高三解析几何双曲线教师版

圆锥曲线（2）教师版

双曲线

一、双曲线的定义

㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知

F

F 2

1

,为平面上两个定点

若(

)F F F F

a a P P

2

1

21

202||<

<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线

注；单支双曲线的定义 已知

F

F 2

1

,为x 轴上的两个定点且

F

F 2

1在左侧

①若()F F F F a a P P 2

1

21

202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若(

)F F F F

a a P P

2

1

12

202<

<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支

双曲线位置的判定 方程()()(

)

N m y

m x m m m m *

∈=--+--2

2

2

2

2

935220113

表示双曲线

⑴求m

⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例

求双曲线标准方程??

?

??轨迹方程法待定系数法几何法

㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b

注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行

例已知双曲线()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程

A 、1422

2

2

=-

a y a x B 、1522

2

2

=-a

y a x

C 、142

2

2

2

=-b y b x D 、152

2

2

2

=-b

y b x

答案：C

练习：1、已知圆C ：

08462

2

=+--+

y x y

x ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，

则适合该条件的双曲线的标准方程为

答案：

112

4

2

2

=-

y

x

2、已知双曲线中心在原点，焦点F

F 2

1

,，离心率为2，且过点()

10,4-

⑴求双曲线的方程

⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=?→

→F M F M

⑶求F

F M 21?

的面积

答案；⑴

62

2

=-y

x ,⑶6

3、过双曲线

()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直

径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2

㈡待定系数法:

①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()012

2

y x

②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为

()02

2

2

2

≠=-λλy

B x A

例1求经过点P （

3,4

15），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：

116

9

2

2

=-

y

x

例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c

答案：

19

27

19

32

2

2

2

=-

=-x

y y x 或

㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:2

2

1=+-y

C x 外切，与圆()24:2

2

2=+

-y

C x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程

圆

C

1

的圆心

C

1

（-4,0）半径

21

=r

,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r

设动圆的半径为r,r r C

C 212

1

8+>=故圆C 1与圆C 2外离

如图所示

圆M 与圆

C 1

外切故r C

r M 11

+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=

a M M C C 22221==-

∴M 点轨迹为以

C C 2

1,为左右焦点的双曲线的右支∴()

2114

22

2

≥=-x y

x

注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆

C

2

哪个是大圆哪个是小圆

练习1：设椭圆

C

1

的离心率是13

5

，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线

C

2

的标准方程为,答案：19

16

2

2

=-

y

x

2、双曲线

116

9

2

2

=+

y

x

的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是

提示：双曲线定义+等积法,答案：

5

16

3、F F 21,是双曲线()0,012

2

22

>>=-b a b

y a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若

ac F P F P F P F P 221,021==?→

→

→→（c 为半焦距）

，则双曲线的离心率为 答案；

2

5

1+ 三、双曲线的几何性质 例

F F 21,是双曲线

()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使

022=????

?

??+→

→→P F F O OP ，且F P F P 231→

→

=

，则双曲线的离心率是

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

专题九 解析几何第二十六讲 双曲线

专题九 解析几何 第二十六讲 双曲线 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．=y x D ．=y x 3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ．2 D ． 4．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．22 1124 x y -= 5．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2 2 13y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ?的面积为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 6．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是

A ．)+∞ B ．2) C ． D ．(1,2) 7．（2017天津）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2 213 y x -= 8．（2016天津）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为 A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15 320322=-y x D ．1203532 2=-y x 9．（2015湖南）若双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为 A B ．54 C ．43 D ．53 10．（2015四川）过双曲线2 213 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝ A ．3 B ． C ．6 D ． 11．（2015重庆）设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为 A ．12 B ．22 C ．1 D ．2

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章(同名3095)

第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?

初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值） （1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。 （1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形； （2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线 上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对 称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。

高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线 双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义 一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。 取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。 将这个方程移项，两边平方得： 两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得： 双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上 的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，

②双曲线的第二定义 与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入， 可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为： 平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为 常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双 曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线 a y l 2 2:=。

高二数学教案：抛物线教案人教版

人教版抛物线教案 一．教学目的： １．掌握抛物线的概念． ２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点： １．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程： 引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。） 如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线． 结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2 p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－ 2 p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝． ∵MF ＝2 2y p x +??? ?? - ， ｄ＝2 p x +， ∴2 2y p x +??? ?? - ＝2 p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2 =2px(ｐ＞０) 让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：

最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象. 接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础. 例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ⑴ｘ２＝２ｙ： ⑵ｙ２－６ｘ＝０： 例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．

解析几何第二十七讲 双曲线

专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.（2019 全国III 理10）双曲线C： x y =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上，O 为坐标原点，若PO = PF ，则△PFO 的面积为A． 3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 2.（2019 江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点（3，4)， b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.（2019 全国I 理16）已知双曲线C： 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1，F2，

过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 F A AB ， F B F B ，则C 的 1 1 2 0 离心率为____________． 4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C： x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点，O 为坐标 b 原点，以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P，Q 两点.若PQ OF ，则C 的离心率为A．2 B．3 C．2 D．5 5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A． 22 B．1 C．2 D．2 2 6. （2019 天津理5 ）已知抛物线y 4x 的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且| AB | 4 | OF |（O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点），则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年

中考压轴大题--抛物线+三角形 教师版

001如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式； （2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； 解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴BC=3 ， 点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC ﹣ OC=3 ﹣3 ∴P 1（0，3+3 ），P 2（0，3﹣3 ）； ②当BP=BC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，﹣3）； ③当PB=PC 时， ∵OC=OB=3 ∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； 002如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为 （6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； （2）①∵OA=8，OC=6， ∴AC==10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0

⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右

高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则 2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】

（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''， 因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率为 2 ，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2 214 x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014 x y +=，故22 0014x y =-. 所以22 2000222 314TP OP OT x y x =+-= =-，所以0TP x =， 所以0124 OTP S OT TP x = ?=V . 又()0,0O ，) F ，所以0012OFP S OF y y =?=V . 故0022OFP OTP OFPT x y S S S ??==++ ???四边形V V ==. 由220014x y +=，得1≤，即001x y ?≤， 所以22 OFPT S = ≤ 四边形， 当且仅当2 2 00142x y ==，即0x =02 y = 时等号成立. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

考点52 抛物线(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集

考点52 抛物线 1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2 :4C y x =焦点的直线交抛物线C 于P ,Q 两点,交圆2 2 20x y x +-=于M ,N 两点,其中P , M 位于第一象限,则14 |||| PM QN +的值不可能为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A 【解析】 作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-， 24y x =，2p ∴=，根据抛物线的常用结论，有 112 1m n p +==， 1m n mn +∴ =，则m n mn +=， 14||||PM QN ∴ +14 11m n =+ --4545()1m n m n mn m n +-==+--++ 又 11(4)1(4)( )m n m n m n +?=+?+441m n n m =+++452m n n m ≥+? 得49m n +≥，454m n ∴+-≥ 则 14 |||| PM QN +的值不可能为3，

答案选A 2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为（ ） A ． 9 4 B ． 92 C ．9 D ．18 【答案】B 【解析】 设准线与x 轴交于点P ，作BH 垂直于准线，垂足为H 由4BC BF =，得： 4 5 BH BC PF CF == 由抛物线定义可知：BF BH =，设直线l 倾斜角为θ 由抛物线焦半径公式可得：41cos 5 p BF BF PF p p θ+===，解得：1cos 4 θ= 4 6131cos 3 144 p p p AF p θ∴= ====--，解得：9 2 p = 本题正确选项：B 3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为 双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ．

双曲线及抛物线(作业及答案)

5 5 13 双曲线及抛物线（作业） 例 1： 已知双曲线 x 4 y 2 - = 1 的右焦点与抛物线 y 2 b 2 = 12x 的焦点 重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 【思路分析】 B ． 4 C.3 D ．5 先求出抛物线的焦点坐标，代入求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【过程示范】 ∵抛物线 y 2 = 12x 的焦点坐标为(3，0) ， ∴双曲线 x 4 y 2 - = 1的右焦点坐标为(3，0) ，即 c =3， b 2 ∴ 4 + b 2 = 9 ，即b = ， ∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 5 x ，即 5x ± 2 y = 0 ， 2 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离d = | 3? 3 5 | = ．故选 A ． x 2 y 2 例 2： 如图， F 1 ， F 2 是双曲线 C ： a 2 - b 2 = 1(a > 0，b > 0) 的左、 右焦点，过点 F 1 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB |:| BF 2 |:| AF 2 |= 3 : 4 : 5 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B ． 【思路分析】 C ．2 D ． 利用三角形的边长比例关系，研究三角形的性质，再结合双曲线的定义，求出实轴长与焦距的比例关系． 设| AB |= 3t ，则| BF 2 |= 4t ，| AF 2 |= 5t ，可得△ ABF 2 是以 B 为直角顶点的直角三角形； 5 2 15 3 2 2

13 根据双曲线的定义，得| AF 2 | - | AF 1 |=| BF 1 | - | BF 2 | ， 根据| BF 1 |=| AB | + | AF 1 | ，得 5t - | AF 1 |=| AF 1 | +3t - 4t ，解得| AF 1 |= 3t ， ∴| AF 2 | - | AF 1 |= 2t = 2a ，即a = t ， ∵∠ F 1BF 2 = 90? ， ∴| F 1F 2 | = = 2 13t ，即c = 13t ， ∴离心率e = c = ．故选 A ． a 例 3： 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且垂直于对称轴的直线 交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p 的值为 ． 【思路分析】 利用抛物线的几何定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离． 【过程示范】如图所示： ∵AB ⊥OF ，| AB |= 8 ， ∴| AF |= 4 ， ∴点 A 到准线 x = - p 的距离d = 4 ， 2 ∵点 A 到准线 x = - p 的距离为 p ， 2 ∴ p = 4 ． | BF |2 + | BF |2 1 2

高中数学双曲线及抛物线

双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>．

2.双曲线的几何性质 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的

轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质

解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．

人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】

抛物线 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ?? ??0，p 2 F ? ?? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2 ＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( ) A ．217 B .17 C ．215 D .15 【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 由????? y ＝kx －2，y 2 ＝8x ， 得k 2x 2 －4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点，

解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx

第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3

§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：

抛物线的参数方程(教师版)

14?抛物线的参数方程 主备5 审核J 学习目标:L r 解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义： 2.掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习臺点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材P33-P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，井复习以下问题: 1?将下列参数方程化为普通方程： X = 2-1 x = f-- (1) y = 2x-，其中A = f-y (f 为参数人答「 (2) 3y-=4x ，其中x = t (f>0为参数人 答：? 二. 新课导学, (-)新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设M (儿刃为抛物线上除顶点外的任意一点，以 射线OM 为终边的角记为a ,当住在内变化时, 2 2 点M 在抛物线上运动，并且对于住的毎一个值，在抛物 线上都 有唯一的M 点与对应?因此，可以取为参数探求 抛物线的参数 方程. 根据三角函数的定义得，tana =上，KP y = xtan