七年级数学竞赛讲座11 应用题3
七年级数学竞赛系列讲座(11)
应用题（三）
一、一、知识要点
数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。
二、二、例题精讲
例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元， C 水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为 元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)
解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x 、y 、z 套，依题意有
()???=++=++2.4412.216.258.81162322z y x z y x 、
∴??
?=++=++110353642258232z y x z y x
消去x 得：31(y+z)=465，故y+z=15
所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15?10=150
评注：本题列出的是不定方程，要求出x 、y 、z 是不可能的，但本题只要整体地求出y+z
就行了。
例2某班参加一次智力竞赛，共a 、b 、c 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a 满分20分，题b 、题c 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)
解：设答对题a 、答对题b 、答对题c 的人数分别为x 、y 、z ，则有
??
????????====+=+=+81217 202529z y x z y z x y x 解得
所以答对一题的人数为：37-1?3-2?15=4
全班人数为：1+4+15=20 故全班平均成绩为()4220258122017=?++?
答：这个班平均成绩是42分
评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。
例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)
解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有
2[3(x+y)+2x]=14?5，即5x+3y=35
又由题意，需x>0，y>0且14?5 – (5+2)x≤14?3，即x≥4
从而问题的本质是在约束条件?
?
?
?
?
>
≥
=
+
4
35
3
5
y
x
y
x
之下，求y的最大值，
显然y=5，这样，200?(4+5)=1800(公里)
所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里
例4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)
分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元, 每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。
解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a>b>c>d>e元, 每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。
所以?
?
?
?
?
?
?
=
+
=
+
=
+
=
+
(4)
250
(3)
290
(2)
430
(1)
480
e
d
e
c
c
a
b
a
(1)-(2) 得：b-c=50 (5)
(5)+(3) 得：b+e=340 (6)
在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340，所以 c+d=320 (7)
(3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430
从而可得：c=180，d=140，e=110
进一步可得：b=230，a=250
即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元、230元、180元、140元、110元
评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。
例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，
乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？
分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x 、y 、z 元，由题意，很容易得出二条方程，但
二个方程三个未知数，无法求出x 、y 、z ，实质上，此题的目标不是求x 、y 、z ，而是求x+y+z ，我们可以设法整体地求出x+y+z 。
解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x 、y 、z 元，由题意得：
???=++=++)2(
20.4104(1) 15.373z y x z y x 设m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z
则 (3m+4n) x+(7m+10n) y+(m+n)z= x+y+z
∴3m+4n=7m+10n= m+n=1，从而求得m=3，n= -2
∴x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=3?3.15-2?4.20=1.05
答：购甲、乙、丙各一件共需1.05元。
评注：本题列出的是不定方程组，无法求出x 、y 、z ，但本题的目标不是求x 、y 、z ，而是
求x+y+z ，因此本题通过待定系数法求出x+y+z 与3x+7y+z 和4x+10y+z 的关系，从而整体地求出x+y+z 。这是整体思想的体现。
例6 某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则在当天上
午手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是多少？
分析：设所求的准确时间为x 小时，则??? ?
?6510-x 小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分所慢的小时数，
??? ??214-x 小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分时，实际走的准确的小时数，因为手表每走1小时要慢201小时，所以??? ?
?214-x 小时慢了201??? ??214-x 小时，则201??? ??214-x =
??? ??6510-x 解：设所求的准确时间为x 小时，由题意得： 201??? ?
?214-x =??? ??6510-x 解之得：分小时小时1011)(6111==x
答：准确时间应该是11点10分。
例7 某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元。
现从A 地到B 地共支出车费24元，如果从A 先步行460米，然后乘车到B 也是24元，求从AB 的中点C 到B 地需支付多少车费。
分析：解决这个问题的关键是要计算出CB 的路程，由于车费的计算方式是10.8+1.2n
n 是乘车路程大于5千米部分所含1千米的个数，不足1千米也要算1千米，从A 地
到B 地共支出车费24元，代入可计算出n=11，于是5+1?10 同样5+1?10 则5+1?10 即15 于是8273.7≤ ∴从C 地到B 地应付车费10.8+1.2?3=14.4(元) 答：乘车从AB 的中点C 到B 地需支付14.4元车费。 例8 某种饮料分两次提价，提价方案有三种。方案甲是：第一次提价m%，第二次提价n%； 方案乙是：第一次提价n%，第二次提价m%；方案丙是：先后提价两次，每次提价%2n m +。若m>n>0，则提价最多的方案是哪一种？ 解：设饮料原价格为1，则按甲提价方案提价后的价格是：(1+m%) (1+n%) 按乙提价方案提价后的价格是：(1+n%) (1+m%) 按丙提价方案提价后的价格是：(1+%2n m +)2 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较(1+m%) (1+n%)与(1+%2n m +) 2的大小 (1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%?n%=1+(m+n)% + m%?n% (1+%2n m +)2=1+2?%2n m ++(%2n m +)2=1+(m+n)%+ (%2n m +)2 所以只要比较m%?n%与(%2n m +)2的大小即可 ∵ (%2n m +)2- m%?n%=()22 1004?+n m -2100mn =()()410014410012 222n m mn n m -=-+>0 ∴(%2n m +)2> m%?n%，即(1+%2n m +)2>(1+m%) (1+n%) 因此，丙种方案提价最多。 评注：本题应用了比差法来比较大小，比差法是比较大小的最常用方法。 三、三、巩固练习 选择题 1、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( ) (2000年全国初中数学竞赛试题) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 2、一次考试共有5道试题，考后成绩统计如下：有81%的同学做对第一题，91%的同学做对第二题，85%的同学做对第三题，79%的同学做对第四题，74%的同学做对第五题。如果做对三道题以上(包括三道)的同学为考试合格，则这次考试的合格率至少为( ) A 、70% B 、74% C 、81% D 、73% (第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题) 3、甲、乙、丙、丁四个拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干货物。货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了3，7，14件货物，最后结算时，乙付给丁14元，那么丙应付给丁( ) (第七届《祖冲之杯》数学邀请赛试题) A 、28元 B 、56元 C 、70元 D 、112元 4、某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排在底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满。又若全部安排在二层，每间住3人，房间不够；而每间住4人，有的房间未住满。这家旅馆底层共有房间( ) A 、9个 B 、10个 C 、11个 D 、12个 5、如果某一年的5月份中，有5个星期五，它们的日期之和为80，那么这个月的4日是星期( ) A 、一 B 、三 C 、五 D 、日 6、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，全部用来购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有( ) A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种 填空题 7、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的83 ，那么全校女生占全校学生的 8、在一家三口中，每两个人的平均年龄加上余下的一人的年龄，分别得到49，62，63，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 9、某校初三学生在操场排队，站2排对齐恰剩1人，站3排对齐恰剩2人，站4排对齐恰剩3人，站5排对齐恰剩4人，站6排对齐恰剩5人，而站7排对齐恰无剩余，则该校初三学生最少有 人 10、某县有500名学生参加第七届《祖冲之杯》数学邀请赛，平均得分63分。该县男生平均得分60分，女生平均得分70分，则该县参赛男生比女生多 人 11、在计算一个正数乘以3.5? 7时，某同学误将3.5 ? 7错写成3.57，结果与正确的答案 相差1.4，则正确的乘积结果是 12、99名学生去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来的船都坐满，则大船和小船应该分别租只。 解答题 13、某商店有甲、乙两种钢笔共143支，甲种钢笔每支6元，乙种钢笔每支3.78元，某学校购了该商店的乙种钢笔全部和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？ 14、某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为a元，二等小麦每千克为b(b 15、在一段公路上，学生均匀地植树10棵，这批树由卡车运来，问卡车在什么地方卸车最好(可使学生们搬树的距离和最小)？ 16、有一批货，如果本月初出售，可获利100元，然后将本利都作某项投资，已知该项投资的月息为2.4%；如果下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，试问这批货何时出售比较好(本月初还是下月初)？说明理由。 17、某市初中数学联赛，有A、B、C、D四校参加，A、B校共有16名选手，B、C校共有20名选手，C、D校共有34名选手，且各校选手人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各校人数。 18、某人下午6点多外出时，看手表上两指针的夹角为110°，下午7点前回家时发现两指针的夹角仍为110°，他外出多少时间？ 19、有4位小朋友的体重都是整数千克，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99、113、125、130、144。其中有两人没有一起称过，那么这两人中体重较重的人的体重是多少千克？ 20、民用电收费规定，每月每户不超过24度按每度9角收费，超过24度时，超过部分按每度2元收费，并规定用电按整度收费。某月甲户比乙户多交电费9元6角，问甲户和乙户各用电多少度？ 时刻、时间与钟表 同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。 什么叫“时间”它有两层意思： 1.表示某一种特定时候。 如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2.表示两个不同时刻的间隔。 如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。 我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。 时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。 同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。 如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。 例1根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。 3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分 例2按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻 分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分 发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。 例3见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？ 分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了 1999年深圳市罗湖区三年级小学生数学竞赛 一、一、计算：（写出主要的过程）每小题8分，共16分。 1.1. 100-98+96-94+92-90+……+8-6+4-2 2.2. 1001×1001-1001 二、二、填空：（1-10小题每小题8分，11-14小题每小题11分） 1. 两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把0去掉则与另一个加数相同， 这两个数分别是（）和（）。 2. 已知九个数的平均数是72，去掉其中的一个数之后，余下的数平均为78，去掉 的数是（）。 3. 2、4、6、8、10，这些数都是双数，比101小的所有的双数的和是（）。 4. 4. 在一条长360米的公路两旁种树，每隔5米种一棵，两头都要种，一共要 种（）棵树。 5. 5. 小明和小亮各拿出同样多的钱一起去买若干支同样价钱的钢笔，已知小明 比小亮少买30支钢笔，得到小亮还给的钱是180元。这种笔每支（）元。 6. 6. 56个荔枝与48个杏子重量相等，每个杏子比荔枝重5克。每个杏子重 （）克，每个荔枝重（）克。 7.7. 两支钢笔和一支圆珠笔共16元，一支钢笔和两支圆珠笔共11元。那么一 支钢笔是（）元。 8.8. 甲、乙、丙三个班共有学生161人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6 人，乙班有（）人。 9.9. 两筐同样重的水果，第一筐卖出31千克，第二筐卖出19千克后，第二筐 是第一筐的4倍，则每筐原有水果（）千克。 10.10. 把99只棋子分放在大小不同的两种盒子里，每个大盒子可装12只，每 个小盒子可装5只，这样恰好装完。已知两种盒子的总数大于10，那么大盒子有（）个，小盒子有（）个。 11.11. 小明、小红、小青三位小朋友去钓鱼，数一数他们钓的鱼，发现小明钓 的鱼是小红钓的3倍，小红钓的鱼比小青少7条，小青钓的鱼比小明少9条，小明钓到（）条鱼。 12.12. 甲、乙、丙、丁四人加工零件。已知丁比丙加工的多，甲、乙二人加工 的总数比甲、丁二人加工的总数多，丙、丁二人加工的总数比甲、丁二人加工的总数多，则这四人按加工零件数从最多到最少的顺序为（）。 13.13. 三个小朋友都有同样多的苹果，后来小明给小红、小亮几个苹果后，小 红比小明多7个苹果，小亮比小红少2个苹果。小明给小红（）个苹果， 第五讲 计算——工具与算法的变迁 研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、 纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算． 初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等． “当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊 注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者． 【例1】 现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有： (1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑． 链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算 变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算； (3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数． 程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构． 【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )． A ．10 B ．2l C ．24 D ．26 E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)100 321132112111+++++++++++ ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492 —19502 +19512 —19522 +…+19972 —19982 +19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002 ． 思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手． 第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断． 第二届“期望杯”小学三年级数学竞赛试题 （2009年12月20日 上午9：00—10：30；满分100分） 学校： 班级： 姓名： 成绩： 1 .(10 分) 根据算式填数 ① 在方框内填数字 □ 8 □ + □ 6 □ 3 □ □ 1 2 8 2．（9 分）按规律填数 （1）2，8，32 ，（ ），（ ） （2）1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ） （3）21×9＝189 321×9＝2889 4321×9＝38889 54321×9＝（ ） 3．（8 分）在一次长跑比赛中，小强在小新的前面80米，小华在小力后面50米，小新在小华前面30米。（ ）跑第一，第一名和最后一名相距（ ）米。 4．（6分）右图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。 5．（7分）小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西. 他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买了1元5角钱的小人书，最后还剩下3角钱。妈妈给小勇钱是（ ）。 ② 右面算式中相同的字 母代表相同的数字，不同的 字母代表不同的数字，那么A=（ ） E=（ ） 6．（7分） 最大的球的重量是（ ）克。 7．（8分）从三个不同的角度观察同一个物体 ，看到了三种情况（如下图）， 请根据图来判断：A 和（ ）相对。 8．（8分）有红、绿、蓝棋子各15个，你闭着眼睛从盒中往外拿，每次只能拿一个棋子。你至少拿（ ）次才能保证其中有3个棋子同一颜色。 9．（8分）二年级三班有34人会跳绳，有26人会踢毽子，其中有24人既会跳绳又会踢毽子，还有2人两样都不会。你算算看，全班有（ ）位同学。 10．（8分）张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是自已，王五说也不是自已。它们三人中只有一个说了真话，做好事的是（ ）。 11．（5分）一本故事书，李明12天可以看完，而王芳要比李明多2天看完，李明每天比王芳多看4页。王芳每天看（ ）页。 12．（6分）小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（ ）年后，爸爸年龄是小惠的3倍。 13．（5分）运一堆煤，用载重量为8吨的卡车14辆，每天运6次，5天可以运完；如果用同样的卡车20辆，每天运7次，（ ）天可以运完。 14．（5分）小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。小虎装错的情况共有（ ）种可能。 初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 一、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末 位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末 位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条 件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需 要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 二、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其 个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着 次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序 数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式， 从而解决问题。 例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新 排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正 好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差 后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100 第四讲一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧． 用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的． 如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集． 只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解． 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解． 例1解方程 解法1从里到外逐级去括号．去小括号得 去中括号得 去大括号得 解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 例2已知下面两个方程 3(x+2)=5x，① 4x－3(a－x)=6x－7(a－x) ② 有相同的解，试求a的值． 分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值． 解由方程①可求得3x－5x=－6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有 学校 班级 姓名______ ___________试场号_______ __ __ __ _ 装订线内不要答题 ⑤⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 装 ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 订 ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 线 ⑤ ⑤⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤⑤ ⑤ 三年级数学竞赛试题2011.11.25 一、填空（每空2分，共38分） 1. 在括号里填写上最大的数。54－（ ）>17 ，76－28>23＋（ ） 2. 在括号里填上合适的单位： 一个梨子重202（ ） 小强身高约132（ ） 10袋食盐重5（ ） 一辆卡车载重4000（ ） 3. 找规律填数。2860 、 2760 、 2660 、（ ）、（ ） 4. 在○÷8=10……□ 中，□最大是（ ）, ○最小是（ ）. 5. 用5，9和2个0所组成的四位数中，最大的数是（ ）；所组成的只读一个零的四位数中，最小的数是（ ）。 6. 新华书店上午9∶00开始营业，下午5∶30停止营业，全天营业时间是（ ）小时（ ）分。 7. □3÷6要使商是两位数，□最小填（ ），如果要使商是一位数，□最大填（ ）。 8. □□÷4的余数可能有（ ）种情况。 9. 5袋重400克的瓜子共重（ ）千克。 10. 一个正方形的边长增加2厘米，它的周长增加（ ）厘米。 二、判断（每题2分，共12分） 1. 一千克棉花比一千克铁轻。…………………………………………（ ） 2. 用两根同样长的铁丝，一根围成长方形，一根围成正方形，它们的周长相 等。……………………………………………………………………（ ） 初中数学竞赛讲座之数论初步(一) 整数的整除性 定义：设a ，b 为二整数，且b ≠０，如果有一整数c ，使a ＝bc ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数，又称b 整除a ，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a ，b ，c 均为非零整数，则 ①．若c|b ，b|a ，则c|a. ②．若b|a ，则bc|ac ③．若c|a ，c|b ，则对任意整数m 、n ，有c|ma ＋nb ④．若b|ac ，且(a ，b)＝1，则b|c 证明：因为(a ，b)＝1 则存在两个整数s ，t ，使得 as ＋bt ＝1 ∴ asc ＋btc ＝c ∵ b|ac ? b|asc ∴ b|(asc ＋btc) ? b|c ⑤．若(a ，b)＝1，且a|c ，b|c ，则ab|c 证明：a|c ，则c ＝as(s ∈Z) 又b|c ，则c ＝bt(t ∈Z) 又(a ，b)＝1 ∴ s ＝bt'(t'∈Z) 于是c ＝abt' 即ab|c ⑥．若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ⑦．(a －b)|(a n －b n )(n ∈N)，(a ＋b)|(a n ＋b n )(n 为奇数) 整除的判别法：设整数N ＝121n 1a a a a - ①.2|a 1?2|N ， 5|a 1? 5|N ②.3|a 1＋a 2＋…＋a n ?3|N 9|a 1＋a 2＋…＋a n ?9|N ③.4|a a ? 4|N 25|a a ? 25|N ④.8|a a a ?8|N 125|a a a ?125|N ⑤．7||41n n a a a -－a a a |?7|N ⑥．11||41n n a a a -－a a a |?11|N ⑦．11|[(a 2n ＋1＋a 2n －1＋…＋a 1)－(a 2n ＋a 2n －2＋…＋a 2)] ?11|N ⑧．13||41n n a a a -－a a a |?13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数d a c b a ，其中d －b ＝3，试问a ，c 为何值时，这个五位数被11整除. 解：11|d a c b a ∴ 11|a ＋c ＋d －b －a 即11|c ＋3 ∴ c ＝8 1≤a ≤9，且a ∈Z 2.设72|b 673a ，试求a ，b 的值. 解：72＝8×9，且(8，9)＝1 ∴ 8|b 673 a ，且9| b 673a ∴ 8|b 73 ? b ＝6 且 9|a ＋6＋7＋3＋6 即9|22＋a ∴ a ＝5 3.设n 为自然数，A ＝3237n －632n －855n ＋235n ， 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 三上年级数学竞赛试题 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下，要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 二、我会判断(每题1分，共6分) 1、0除以任何数都得0 。( ) 2、一个三位数和9相乘，积一定是四位数。（） 3、一捆绳子长600米，第一次用去37米，第二次又用去63米，这捆绳子比原来短了500米。（） 4、1500是1506的近似数，10000是9995的近似数。（） 5、最大的四位数是9999，最小的四位数是1111。（） 6、三千克铁比三千克棉花重。（） 三、我会选择(将正确答案序号填在括号里)(每题2分，共20分) 1、小明每天睡9（） ①小时②分③秒 2、□÷9=△……○，○最大是（） ①9 ②8 ③7 ④10 3、如图：●●○○○◎●●○○○◎……，按这样的顺序下去，第40个珠子是（）。 ①●②◎③○④不一定 4、两个锐角可以拼成（） ①一个锐角②一个直角③一个钝角④锐角、直角、钝角都有可能 5、2个人同时吹大2个气球需要2分钟，那么，8个人同时吹大8个气球需要（） ①2分钟②8分钟③16分钟④64分钟 6、一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯6段要（）分钟。 ①10分钟②12分钟③18分钟④9分钟 7、在一块正方形场地四周种树，每边都种10棵，并且四个顶点都种有一棵树。这个场地四周共种树（）棵 ①20棵②36棵③38棵④40棵 8、同学们进行广播操比赛，全班正好排成相等的6行。小红排在第二行，从头数，她站在第5个位置，从后数她站在第3个位置，这个班共有( )人。 ①42②44③48④54 9、图中共有（）条线段。 ①9②10③12④15 10、小明家、小红家和学校在同一条笔直公路的附近。小红说：“我家到学校有460 函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ② 七年级数学竞赛系列讲座(10) 应用题（二） 一、一、知识要点 1、工程类问题 工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率?工作时间=工作总量 解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题 溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。 溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。 溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。 溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是： %100?=溶液量溶质量浓度 二、二、例题精讲 例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得： ????=+?=+c b a c b a 1641640240 解得?? ???==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 6103203 1601010=+=+c c c c b a 评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。 例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得： 第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的． 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性． 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． “要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G ．波利亚 链接：G ．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一． 观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想． 举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥． 例题讲解 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示． 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． ．．．．．．四条直线相交，最多有六个交点 三条直线相交，最多有三个交点两条直线相交，最多只有一个交点 三年级数学竞赛试卷 一、想想、算算、填填。（21分） （1）18乘516写作（），还可以读作（），表示（）个（）连加的和是多少。 （2）5□4×6≈3000，□里可以填（）。 3□91÷5≈700，□里可以填（）。 （3）从1921年7月1日中国共产党诞生，到1949年10月1日中华人民共和国成立，经过了（）个月。 （4）新华书店上午9∶00开始营业，下午5∶30停止营业，全天营业时间是（）小时（）分。 （5）小冬买了20米长的铁丝，20米指的是铁丝的（）。一块三合板2平方米，2平方米指的是三合板的（）。 （6）一个正方形和一个长方形的周长相等，（）的面积大。 （7）□×△=36，□÷△=4，□=（），△=（）。 （8）某年的9月有5个星期日，这一年的9月1日不是星期日，它是星期（）。 （9）如果每人的步行速度相同，3个人一起从甲地走到乙地，要2小时，那么，6个人一起从甲地走到乙地要（）小时。 （10）甲乙两队进行篮球比赛，结果两队总分之和是100分，现在知道甲队加上7分，就比乙队多1分，那么甲队原来得（）分，乙队得（）分。 二、在□里填上合适的数字。（8分） 三、巧添符号。（12分） （1）6○6○6○6=1 （2）6○6○6○6＝2 （3）6○6○6○6＝3 （4）6○6○6○6＝4 四、数一数，下图中共有（）个三角形。（5分） 五、画一画，分一分，拼一拼。（10分） （1）把一块地（如下图）分给5个种植小组，每组分得的土地形状和大小要相同。应该怎样分？（画图表示） （2）有12个边长为1厘米的小正方形，拼成一个长方形，怎样拼才能使长方形的周长最长？（画图） 六、想一想，再列式解答。（44分） （1）方方和圆圆用同一个数做除法，方方用12去除，圆圆用15去除，方方除得的商是32还余6。圆圆计算的结果应该是多少？（8分） （2）小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只。白鸡的只数是黄鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只？（8分） （3）三年级数学竞赛获奖的同学中，男同学获奖的人数比女同学多2人，女同学比男同学获奖人数的一半多2人。男、女同学各有几人获奖？（8分） （4）庆祝“六一”儿童节，5个女同学做纸花，平均每人做5朵，已知每个同学做的数量各不相同，其中有一个人做得最快，她最多做多少朵？（简要说出算理）（10分） （5）一串珠子，按照3颗黑珠、2棵白珠，3颗黑珠、2颗白珠……的顺序排列。问：①第14颗珠子是什么颜色的？②第1998颗珠子是什么颜色的？（10分） 八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8- 八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°； 6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C 数学竞赛讲座 数论的方法技巧(上) 数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。 小学数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有: 1.带余除法:若a,b是两个整数,b>0,则存在两个整数q,r,使得abq+r(0≤r 4.约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为: d(n)(a1+1)(a2+1)…(ak+1)。 5.整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式x 竞赛讲座01 －奇数和偶数 整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶； （5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？ □+□=□，□-□=□， □×□＝□□÷□＝□. 解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数. 例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组 是整数，那么 （A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数. （C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数 分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C） 例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数. 分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都 添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数. 2.与整除有关的问题 例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？ 解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知： 当n被3除余1时，a n是偶数； 当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为 b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17. 要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.七年级数学竞赛讲座：时间、时刻、时钟
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