变量数学时期

变量数学时期

变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；

17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换.

变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成了现代大学数学课程(非数学专业)的主要内容。

十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念，从此数学进入了变量数学时期。它以笛卡儿的解析几何的建立为起点(1637年)，接着是微积分的兴起。

在数学史上，引人注目的17世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事。

首先是伽里略实验数学方法的出现，它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。具体可归结为：(1)从所要研究的现象中，选择出若干个可以用数量表示出来的特点；(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关系式；(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果；(4)进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结果尽可能地用数值表示以来；(5)以实验结果来肯定或否定所提的假设；(6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假设接受检验。

伽里略的实验数学为科学研究开创了一种全新的局面。在它的影响下，17世纪以后的许多物理学家同时又是数学家，而许多数学家也在物理学的发展中做出了重要的贡献。

第二件大事是笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表。它引入了运动着的一点的坐标的概念，引入了变量和函数的概念。由于有了坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科——解析几何学。这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。

在近代史上，笛卡儿以资产阶级早期哲学家闻名于世，被誉为第一流的物理学家、近代生物学的奠基人和近代数学的开创者。他1596年3月21日生于法国图朗，成年后的经历大致可分两个阶段。第一阶段从1616年大学毕业至1628年去荷兰之前，为学习和探索时期。第二阶段从1628年到1649年，为新思想的发挥和总结时期，大部分时间是在荷兰度过的，这期间他完成了自己的所有著作。1650年2月11日，他病逝于瑞典。

第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼兹公式。到1700年，现在大学

里学习的大部分微积分内容已经建立起来，其中还包括较高等的内容，例如变分法。第一本微积分课本出版于1696年，是洛比达写的。

但是在其后的相当一段时间里，微积分的基础还是不清楚的，并且很少被人注意，因为早期的研究者都被此学科的显著的可应用性所吸引了。

除了这三件大事外，还有笛沙格在1639年发表的一书中，进行了射影几何的早期工作；帕斯卡于1649年制成了计算器；惠更斯于1657年提出了概率论这一学科中的第一篇论文。

17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来。

1705年纽可门制成了第一台可供实用的蒸汽机；1768年瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起了英国的工业革命，以后遍及全欧，生产力迅速提高，从而促进了科学的繁荣。法国掀起的启蒙运动，人们的思想得到进一步解放，为数学的发展创造了良好条件。

18世纪数学的各个学科，如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论、概率论、微分方程和分析力学得到快速发展。同时还开创了若干新的领域，如保险统计科学、高等函数(指微分方程所定义的函数)、偏微分方程、微分几何等。

这一时期主要的数学家有伯努利家族的几位成员、隶莫弗尔、泰勒、麦克劳林、欧拉、克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日和蒙日等。他们中大多数的数学成就，就来自微积分在力学和天文学领域的应用。但是，达朗贝尔关于分析的基础不可取的认识，兰伯待在平行公设方面的工作、拉格朗日在位微积分严谨化上做的努力以及卡诺的哲学思想向人们发出预告：

几何学和代数学的解放即将来临，现在是深入考虑数学的基础的时候了。此外，开始出现专业化的数学家，像蒙日在几何学中那样。

18世纪的数学表现出几个特点：(1)以微积分为基础，发展出宽广的数学领域，成为后来数学发展中的一个主流；(2)数学方法完成了从几何方法向解析方法的转变；(3)数学发展的动力除了来自物质生产之外，还来自物理学；(4)已经明确地把数学分为纯粹数学和应用数学。

19世纪20年代出现了一个伟大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限

的概念上。柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可接受的极限理论，然后极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分，强调了研究级数收敛性的必要，给出了正项级数的根式判别

法和积分判别法。柯西的著作震动了当时的数学界，他的严谨推理激发了其他数学家努力摆脱形式运算和单凭直观的分析。今天的初等微积分课本中写得比较认真的内容，实质上是柯西的这些定义。

19世纪前期出版的重要数学著作还有高斯的《算术研究》(1801年，数论)；蒙日的《分析在几何学上的应用》(1809年，微分几何)；拉普拉斯的《分析概率论》(1812年)，书中引入了著名的拉普拉斯变换；彭赛莱的《论图形的射影性质》(1822年)；斯坦纳的《几何形的相互依赖性的系统发展》(1832年)等。以高斯为代表的数论的新开拓，以彭资莱、斯坦纳为代表的射影几何的复兴，都是引人瞩目的。

数学特色课程方案

数学特色课程方案

《小学生数学思维开发训练》课程方案（试行稿） 一、课程开发背景 教育是否培养出具有严密的思维能力和具有创造精神的新人，是当今素质教育的核心所在。2011版《数学课程标准》明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。由此可见，从小加强学生的创造性思维方法的训练和创造性思维品质的培养，对于实施素质教育具有深远的意义。 “数学是思维的体操”。开展数学思维训练，不仅使学生能够掌握渊博的数学知识，更重要的是可以训练他们的思维，增强分析问题和解决问题的能力，促使学生发展，形式健全人格，具有终身持续发展能力的力量源泉。开展思维训练活动，能扩大学生的视野，拓宽知识，培养兴趣爱好，发展教学才能，为培养发展学生的创造性思维品质提供极大的空间，全面促进学生数学素养的提升。 二、课程目标 1．知识目标：了解源于教材又高于教材的数学各专题知识，初步应用所学知识解决日常生活问题；学会一些基本的解题策略和解题方法，提高分析问题、解决问题的能力；初步学会一些基本的数学思想方法，尝试用数学的思维方式去思考问题，提升数学思维能力。 2．能力目标：通过校本课程的学习，提高学生主动思考问题、发现问题和解决问题的品质，并在学习中学会与人分享、与人合作。 3．情感目标：通过思维训练，提高学习数学的兴趣和喜爱，感受数学学科独特的魅力，增强学好数学的信心，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。 三、课程内容 根据学生的认知规律、数学学习的特点和学生实际学习情况，本课程安排了“数与运算、图形与几何、解决问题”三方面的内容，放在五个年级学习，各年级教学内容如下： 年级数的运算图形与几何解决问题 一年级找规律（一）、数 和数数、数的计算、图形的计数(一)、谁 的眼力好、图形游戏 比较、简单运用、智力趣题 二年级加法的巧算、有余 数的除法、算式中 的数迷（一）、巧图形的剪拼（一）、 拼图游戏、数立方 体、图形的计数 周期问题(一)、天平问题、 幻方(一)、移多补少问题、 年龄问题、简单重叠问题、

(北师大版)初中数学《变量之间的关系》单元测试1

第四章 变量之间的关系 单元测试 一、填空题 1．表示变量之间关系的常用方法有__________，__________，___________． 2．已知变量s 与t 的关系式是2235t t s -=，则当2=t 时，____=s ． 3．亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y （元）与买邮票的枚数x （枚）的关系式为_______，最多可以买_________枚． 4．“日落西山”是我们每天都要面对的自然变换，就你的理解，_________是自变量，________是因变量． 二、选择题 5．水池中原有3升水，现每分钟向池内注1升，则水池内水量Q （升）与注水时间t （分）之间关系的图象大致为（ ） 6．弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度y （cm ）最长为20cm ，与所挂物体重量x （kg ）间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 … y 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（ ） A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量 B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cm C ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm D ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm 7．对关系式x y 2 13-=的描述不正确的是（ ） A ．当x 看作自变量时，y 就是因变量 B ．随着x 值的增大，y 值变小

C．在非负数范围内，y可以最大值为3 3 D．当0 y时，x的值为 2 三、解答题 8．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）此变化过程中，__________是自变量，_________是因变量．（2）甲的速度________乙的速度（大于、等于、小于） （3）6时表示________ （4）路程为150km，甲行驶了____小时，乙行驶了_____小时．（5）9时甲在乙的________（前面、后面、相同位置） （6）乙比甲先走了3小时，对吗？__________

七年级下册数学《_变量之间的关系》

() s t ()m S 64 o 812 A B 《变量之间的关系》 一、选择题（每题3分，共24分） 1．在某次试验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表： 1 2 3 4 则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的 【 】. A ．22v m =- B ．21v m =- C ． 33v m =- D ．1v m =+ 2、长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中0>x ），面积为y 2cm ，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（ ）A 、2x y = B 、()2 12x y -= C 、()x x y ?-=12 D 、 ()x y -=122 3、地表以下的岩层温度y 随着所处深度x 的变化而变化，在某个地点y 与x 的关系可以由公式2035+=x y 来表示，则y 随x 的增大而（ ） A 、增大 B 、减小 C 、不变 D 、以上答案都不对 4、如图1所示，OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动 的路程与时间的关系图象，图中S 和t 分别表示运动路程 和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快 （ ） A 、m B 、2m C 、m D 、1m 5、表格列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高度d 下时弹跳高度b 与下落高d 的关系，试问下面的哪个式子能表示这种关系（单位cm ）（ ） A 、2d b = B 、d b 2= C 、25+=d b D 、 2 d b = 6、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的重量x （kg ）间有下x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（ ） A ．x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量 B ．弹簧不挂重物时的长度为0cm C ．物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加 D ．所挂物体质量为7kg 时,弹簧长度为 50 80 100 150 25 40 50 75 图1

学生数学思维发展的特点

学生数学思维发展的特点 学生数学思维发展的特点 数学思维的发展呈现年龄特征，要经历直观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维(包括辩证思维)等阶段。不同阶段的思维形态 有本质的差别，表现出不同的功能、数学思维就是按此顺序由低层 次向高层次不断发展的。当然，这种发展不是以高层次思维取代低 层次思维，而是高层次思维形态以低层次思维形态为基础，高层次 思维形态的出现与发展又反过来带动、促进低层次思维形态由低水 平向高水平发展。 小学阶段，学生的数学思维从以具体形象恩维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式过渡。当然，这种抽象逻辑思维在很大程度 上仍与感性经验直接相联系，具有很大成分的具体形象性。这里的 过渡通常认为以1011岁(4年级)为转折点，称为“关键年龄”。在 小学低年级，学生的数学思维具有明显的形象性，与面前的具体事 物或其生动表象联系着。而在高年级，学生逐步学会区分概念中的 本质与非本质属性、主要与次要的因素，学会掌握初步的科学定义，学会独立进行逻辑论证。当然，这种思维活动仍然要与直接的、感 性的经验联系在一起，具有很大成分的具体抽象性。 在整个中学阶段，学生的数学思维获得迅速发展，抽象逻辑思维占据优势地位。这种思维有五方面特征征：第一，能够离开具体事物，运用概念、通过假设进行思维，使思维按照发现问题、明确问题、提出假设、检验假设的途径，经过一系列抽象逻辑思维，达到 解决问题的目的。第二，在具体从事复杂活动之前，能够预计活动 的发展进程，预先设想活动的计划、步骤和策略，具有思维的预见性。第三，由具体运算思维占优势发展到形式运算思维占优势，具 有思维的形式化特点。第四，思维活动中，自我意识或监控能力明 显化，反省的、监控性的思维特点越来越明显。第五，思维的自我 调节能力明显优，思维过程中追求新颖独特性、追求个性，思维的 系统性和结构性明显加强。中学生的抽象逻辑思维发展也存在“关

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学

第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．

人教版八年级数学下册《变量与函数》练习.docx

初中数学试卷 桑水出品 《变量与函数》练习 一、选择——基础知识运用 1．下列四个关系式：（1）y=x；（2）y=x2；（3）y=x3；（4）|y|=x，其中y不是x的函数的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4） 2．如果每盒钢笔有10支，售价25元，那么购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为（） A．y=10x B．y=25x C．y= 2 5 x D．y= 5 2 x 3．如图，y是x的函数图像的是（）A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（） A．变量x、y满足y2=x，则y是x的函数 B．变量x、y满足x+3y=1，则y是x的函数

C ．代数式4 3πr 3是它所含字母r 的函数 D ．在V=43 πr 3中，4 3 是常量，r 是自变量，V 是r 的函数 5．已知x=3-k ，y=2+k ，则y 与x 的关系是（ ） A ．y=x-5 B ．x+y=1 C ．x-y=1 D ．x+y=5 6．已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表，则y 与x 之间的函数关系式可能是（ ） x -1 0 1 y -3 -4 -3 A ．y=3x B ．y=x-4 C ．y=x2-4 D ．y=3 x 二、解答——知识提高运用 7．圆柱的底面半径为10cm ，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化， （1）在这个变化过程中自变量是什么？因变量是什么？ （2）设圆柱的体积为V ，圆柱的高为h ，则V 与h 的关系是什么？ （3）当h 每增加2，V 如何变化？ 8．某镇居民生活用水的收费标准如表。 月用水量x （立方米） 0＜x ≤8 8＜x ≤16 x ＞16 收费标准y （元/立方米） 1.50 2.5 4 （1）y 是关于x 的函数吗？为什么？ （2）小王同学家9月份用水10立方米，10月份用水8立方米，两个月合计应付水费多少元？ 9．瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y 与层数x 之间的关系式，并写出自变量x 的取值范围。 10．如图，长方形ABCD 中，AB=4，BC=8．点P 在AB 上运动，设PB=x ，图中阴影部分的面积为y 。 （1）写出阴影部分的面积y 与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围； （2）点P 在什么位置时，阴影部分的面积等于20？ 11．用一根长是20cm 的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为x cm ，它的面积为y cm 2。

数学思维的三个特性分别是什么

数学思维的三个特性分别是什么 数学思维的特性 数学思维从数学学科的特点出发，在数学学习过程中主要表现为以下特性： 1.数学思维的问题性 问题是数学的心脏。它促使数学发现、推动数学的发展。没有问题就不会导致数学的思维。数学思维主要地表现在数学问题解决过程中。希尔伯特说：“正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”(引自：希尔伯特《数学问题》，《数学与文化》，北京大学出版社，1990年版，p191) 在数学学习中，数学思维总是从提出问题开始的，并且数学思维贯穿问题解决的始终。关于问题解决，我们将在后面讨论。 2.数学思维的概括性 思维的概括性主要表现是通过思维而把抽象出的事物本质特性联合起来，或推广到同类事物中去。数学研究的对象不是客观事物，而是从客观事物中抽象出的事物的空间形式与数量关系。例如，数学思维中的平行四边形，就是从客观世界中形形色色的有关的四边形物体中进行抽象和概括出来的。没有抽象概括，就没有数学概念，也就不存在数学思维。

在数学思维中，思维的概括性可以使数学知识活化和推广。“概括就是迁移”。数学思维的概括性具有学习迁移的作用。例如，通过思维的概括，可以使分数的性质很容易地推广到分式上去。 3.数学思维的间接性 间接认识事物是思维的一大功能。对非欧几何的认识是思维间接性何在我们地球这个空间中是无法直观地认识的，只有通过数学思维才能接的思维途径而认识它。 数学思维的间接性在数学学习过程中经常地出现，并表现出它的威力与作用。当然，数学思维的间接性是要凭借已知的数学知识进行思维才能表现出来的。 思维与数学思维 思维是人的一种高级的心理活动形式。 数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。比如转化与划归，从一般到特殊、特殊到一般，函数/映射的思想，等等。一般来说数学能力强的人，基本体现在两种能力上，一是联想力，二是数字敏感度。前者能够把两个看似不相关的问题联系在一起，这其中又以构造能力最让人折服;后者便是大多数曝光的所谓geek，比如什么nash之类的。当然也有两种能力的结合体。 我国初、高中数学教学课程标准中都明确指出，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括;会用归纳、演绎和类比进行推理;会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点;能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

人教版八年级数学《变量与函数》武建伟

八年级下册课题：变量与函数(1)课时：1 知识链接学习目标：1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念; 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1如图是某地一天内的气温变化图. 2. 了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系 或者说 300000 学法指导 ⑵波长I越大，频率f就越小. 问题4圆的面积随着半径的增大而增大. 如果用r表示圆的半径, S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S= ________ . 利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、 半径r(c m) 1.52 2.6 3.2■1 V ■■■ 圆面积/曲)■1 fl ? 3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下 表： .解S= n r. 半径1 1.52 2.6 3.2■ ■ ■ 圆面积&(cm2) 3 147.06512.5621.226432.1536■ ■ ■ 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 (1) 这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一 时刻，说出这一时刻的气温. (2) 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3) 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐 降低？解⑴这天的6时、10时和14时的气温分别为—1C、2 C、5C; (2) 这一天中，最高气温是5C.最低气温是—4C; (3) 这一天中，3时?14时的气温在逐渐升高.0时?3时和14时?24 时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t (时)的变化，相应地气温T(C ) 也随 之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002 7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率： . 口 . 冋 圆的半径越大，它的面积就越大. 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某 些变化规律?这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一 些数值会发生变化的量?例如问题1中，刻画气温变化规 律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化，都会取不 同的数值?像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变 量. 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相 关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如y,对于x的 每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说 它们 自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.表示函数关系的方法通 常有三种： (1)解析法，如问题3中的f = 存期X三月;六月年二年三年五年 年利率尹旳 1.71001.89001 9S002.2500 2.52002.7900 观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的. 解 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长. 300000 ，问题 4 中的S=n 2r, l 这些表达式称为函数的关系式. ⑵列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表. (3) 图象法，如问题1中的气温曲线.问题的研究过程中，种量，它的取值 始终保持不变，我们称之为常量，如问题3中的 300 000，问题4中的n等. 三、实践应用 例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高 还有 波长?(m)30050060010001500 频率烬Hz)1000600500300200 问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为 单位标刻的.下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1)波长I和频率f数值之间有什么关系？ ⑵波长I越大，频率f就____________ . 解(1) I与f的乘积是一个定值，即 lf= 300 000, 解(1)平均身高是146.1cm ; (2) 约从14岁开始身高增加特别迅速； (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的 关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量. 例2写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： (1) 圆的周长C与半径r的关系式； (2) 火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s (千米)和 所用时间t (时)的关系式； (3) n边形的内角和S与边数n的关系式. 解(1) C = 2n , 2n是常量，r、C是变量； (2) s= 60t, 60是常量，t、s是变量； (3) S= (n —2) X 180, 2、180 是常量，n、S是变量. 四、交流反思 1. 函数概念包含： (1) 两个变量； (2) 两个变量之间的对应关系. 2. 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始 终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都 有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量. 函数关系三种表示方法： (1) 解析法； (2) 列表法； (3) 图象法. 3. 年龄姐(岁)7S g10111213141516n 男生平均身 髙 115.41183122.2126 51296135.514).414(5.1154B162.916$ (1) 从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗： (2) 该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加？ (3) 上表反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个 是因变量？ 五、检测反馈 1. 举3个日常生活中遇到的函数关系的例子. 2. 分别指出下列各关系式中的变量与常量： (1) 三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm) 5 的关系式是S=2h ； 2 (2) 若直角三角形中的一个锐角的度数为a则另一个锐角 H度)与a间的关系式是3= 90 —a ； (3) 若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买 报纸的总价y (元)与x间的关系是：y= ax. 写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量： (1) 每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y (元)与学生数n (个)的关系； (2) 计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n (个)与单 价a (元)的关系. 4. 填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若 用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y 关于x的函数关系式.

幼儿的思维特点和学习数学的心理特点汇总

幼儿的思维特点和学习数学的心理特点幼儿期思维发展和趋势是从直觉行动思维向具体形象思维发展，抽象逻辑思维尚处于萌芽状态。幼儿学习数学，主要通过四个阶段，即实物操作——语言表达——图像把握——符号把握，从而建立数学的知识结构。幼儿学习数学的心理特点，具体表现为以下几点： 1．幼儿学习数学开始于动作 自从皮亚杰提出“抽象的思维起源于动作”之后，这已经成为幼儿数学教育中广为接受的观点。我们也经常能观察到，幼儿在学习数学时，最初是通过动作进行的。特别是小班的幼儿，在完成某些任务时，经常伴随着外显的动作。比如在“对应排列相关联的物体”活动中，幼儿在放卡片时，总要先和上面一排相对应的卡片碰一下，然后才把它放在下面。这实际上就是一个对应的动作。随着幼儿动作的逐渐内化，他们才能够在头脑中进行这样的对应。幼儿在最初学习数数的时候，也要借助于手的点数动作才能正确地计数。直到他们的计数能力比较熟练，才改变为心中默数。 幼儿表现出的这些外部动作，实际上是其协调事物之间关系的过程。这对于他们理解数学关系是不可或缺的。在幼儿学习某一数学知识的初期阶段，特别需要这种外部的动作。而对于那些表现出抽象思维有困难的幼儿，也需要给予他们充分的动作摆弄的机会。例如，在学习加减运算时，最能帮助幼儿理解加减的数量关系的方法，就是让幼儿进行合并和拿取的操作，让幼儿在实际的动作中理解两个部分如何合为一个整体、整体中拿走一个部分还剩下另外一个部分。而那些不能摆脱实物进行抽象的数字运算的幼儿，正说明他们还需要动作水平上的操作。在这时给予他们摆弄实物的练习，既符合他们的心理需要，也有助于他们的学习。 2．幼儿数学知识的内化要借助于表象的作用() 尽管说表象对于幼儿学习数学不起决定性的作用，但并不是说毫无作用。幼儿对数学知识的理解开始于外部的动作，但是要把它们变成头脑中抽象的数学概念，还有赖于内化的过程，即在头脑中重建事物之间的逻辑关系。表象的作用即在于帮助幼儿完成这一内化的过程。 过去有些不适当的做法把表象的作用无限地夸大，甚至以为幼儿学习数学就是在头脑中形成数学表象的过程，于是通过让幼儿观看实物或图片、教师讲解数

人教版初中数学变量之间的关系(含答案)-

暑假专题——变量之间的关系 教学目标： 使学生能够从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，解决一些实际问题，从而培养分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点 从表格、关系式、图象中获取信息，解决一些实际问题是本节的重点与难点。 知识点归纳总结： 1. 因变量随自变量的变化而变化; . 【典型例题】 例1.小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图像。 （1）根据图像回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ （2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？ 解：（1）小明到达离家最远的地方需3小时，此时离家30千米

例2.某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时、100千米/小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。 （1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1与x的函数关系和y2与x的函数关系； （2）通过计算说明当待运的海产品有100吨时，选择哪种货运公司更省钱？ 解： （2）把x＝100分别代入y1与y2 ∴选择铁路货运公司更省钱。 例3. 某计算机商店销售计算机，经统计每台售价9000元，每天销售20台，而降价销售则销量增加，每台每降价300元，日销量增加一台，设日销量增加x台，日销售额为y元。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）计算日销量增加5台时，日销售额的值。 解： （2）把x＝5代入得 例4. 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时 间变化的图象，根据图象解答下列问题：

如何培养数学思维方式

如何培养数学思维方式 在学习中进行发散性思维的训练，不仅要尽可能多掌握解题方法，更重要的是要培养自己灵活多变的解题思维，思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性。 一、训练自己思维的积极性。 思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维极其重要的基础。例如：在一年级《乘法初步认识》一课中，可先出示几道连加算式改写为乘法算式。而后，出示3+3+3+3+2，思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢?如3+3+3+3+2=3×5-1=3×4+2=2×7……费时多，但这样的训练却有效地激发了寻求新方法的积极情绪。在学习中还可经常利用“障碍性引入”、“冲突性引入”、“问题性引入”、“趣味性引入”等教学方法，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这有利于激发自己的学习动机和求知欲。 二、转换角度思考，训练思维的求异性。 从认知心理学的角度来看，在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方向，也就是说个体(乃至于群体)的思维定势往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展自己的抽象思维能力，必须十分注意培养思维求异性。例如，四则运算之间是有其内在联系的：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。如189-7可以连续减多少个7?应变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作189里包含几个7，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止地看问题，使所学知识有所升华，又进行了求异性思维训练。我们习惯于顺向思维，而不习惯于逆向思维。在应用题教学中，分析题意时，一方面可以从问题入手，推导出解题的思路;另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。 三、一题多解、变式引伸，训练思维的广阔性。 思维的广阔性是发散思维的又一特征。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪思维，开拓解题思路，在此基础上通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。 四、转化思想，训练思维的联想性。 联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼，由表及里。通过广阔思维的训练，思维可达到一定广度，而通过联想思维的训练，思维可达到一定深度。例如有些题目，从叙述的事情上看，不是工程问题，但题目特点确与工程问题相同，因此可用工程问题的解题思路去分析、解答。在进行多种解题思路的讨论时，有的解法需要用数学转化思想，才能使解题思路简捷，既达到一题多解的效果，又训练了思路转化的思想。“转化思想”作为一种重要的数学思想，在应用题解题中，用转化方法，迁移

初二数学下19.1.1变量

第19章一次函数 19.1.1变量与函数(1) 教学目标 ①运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义 能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义. ②通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问 题和解决问题的能力. ③引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的 热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心. 教学重点与难点 重点：函数概念的形成过程. 难点：正确理解函数的概念. 教学准备 每个小组一副弹簧秤和挂件，一根绳子. 教学设计 提出问题： 1. 汽车以60千米/时的速度匀速行驶?行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.先填写下面的表，再试着用含t的式子表示s : 2. 已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310 张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收人为y元，怎样用含x的式子表示y? 3. 要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm f的圆呢？怎样用含圆面积S 的式子表示圆半径r? 注:(1)让学生充分发表意见，然后教师进行点评. (2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变 量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验. 动手实验 1. 如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)? 2. 用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长，观察矩形的面积怎样变化，记录不同的矩形的长的值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdnl怎样用含x的式子表示S? 注:分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报.

精品 八年级数学下册 一次函数 函数与变量题

变量与函数 一、变量与函数 预习 1．回答(1)----(5)题 （1）理解匀速运动中的行程S 与行驶时间t 的关系：S=________. （2）P94(2)中怎样用x 表示y ，y=_______________. （3）如何探索弹簧的变化规律，l =______________. （4）圆的面积r=_____________________. （5）长方形的面积S=_______________________. （6）理解上述变化过程中，哪些是常量，那些是变量？ 2．通过预习，在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为_________，而始终不变的量称为 ____________。 3．你能具体指出课本P94(1)--(5)中，那些是变量，哪些是常量？ (1)变量是______________，常量是_________________； (2)变量是______________，常量是_________________； (3)变量是______________，常量是_________________； (4)变量是______________，常量是_________________； (5)变量是______________，常量是_________________。 巩固训练 1．关于l =2πr ，下列说法正确的是 （ ） A ．2为常量，π，l ，r 为变量 B ．2π为常量，l ，r 为变量 C ．2，l 为常量，π，r 为变量 D ．2，r 为常量，π，l 为变量 2．摄氏温度C 与华氏温度F 之间的对应关系为5(F-32)9 C =℃，则其中的变量是 ，常量是 。 3．在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形的面积 ah S 2 1=，当底边a 的长一定时，在关系式中的常量是 ，变量是 。 4．齿轮每分钟120转，如果n 表示转数，t 表示转动时间，那么用n 表示t 的关系是： ，其中 为变量， 为常量． 能力提升 1、写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量。 （1）甲乙两地相距1000千米，一人骑自行车以15千米/小时的速度从甲地前往乙地，用行驶时间t(小时) 表示自行车离乙地的距离S(千米) （2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．

北师大版七年级数学下册变量之间的关系

变量之间的关系 一、基础知识回顾： 1、在某一变化过程中，把数值始终不变的量称为（ ），把数值发生变化的量称为（ ）。 2、表示两个变量之间关系的方法有（ ）、（ ）、（ ）． 3、图象法表示两个变量之间关系的特点是直观的反应了两个变量之间的变化情况。 4、用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（ ），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（ ）． 一、用表格表示变量间的关系 某商场出售某种商品，其销售件数与守家的关系如下表： 销售件数/件 1 2 3 4 5 …… 售价/元 8.4 16.8 25.2 33.6 42 …… （1） 上述表格中那些量在变化？自变量和因变量各是什么？ （2）某顾客欲购买这种商品10件，但是只带了80元。他所带的钱是否够用？如果不够用，则最多可购买该商品多少件？ 二、用关系式表示的变量间的关系： 例2：一本书，每20页厚1mm ，设从第一页到x 页的厚度是y mm ，则y 和x 之间的关系式是（ ） A ．120y x = B.20y x = C.120y x =+ D. 20y x = 2.一长方形的周长为12cm ，面积y 随长方形的长x 的变化而变化。Y 和x 的关系式是（ ） A ．26y x x =+ B.26y x x =- C.26y x x =- 3.在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表： M 1 2 3 4 V 0.01 2.9 8.03 15.1 则m 与v 之间的关系接近下列关系式中的（ ） A ．22v m =- B.21v m =- C.32v m =- D. 1v m =+ 4.小明想把一长为60cm ，宽为40cm 的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体小盒子。于是在长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形。用s 表示图中阴影部分的面积。

小学生思维力的发展与特点

小学生思维力的发展与特点 他们需要具体形象的帮助来理解抽象的字、词。 在数学的计算中，小学生往往需要实物或手指的帮助才能运算。 他们的思维活动在很大程度上，还是和面前的具体事物及生动的记忆表象联系着。 小学生的思维逐渐由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维为主要形式。 他们思维发展“过渡的实现是思维发展过程中的质变，是通过新质要素的逐渐积累和旧质要素的不断“消亡及改造而实现的。 实现显著质变的决定因素是小学生的生理成熟、集体生活环境和教育作用的综合效应，而不是简单地由哪一个方面所决定的。 小学生思维发展过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，并不是说，他们的思维就不存在具体形象性了。 相反，小学生的思维必须借助事物的具体形象来实现抽象逻辑思维，小学生低年级学生思维中的具体形象性成分占优势，而抽象逻辑思维居次要地位。 随着年级的增高，他们的抽象逻辑思维才逐渐占主导地位。 2 .抽象逻辑思维的自觉性较差小学生不能自觉意识到自己的思维过程，低年级小学生尤其明显。 例如，语文阅读中，默读比朗读困难大，这是因为儿童的内部言语的发育尚未成熟，而内部语言是对思维本身进行分析综合的基本条

件，因此，有经验的教师会有计划地指导学生默读课文和阅读一些课外读物。 对数学应用题的解答，小学生不会说出自己的思考过程，也就是常说的“知其然而不知其所以然，也不习惯于自我检查。 教师在教学过程中，若注意引导学生在解应用题时，说出思考过程，检查一下自己在解题时的思维障碍在哪里，并注意及时准确地检查作业，将有助于学生抽象逻辑思维自觉性的发展。 例如，在数学课学习中，尤其是经过系统的小学奥林匹克数学训练的学生，可以离开具体事物进行抽象思考。 但在自然课上仍停留在较具体的形象水平上。 4 .思维缺乏批判性小学生的思维缺乏批判性，年龄越小的儿童越明显。 他们常常不根据客观情况的变化，盲目按照教师所说的每一句话去做，以教师的言语作为衡量事物对错的唯一标准。 这一方面要求教师的言行要慎重，时刻考虑到如何做有利于小学生身心健康发展;另一方面，也向教师提出了新的课题，如何使学生逐步克服这种盲目性，而多一些批判性和理性思考。 5. 思维还缺乏灵活性小学生的思维还缺乏灵活性，他们不善于考虑条件的变化，而以旧经验解答新问题。 在数学学习中，这种特点表现最明显。 一般说来儿童对熟悉的或学过的题目类型，在内容不变时能顺利

八年级数学变量与函数教学反思

八年级数学变量与函数教学反思 函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是：1有两个变量，2一个变量的值随另一个变量 的值的变化而变化，3一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定 的值与其对应;函数的实质是：两个变量之间的对应关系;学习函数 的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究， 有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函 数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函 数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学 认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义 的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。 在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种 关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变 化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概 念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生 反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化 关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、 代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这 些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现 为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引 例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不 同的提问方式：1.教师问，学生答;2.学生自主回答;3.学生合作交 流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中， 让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，

北师大版七年级数学下册变量之间的关系-专题复习

变量之间的关系 一、 基础知识回顾： 1、表示两个变量之间关系的方法有（ ）、（ ）、（ ）． ２．图象法表示两个变量之间关系的特点是（ ） ３．用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（ ），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（ ）． 专题一、速度随时间的变化 1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用 一句话来描述： （1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。 （ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。 （ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。 （ ） ￥ （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。 （ ） 2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系的图象大致是（ ） \ 3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图6—41中，符合上述情况的是 ( ) 时间 速度 A o 速度 D 速度 时间 ; 速度 时间 B o o o O ！ O V ｔ O V O V ｔV ｔ

4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况() ( 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（） 6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用# 的时间t（分）之间的关系，依据图象下面描述符合小红散步情景的是（） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了. B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了. C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回. 7、A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地.汽车距B地的距离y(千米)与行驶时间t(之间)的关系式为.在这个变化过程中，自变量是，因变量是. 8、下表是春汛期间某条河流在一天中涨水情况记录表格： s t S1 S2 A s ， t B S1 S2 s t S1 S2 C s t S2 S1 D

数学思维形成

讲座（1）考好数学的基点 ―木桶原理‖已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。 在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―与大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。 你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画―联络图‖。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。 先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明——关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。 有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，……。 这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。 当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用―猎奇‖的眼光去挑选典型题目的能力 数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个―材料库‖。尽可能熟悉课程讨论的