2018版高中数学人教B版必修二学案：2.3.4 圆与圆的位置关系

2.3.4 圆与圆的位置关系

[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.

[知识链接]

1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.

2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.

[预习导引]

圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：

???圆C 1方程圆C 2方程消元一元二次方程??? Δ>0?相交Δ＝0?内切或外切Δ<0?外离或内含

要点一 与两圆相切有关的问题

例1 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，

则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，①

b ＋3a －＝3，② |a ＋3b |2

＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.

规律方法 两圆相切时常用的性质有：

(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，

则两圆相切??? 内切?|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切?|O 1O 2|＝r 1＋r 2.

(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪演练1 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则

(a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①

(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，②

联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为

(x －5)2＋(y ＋1)2＝1；

(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③

联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为

(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.

综上所述，所求圆的方程为

(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.

要点二 与两圆相交有关的问题

例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

解

设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组?

??

x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.

∵A ，B 两点坐标都满足此方程，

∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.

又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2

＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232

－? ????952＝245. 即两圆的公共弦长为245

. 规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.

2.公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.

跟踪演练2 求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.

解 联立两圆的方程得方程组

???

x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0， 此即为两圆公共弦所在直线的方程.

方法一 设两圆相交于点A ，B ，

则A ，B 两点满足方程组?

?? x －2y ＋4＝0x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得??? x ＝－4y ＝0或?

?? x ＝0y ＝2. 所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，

即公共弦长为2 5.

方法二 由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，

得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0