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概率论第一章习题解答(胡庆军)[1]

习题1 参考解答 ( P 25 )

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件

=A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}.

3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}.

4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件

=A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}.

答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现.

}),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =;

}),(),,(),,({H T T H H H C =.

2) 由题意,可只考虑组合,则

?

?????=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω;

{})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A .

3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则

????

??????????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω;

{})10,9(,),10,2(),10,1( =A .

4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则

{}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.

5) ???

?

??????????=)6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;

{})1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(=A ;

?

?????=)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B .

注: 也可如下表示:

??

?

???????????=)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;

{})6,1(),4,1(),2,1(=A ;

{})6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(=B .

2. 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示“他生产的第i 个零件是正品”)1(n i ≤≤.试用

n A A A ,,,21 表示下列事件:

1) 没有一个零件是次品; 2) 至少有一个零件是次品; 3) 只有一个零件是次品; 4) 至少有两个零件不是次品.

答案: 1) n

i i A 1=; 2) n

i i A 1

=; (亦即:全部为正品的对立事件)

3))]([1

1 n i n i

j j j i A A =≠=?; 4) )])(([)(1

11 n i n

i

j j j i n i i A A A =≠==??.

3.设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: 1)A 发生;

2)只有A 发生;

3)A 与B 发生而C 不发生; 4)三个事件都发生;

5) 三个事件中至少有一个发生; 6) 三个事件中至少有两个发生; 7) 三个事件中恰好发生一个; 8) 三个事件中恰好发生两个; 9) 三个事件都不发生;

10) 三个事件中不多于两个发生; 11) 三个事件中不多于一个发生.

解:1) A ; 2) C B A ; 3) C AB ; 4) ABC ; 5) C B A ??; 6) BC A C B A C AB ABC ???

(AC BC AB ??= B A C A C B ??=) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件); 7) C B A C B A C B A ??; 8) BC A C B A C AB ??; 9) C B A (=C B A ??);

10)ABC (=C B A ??)(等价说法:至少有一个不发生.);

11) C B A C B A C B A C B A ??? (=B A C A C B ??)(即:至少有两个不发生).

4. 试把事件n A A A ??? 21表示成n 个两两互不相容事件之并. 答案: n n A A A A A A A A A 11321211-???? .

5. 甲从2,4,6,8,10中,乙从1,3,5,7,9中各任取一数,求甲的数大于乙的数的概率. 解: 所有可能情况有2555=?种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为 5

32515==

p .

6. 一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.试求: 1) 5只都是好的概率为多少? 2) 有2只坏的概率为多少? 解: 所有可能情况有???

??540种 (注:组合数 5

40540C =??

? ??)!540(!5!40-?=,下同.),则所求概率为

1) ??? ????? ??=5405371p ; 2) ??

? ????? ?????? ??=540233372

p .

7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.

解: 所有可能情况为7

9种,则所求概率为 77

99

A p =.

8.某城市的自行车都有牌照,其编号从00001到10000.偶然遇到一辆自行车,求其牌照中含有数字 8的概率.

解: 利用对立事件求概率的公式,所求概率为 44

10

91-=p .

9. 设甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中有c 只白球d 只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.

解: 所有可能情况有))((d c b a ++种,则所求概率为 )

)((d c b a bc

ad p +++=

.

10. 设一个人的生日在星期几是等可能的.求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一天的概率.

解: 所有可能情况为67种,则所求概率为 6

67)22(27-????

??=p .

11. 从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2(n r <2)只,求下列事件的概率: 1) 所取r 2只鞋子中没有两只成对; 2) 所取r 2只鞋子中只有两只成对; 3) 所取r 2只鞋子恰好配成r 对.

解: 样本空间可考虑有??

?

??r n 22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 1) ?

?

?

????? ?????? ??=r n r n p r 22]12[221??? ?????? ??=r n r n r 22222;

2) ?

?

?

????? ?????? ??--???? ?????? ??=-r n r n n p r 22]12[221221222??? ??????? ??--=-r n n r n r 222

2212

2;

3) ??? ????? ?????? ??=

r n r n p r 22]22[3??

? ????? ??=r n r n 22.

12. 设有n 个人,每人都被等可能地分配到)(n N N ≥个房间中的任一间.求下列事件的概率:

1) 指定的n 间房里各住一人; 2) 恰有n 间房,其中各住一人.

解: 所有可能情况为n N 种,则所求概率分别为

1) n N

n p !1=; 2) n N n n N p !

2???? ??=.

13. 甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.

解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球): W 甲,

W B B 甲乙甲,

W B B B B 甲乙甲乙甲,

W B B B B B B 甲乙甲乙甲乙甲,

① 当b 为偶数时,则所求概率为

211-+?-+-?+++=b a a b a b b a b b a a p 甲

4

332211-+?-+-?-+-?-+-?++b a a b a b b a b b a b b a b a a

a a

b a b b a b ?+?+-+-?+++112211

)2()1()1(1[-+?-+-++=b a b a b b b a a ])1()2()1(!a

a b a b a b ?+-+?-+++ . ② 当b 为奇数时,则所求概率为

甲p )2()1()1(1[-+?-+-++=

b a b a b b b a a ])

1()2()1(!+-+?-+++a b a b a b .

14.从装有a 个白球,b 个黑球的袋中一次次地有放回摸球,直至摸到白球为止.求在偶数次摸到白

球的概率.

解: 记事件i B :表示第i 次摸到黑球; i W :表示第i 次摸到白球.则

事件{偶数次摸到白球}?=21W B ?4321W B B B ?654321W B B B B B . 故所求概率为

P {偶数次摸到白球}?=21(W B P ?4321W B B B )654321 ?W B B B B B

+=)(21W B P +)(4321W B B B P +)(654321W B B B B B P

b a a b a b +?+=b a a b a b +?++3)( ++?++b

a a

b a b 5)( +?+?=1[)

(2

b a b

a ])()(42 ++++

b a b b a b b

a b 2+=.

15. 已知一个家庭有三个孩子,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.(假设生男生女是等可能的.)

解: 在三个孩子的家庭中,样本点总数为823=种,记事件

=A {三个孩子的家庭中有女孩}, =B {三个孩子的家庭中至少有一个男孩}.

要求 =)|(A B P ? 由 )

()

()|(A P AB P A B P =

, 又 87)(=A P , 86)(=AB P ,

则 7

6

)|(=A B P .

16. 掷三颗骰子,已知所得的点数都不一样,求含有1点的概率.

解: A ?{掷三颗骰子,点数都不一样}, ?B {掷三颗骰子,有1点}. 要求 =)|(A B P ?

由 )()

()|(A P AB P A B P =, 且

36456)(??=A P , 364

53)(??=AB P .

则 2

1

6/4566/453)|(3

3=????=A B P .

17.口袋中有12-n 只白球,n 2只黑球,一次取出n 只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概

率为多少?

解: 记事件}{个球为同一种颜色所取n A =, }{个球全为黑球所取n B =,

要求 =)|(A B P ?

则 )()()|(A P AB P A B P =??? ??-??? ??+??? ??-?

??

??-??? ??=n n n n n n n n n n 14]212[142

?

??

??+??? ??-?

?? ??=n n n n n n 2122!

!)!2()!1(!)!12(!!)!2(n n n n n n n n n ?+-?-?=

32=.

18. 设M 件产品中有m 件废品,从中任取两件.

1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率. 解: 1) 记事件},{有废品任取两件=A , },{均为废品任取两件=B ,则所求概率为

)

()()|(1A P AB P A B P p =

=)()

(A P B P = ??? ????? ??--??? ????? ??=22122M m M M m ??

? ??--??? ???

?? ??=222m M M m 121---=m M m .

2) 记事件},{有正品

任取两件=C ,},{有一正品一件废品任取两件=D ,则所求概率为 )()()|(2C P CD P C D P p ==)()(C P D P =??

? ????? ??-?

?

? ????? ?????? ??-=221211M m M m m M

??

? ??-??? ??-?=

22)(m M m M m 12-+=m M m .

19. 袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n 次都没有摸到黑球的概率.

解: 记事件i A :第i 次摸到白球, n i ,,2,1 =, 要求: =)(21n A A A P ? 由计算概率的乘法定理,则所求概率为

=)(21n A A A P )(1A P )|(12A A P ?)|(213A A A P ?)|(11-n n A A A P

1433221+????=

n n 1

1+=n .

20.n 个人依次摸彩(n 张票中有一张彩票),

1) 已知前1-k 个人)(n k ≤都没摸到,求第k 个人摸到彩票的概率; 2) 求第k 个人摸到彩票的概率.

解: 记事件=k A {第k 个人摸到彩票}, n k ,,2,1 =, 1) 所求概率为 =-)|(11k k A A A P 1

1

+-k n .

2) 由k k k A A A A A 121-= ,则

)()(121k k k A A A A P A P -=

)(1A P =)|(12A A P ?)|(211--k k A A A P )|(121-?k k A A A A P 1121121+-?+-+-??--?-=k n k n k n n n n n n

1=.

21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解: 记事件=B {所选射手能进入比赛}, =i A {所选射手为第i 级}, 4,3,2,1=i . 已知 20

4

)(1=

A P , 208)(2=A P , 207)(3=A P , 201)(4=A P ,

9.0)|(1=A B P , 7.0)|(2=A B P , 5.0)|(3=A B P , 2.0)|(4=A B P .

用全概率公式,则所求概率为 ∑=?=4

1

)|()()(i i i A B P A P B P

2.020

15.02077.02089.0204?+?+?+?=

645.0=.

22. 有N 个口袋,每袋中有m 个黑球n 个白球,从第一袋中任取一球放入第二袋, 再从第二袋中任取一球放入第三袋,这样一直做下去,直至从第N 袋中取出一球.求: 1) 最后取出白球的概率;

2) 从第一袋中取出是白球的条件下,求最后取出白球的概率. 解: 记事件=i A {从第i 袋中取出白球}, N i ,,2,1 =. 1) n

m n

A P +=

)(1, )|()()(1212A A P A P A P ?=)|()(121A A P A P ?+

111++?+++++?+=

n m n

n m m n m n n m n n

m n +=,

归纳假设: n

m n

A P k +=)(, 则

)|()()(11k k k k A A P A P A P ++?=)|()(1k k k A A P A P +?+

111++?+++++?+=n m n

n m m n m n n m n n m n +=.

所以 n

m n

A P N +=)(.

2) 要求:=)|(1A A P N ?

=)|(1A A P N )()(11A P A A P N )

()

()(11111A P A A A P A A A P N N N N --+=

)|()|()|()|(11111111A A P A A A P A A P A A A P N N N N N N ----?+?= )|()|()|()|(111111A A P A A P A A P A A P N N N N N N ----?+?=

)]|(1[1)|(111111A A P n m n A A P n m n N N ---?+++?+++= )|(1

1111A A P n m n m n N -?+++++=, ,3,2=N 记1

1

++=

n m t ,则

)|(1A A P N )]|([11A A P n t N -+?=)]]|([[12A A P n t n t N -+?+?=

)|(1222A A P t t n t n N -?+?+?=

)|(11112A A P t t n t n t n N N ?+?++?+?=-- 112--+?++?+?=N N t t n t n t n ]1[21--+++?+=N N t t t n t

t

t nt t N N --+=--1)1(11

.

23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少? 解: 记事件321,,A A A 表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产;

事件=B {所取产品是废品}. 要求:=)|(B A P i ? (3,2,1=i ) 已知 25.0)(1=A P , 35.0)(2=A P , 40.0)(3=A P ,

05.0)|(1=A B P , 04.0)|(2=A B P , 02.0)|(3=A B P .

则 ∑=?=3

1)|()()(i i i A B P A P B P

02.04.004.035.005.025.0?+?+?=0345.0=.

由贝叶斯公式,则所求概率分别为

)|(1B A P )()(1B P B A P =

)

()|()(11B P A B P A P ?=

0345.005.025.0?=3623.06925

≈=, )|(2B A P )

()|()(22B P A B P A P ?=

4058.06928

≈=,

)|(3B A P )

()|()(33B P A B P A P ?=

2319.06916

≈=.

24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?

解: 记事件4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.

事件=B {朋友迟到}. 要求:=)|(1B A P ?

已知 3.0)(1=A P , 2.0)(2=A P , 1.0)(3=A P , 4.0)(4=A P ,

41)|(1=

A B P , 31)|(2=A B P , 12

1

)|(3=A B P , 0)|(4=A B P . 则 ∑=?=4

1

)|()()(i i i A B P A P B P

04.012

1

1.031

2.041

3.0?+?+?+?

=15.0=. 由贝叶斯公式,则所求概率为

)|(1B A P )()|()(11B P A B P A P ?=5.015

.0413.0=?

=

.

25. 装有)3(≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两

个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.

解: 记事件=A {丢失白球},=B {任取两个球都是白球}.要求:=)|(B A P ?

由 )|()()|()()

|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ?+??==,

已知n m m A P +=)(, n

m n

A P +=)(,

)|(A B P ??? ??-+?

?? ??-=2121n m m )2)(1()2)(1(-+-+--=n m n m m m ,

)|(A B P ??

? ??-+?

?? ??=212n m m )2)(1()1(-+-+-=n m n m m m .

则所求概率为

=)|(B A P )2)(1()

1()2)(1()2)(1()

2)(1()

2)(1(-+-+-?

++-+-+--?+-+-+--?

+n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m

2

2-+-=n m m .

26.设n 个事件n A A A ,,,21 相互独立,且k k p A P =)(,n k ,,2,1 =,求下列事件的概率: 1) n 个事件全不发生;

2) n 个事件至少发生一个; 3) n 个事件恰好有一个发生.

解:1) )(21n A A A P ∏==n

i i A P 1

)(])(1[1

∏=-=n

i i A P ∏=-=n

i i p 1

)1(;

2) )(1 n i i A P =)(11 n i i A P =-=)(121n A A A P -=∏=--=n

i i p 1

)1(1; 3) )}({1

1

n k

j j j n

k k A A P ≠==∑=≠==n k n

k

j j j k A A P 11)(

])(1()([1

1∑∏=≠=-?=n

k n k

j j j k A P A P ])1([1

1∑∏=≠=-?=n k n

k

j j j k p p .

27. 一架轰炸机袭击1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.

解: 记事件=i A {击中i 号目标}, 2,1=i .要求:=?)(21A A P ?

方法一: =?)(21A A P )()()(2121A A P A P A P -+

)()()()(2121A P A P A P A P ?-+= 90.05.08.05.08.0=?-+=.

方法二: =?)(21A A P )(121A A P ?-)(121A A

P -= )()(121A P A P ?-=

90.0)5.01()8.01(1=-?--=.

28. 如下列图,分别求所示系统能正常工作的概率,其中框图中的字母代表元件,各元件能否正常工作是相互独立的.字母相同而下标不同的都是同类元件,D C B A ,,,类元件的可靠性分别为

D C B A p p p p ,,,.

A 1 A 2 A 3

B 3

B 2 B 1 B C

A

D 2

D 1

A 1

C

B 2

B 1

A 2

解: 分别以i i i D C B A ,,,表示对应元件能正常工作.则所求概率分别为 1) )(332211B A B A B A P ??)(1332211B A B A B A P ??-=

)(13

1

=-=i i i B A P )(13

1

∏=-=i i i B A P

)](1[131

∏=--=i i i B A P )]()(1[13

1

∏=?--=i i i B P A P

311)]()(1[1B P A P ?--=3)1(1B A p p ?--=. 2) ))((21D C B A D P ??)()()(21C B A P D P D P ????=

)](1[2

C B A P p

D ??-?=)](1[2C B A P p D -?= )]()()(1[2

C P B P A P p

D ??-?= )]1()1()1(1[2C B A D p p p p -?-?--?=.

3) 方法一: )})(()({21212211B B A A C B A B A C P ????

)})(({)}({21212211B B A A C P B A B A C P ??+?=

)()()()()(21212211B B P A A P C P B A B A P C P ????+??=

)2()2()2()1(2

222B B A A C B A B A C p p p p p p p p p p -?-?+?-??-=.

方法二: )(12212211CB A CB A B A B A P ???

))((12212211B A B A C B A B A P ???=

))(()()(12212211B A B A C P B A P B A P ?++=

))(())(()(1221221221112211B A B A C B A P B A B A C B A P B A B A P ?-?-- ))((12212211B A B A C B A B A P ?+

)()()()()()(12212211B A B A P C P B P A P B P A P ??+?+?=

)()()()()()(1212112211B A A B B A P C P B P A P B P A P ??-???- )()(212221B B A B A A P C P ??-)()(2121B B A A P C P ?+

]2[222B A B A C B A p p p p p p p -+=22B A p p -][22222B A B A B A C p p p p p p p -+-2

2B A C p p p +

)22222(C B A C B C A B A C B A p p p p p p p p p p p p +---+=.

29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为21,p p ,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

解: 记事件=i A {第i 轮甲命中目标}, =i B {第i 轮乙命中目标}, ,2,1=i . 则 {甲获胜} ???=322112111A B A B A A B A A , 所以 =}{甲获胜P )(322112111 ???A B A B A A B A A P

+++=)()()(322112111A B A B A P A B A P A P

+????+??+=)()()()()()()()()(322112111A P B P A P B P A P A P B P A P A P +?-?-+?-?-+=12211211)]1()1[()1()1(p p p p p p p

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由于 {乙获胜} ???=332211221111B A B A B A B A B A B A , 所以 =}{乙获胜P )(332211221111 ???B A B A B A B A B A B A P

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. 或: =}{乙获胜P }{1甲获胜P -212111p p p p p ?-+-

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1212

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30.一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%.为试验某种新药是否有效,把它给10名患者服用,并规定至少有4名患者痊愈则认为新药有效,否则,认定新药无效.试求: 1) 虽然新药有效,且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率; 2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.

解: 一名患者痊愈的概率记为p , 10名患者痊愈的个数记为X ,则),10(~p b X . 1) 由题意知,35.0=p ,所求概率为 =}{通过试验被否定P }3{≤X P i i i i -=????

?

??=∑103

065.035.0105138.0≈. 2) 由题意知,25.0=p ,所求概率为

=}{通过试验被认定有效P }4{≥X P }3{1≤-=X P

i i i i -=????

?

??-=∑103

075.025.01012241.0≈.