==n A (). 根据分步乘法计数原理，11 3412=?=n A A A ()，于是 123 205 = ==Ωn A P A n ()().() (2) 因为236==n AB A ()，所以

条件概率与独立事件教案

2.1条件概率与独立事件（一） 丹凤县竹林关中学兰栋霞 ●学情分析 高二学生在高一阶段已经学习了古典概型、几何概型，对于概率知识有了一定的认识，为条件概率与独立事件的学习，奠定了一定的理论基础。 ●三维目标 1．知识与技能 （1）通过具体情境了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题． （2）掌握求条件概率的两种方法. 2．过程与方法 在对条件概率的学习过程中，进一步培养学生准确把握随机事件，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识． ●重点难点 重点：求条件概率的方法，利用条件概率分析和解决简单的实际问题． 难点：对条件概率的概念的理解． ●教学方法 主要采取教师启发、讲授和学生探究、练习相结合的方法

●教学过程： 一、知识回顾 1.古典概型的概念： 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率计算公式： 二、实例探究 100个产品中有93个产品的长度合格，90个产品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？ 分析：令A={产品的长度合格} ，B={产品的质量合格}，那么A ∩B={产品的长度、质量都合格} 现任取一个产品，已知它的质量合格（即B 发生），则它的 长度合格（即A 发生）的概率是9085 思考：这个概率与事件A 、B 发生的概率有什么关系么? 三、精讲点拨 求B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为 。 n m A A P ==试验的所有可能结果数包含的可能结果数事件)(当 时 ，其中 可记为 0 )(>B P )()()(B P B A P B A P ?=B A I AB )(B A P 类似地，当 时， ，此即为A 发生时B 发生的条件概率。 0)(>A P )()()(A B P AB P A P =

5知识讲解 条件概率与独立事件 提高

条件概率与独立事件 【学习目标】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.通过实例探究条件概率计算公式的推导过程和事件独立性的概念，学会判断事件独立性的方法. 3.通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发展数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释： 我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释： （1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数，即()() card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . （2）公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 （1）非负性：()|0P A B ≥； （2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）； 当()0P B >时，()()() |= P A B P A B P B .

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率

§12.7 条件概率与相互独立事件的概率(教案) 知识点： 1．掌握条件概率的定义和公式，会运用条件概率解决问题； 2．了解事件的独立性的意义，会求相互独立事件同时发生的概率。 （一）课标解读及教学要求： 了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单的概率计算。 考点： 1．互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 2．互斥事件的概率求法 如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+． 一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则 )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ． 3．对立事件 对立事件的概念说明： 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A ． 由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件．又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件． 两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ． 对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ． 因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=． 思考：对立事件和互斥事件有何异同？ 对立事件必然是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。 4.条件概率 在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P . 定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称 ) ()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠.